Lagebeziehung von Geraden

Lagebeziehung von Geraden
Vorbemerkung: Es ist anschaulich klar, dass es für zwei Geraden in der
Ebene drei Lagebeziehungen gibt. Wir unterscheiden die Fälle identisch,
parallel und kopunktual (d.h. es gibt einen Schnittpunkt). Im Raum
existiert eine vierte Lagebeziehung: Geraden, die nicht parallel sind und
sich nicht schneiden heißen windschief.
Welche Lagebeziehungen haben die Geraden in der nebenstehenden
Abbildung? Wie kann man feststellen, welche Lagebeziehung zwei Geraden
zueinander haben?
Aufgabe 1
Gegeben seien die Punkte
Gerade durch und die Mitte von
und
Stellen Sie für und
Sei
die Gerade durch und die Mitte von
,
sei die
Gleichungen auf und berechnen Sie ihren Schnittpunkt .
Aufgabe 2
Die vier Punkte
und
bilden ein Trapez. Fertigen Sie eine Zeichnung an, bei
der man erkennt, welche Seiten parallel sind und wie die Diagonalen heißen. Berechnen Sie den Schnittpunkt der Diagonalen.
Aufgabe 3
Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden. (parallel?, kopunktual?, windschief?, identisch?)
(t)
(t)
(t)
Aufgabe 4
Eine Gerade, die durch eine Ecke eines Dreiecks und durch den Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite geht, heißt
Seitenhalbierende. In Aufgabe 1 haben Sie zwei Seitenhalbierende berechnet. Nehmen Sie jetzt an, ein Dreieck
sei
gegeben durch die Ortsvektoren
und
Stellen Sie Gleichungen für die Seitenhalbierenden
und
auf. Zeigen Sie,
dass die Seitenhalbierenden sich im selben Punkt (Schwerpunkt) schneiden, geben Sie den Schwerpunkt als Linearkombination
der Vektoren
und an.
Aufgabe 5
a.
Im Würfel bilden
und
Raumdiagonale die Strecke
die Mittelpunkte der jeweiligen Würfelkanten. Schneidet die eingezeichnete
?
b.
In der zweiten Figur sind die Punkte ,
Geraden und sich schneiden?
und
die Mittelpunkte der jeweiligen Kanten. Untersuchen Sie, ob die