Blatt 9

Prof. Dr. F. Kalhoff
Dipl.-Math. Marc Zimmermann
WS 2015/16
Übungen zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie
Blatt 9
Aufgabe 33. Einige Weihnachtselfen sind damit beauftragt Weihnachtskekse zu
backen. Als diese davon eine gewisse Anzahl fertig haben und ihnen der Teig
ausgeht, fangen sie damit an, diese in Pakete zu verpacken. Sie haben den Auftrag in alle Pakete gleich viele hinein zu legen, und haben insgesamt 16 Pakete
zur Verfügung. Nach gleichmäßigem Aufteilen bleiben aber 13 Kekse übrig. Aus
lauter Frust zerstampft einer der Elfen eines der Pakete (natürlich hat er die
Kekse vorher in Sicherheit gebracht). Als die Elfen nochmal probieren die Kekse
gleichmäßig zu verteilen, bleiben dieses Mal 14 Kekse übrig. Nun verlieren 4 weitere Elfen die Geduld und zerstampfen auch ihre Pakete (wieder sind die Kekse
in Sicherheit). Aber siehe da, nun schaffen es die Elfen doch tatsächlich die Kekse
gleichmäßig auf die verbliebenen Pakete zu verteilen. Am Ende fragt einer der Elfen ob wohl irgendjemand wüsste wie viele Kekse sie insgesamt gebacken haben,
und einer unter diesen behauptet großspurig, dass man das doch nun bestimmen
könne ohne zu zählen, sagt aber nicht wie. Können Sie den übrigen Elfen helfen
und ihnen das Zählen ersparen?
Aufgabe 34. Berechnen Sie zunächst eine ganze Zahl x ∈ Z, die die folgenden
Kongruenzen simultan erfüllt:
a) x ≡ 1 mod 5, x ≡ 1 mod 11, x ≡ 1 mod 19, x ≡ 1 mod 20
b) x ≡ 5 mod 3, x ≡ 4 mod 4, x ≡ 3 mod 5, x ≡ 2 mod 7
c) x ≡ 2 mod 21, 6x ≡ 1 mod 11, 5x ≡ 5 mod 8, 2x + 4 ≡ 5 mod 7
Wie viele Lösungen gibt es insgesamt und wie unterscheiden sich zwei Lösungen?
Geben Sie nun die Lösungsmenge an.
Aufgabe 35. Sei ϕ die Eulersche ϕ-Funktion.
a) Bestimmen Sie alle n ∈ N, für die ϕ(n) ungerade ist.
b) Bestimmen Sie alle n ∈ N, für die ϕ(n) ein Teiler von n ist.
Aufgabe 36. Seien R und S Ringe.
a) Zeigen Sie, dass die Menge R × S mit den komponentenweisen Verknüpfungen einen Ring bildet (den sogenannten Produktring).
b) Wenn R und S Schiefkörper bzw. Körper sind, ist dann auch R × S ein
Schiefkörper bzw. Körper?
c) Zeigen Sie, dass für Ideale I ⊆ R und J ⊆ S auch I × J ein Ideal in R × S
ist. Ist jedes Ideal in R × S von dieser Form?
Weihnachtsbonus.
Sie
32 bilden die Men√
√ dürfen benuzten: Analog zu Aufgabe
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gen Z[ d] := {a + b d | a,
√ b ∈ Z} für quadratfreies d ∈ Z einen Ring, der
eine Normfunktion N (a + b d) := a2 − b2 d besitzt. Diese ist multiplikativ. Eine
Zerlegung einer Zahl k verstehen wir als ein Produkt k = x · y, so dass weder x,
noch y eine Einheit im entsprechenden Ring ist.
a) Zerlegen Sie (wenn möglich)
√ folgende Primzahlen über den angegebenen
Ringen: 2, 3, ..., 31 über Z[ d] für d ∈ {2, −2, −3, 5}.
√
b) Finden Sie möglichst viele Ringe der Form Z[ d] in denen sich die folgenden
Zahlen nicht eindeutig zerlegen lassen: 2, 6, 8, 42, 110.
c) Geben Sie eigene Beispiele für solche Ringe und Zahlen an, bei denen solche
Effekte auftreten.
Abgabetermin: Donnerstag, der 07.01.16, 12:00 Uhr.
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D.h. kein von 1 verschiedener Teiler von d ist selber das Quadrat einer ganzen Zahl.