Merkmale von Wellen

Elektrische Schwingungen und Wellen
1.
Wechselströme
2.
Elektrischer Schwingkreis
i. Freie Schwingung
ii. Erzwungene Schwingung
iii. Tesla Transformator
3.
Elektromagnetische Wellen
i. Wellen
ii. Elektromagnetische Wellen
iii. Hertzscher Dipol
iv. Wellenausbreitung im Vakuum
v. Wellen auf Leitungen
Merkmale von Wellen
Eine Welle liegt vor, wenn alle folgende vier Merkmale
zutreffen:
•
•
•
•
Es erfolgt eine zeitabhängige Veränderung einer
Größe, unter Umständen periodisch wiederholt, also
eine Schwingung
Diese Veränderung breitet sich in ein, zwei, oder drei
Dimensionen des Raumes mit einer endlichen
Geschwindigkeit aus
Ursache für die Kopplung der einzelnen Teile des
Raums untereinander sind elastische oder
quasielastische Kräfte
Es wird dabei Energie transportiert
1
Wellen…
Eine Welle ist eine sich im Raum ausbreitende Störung
Longitudinale Wellen
Störung in Ausbreitungsrichtung
2
Transversale Wellen
Störung quer zur Ausbreitungsrichtung
z. Bsp. schwingende Saite
elektromagnetische Wellen
Licht
Mathematische Beschreibung
x
Kette von Teilchen Position fixiert
Teilchen wechselwirken (gebunden)
d 2x
Auslenkung eines freien Teilchens F = M 2
dt
Rückstellkraft (Hooksches Gesetz) F = −c x
Kombination
x+
M d 2x
=0
C dt 2
Differentialgleichung 2. Ordnung (Schwingungsgleichung)
Lösung:
x = x 0 cos(2πνt + ϕ )
mit ν Frequenz
ν=
1 C
2π M
3
Alle Teilchen beweglich
x
n+1
z
n-1
n
Teilchen wechselwirken mit nächsten Nachbarn, elastisch verbunden
2
(x n − xn−1 ) + (x n − x n+1 ) + M d x2n
C dt
(x n − x n−1 ) + (x n − x n+1 ) = −∆( ∆x )
∆( ∆ x ) =
∆ ( ∆x )
(∆z )
2
b2
∆( ∆x ) →
∂2x 1 ∂2x
−
=0
∂z 2 v 2 ∂t 2
Kraft auf Teilchen n,
Rückstellkraft von Nachbarn
=0
∆z = b Abstand in z Richtung
d2 x 2
b
dz 2
v2 =
b 2C
M
Wellengleichung
Lösung der Wellengleichung
Allgemeine Lösung der Wellengleichung
⎛ z⎞ ⎛ z⎞
x( z, t ) = f ⎜ t − ⎟ + g⎜ t + ⎟
⎝ v⎠ ⎝ v⎠
Jede beliebige Störung kann sich als
Welle in einem geeigneten Medium
fortpflanzen
Beweis: Einsetzen in Wgl
Interpretation von f und g: vor-und rücklaufende Welle
z ⎞ ⎛ z − v ∆t ⎞ ⎛ z ′ ⎞
⎛
f ⎜ t + ∆t − ⎟ = f ⎜ t −
⎟ = f⎜ t − ⎟
v⎠ ⎝
v ⎠ ⎝
v⎠
⎝
x
⎛ z⎞
x = f⎜ t − ⎟
⎝ v⎠
∆z = v ∆t
z
z⎞
⎛
x = f ⎜ t + ∆t − ⎟
v
⎝
⎠
Störung bewegt sich mit v nach rechts
4
Geschwindigkeit einer Welle
∂ x 1 ∂2x
−
=0
∂z 2 v 2 ∂t 2
2
ψ (t , z0 )
v = Geschwindi gkeit
ψ ′(t + ∆t , z0 + ∆z )
Phasengesc hwingkeit v ≡
z0
z1
∆z
∆t
z
Phasengeschwindigkeit = Quotient aus Weg, den eine bestimmte
Phase des Profils (Maximum, Minimum, …) zurücklegt, durch
benötigte Zeit
Phasengeschwindigkeit elastischer bzw. quasielastischer Medien
ist bei genügend kleinen Amplituden nur von den Eigenschaften
der betreffenden Medien abhängig aber nicht von der Amplitude
Energiedichte
Erzeugung von Welle: Energiezufuhr
Welle: Energie wird in Ausbreitungsrichtung transportiert
Medium: Wellenbewegung erfasst, Energie pro Volumen = Energiedichte w
Mechanische Welle: Harmonisch schwingendes Teilstück mit Masse m
1
1
1
2
2
= m ωres
Schwingung senergie W = DA2 = m v max
A2
2
2
2
A Amplitude, D Federkonstante, vmax maximale Geschwindigkeit,
ωres Resonanzfrequenz
1
1
2
2
m ωres
A 2 = ρdV ωres
A2
2
2
dW 1
2
= ρ ωres
w=
A 2 Energiedichte nur von Dichte des Materials
dV 2
abhängig
dW =
5
Energiestrom bzw. Leistung
Energie wird mit Geschwindigkeit c transportiert (in Sonderfällen
ungefähr gleich der Phasengeschwindigkeit)
Wie viel Energie der Welle strömt durch Querschnitt F in der Zeit t?
F
F
Welle
ct
Energie W die im Volumen V = c t F war
1
2
W = c t F ρ ωres
A2
2
Pro Zeiteinheit transportierte Energie (Energiestrom) bzw. Leistung P
W 1
2
= c F ρ ωres
P=
A2
t
2
Energiestromdichte (Intensität) und
Strahlungsdruck
Energiestromdichte bzw. Leistungsdichte S: Leistung/Fläche
S=
P 11
1
2
2
=
c F ρ ωres
A 2 = c ρ ωres
A 2 = cw
F F2
2
S Intensität = Geschwindigkeit x Energiedichte
Reflexion bzw. Transmission einer Welle an Grenzfläche:
Druck auf Grenzfläche in Ausbreitungsrichtung
Impuls und Energieerhaltung muss gelten
Strahlungsdruck bei vollständiger Reflexion
pref = 2 S/c
Vollständiger Absorption
pabs = S/c
6
Dreidimensionale WGL
Erweiterung der Wellengleichung für Störungen in alle Richtungen
∂ 2p ∂ 2p ∂ 2p 1 ∂ 2p
+
+
−
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 v 2 ∂t 2
∇ 2p −
1 ∂ 2p
=0
v 2 ∂t 2
Nabla ∇ vektorieller
Differentialoperator
∇=
∂ r ∂ r ∂ r
e x , ey
ez
∂x
∂y ∂z
∇∇ = ∇ 2 = ∆ =
∂2
∂2
∂2
+ 2+ 2
2
∂x
∂y
∂z
Planwellen
Annahme: Abhängigkeit von z und t
Störung in gesamten xy Ebene konstant
rr
r
p( r , t ) = A cos ωt + k r + ϕ
(
)
x
k
r
z
y
ωt+kr =const Ort gleicher Phase ist Ebene
Ausbreitung wird das ganze Medium erfasst, Wellenfront vergrößert sich
nicht: Energiedichte bleibt konstant ⇒ Amplitude bleibt konstant
7
Kugelwellen
Schwingungsenergie in punktförmigen Wellenzentrum zugeführt
Welle breitet sich symmetrisch aus
sphärische Symmetrie
Phasenfronten: Kugeln
Zugeführte Energie = konstant
wird aber mit zunehmenden Abstand r
auf immer größeres Volumen verteilt
Gleiches gilt für Leistung
P(r ) =
W 1
2
= c 4π r 2 ρ ωres
A 2 = konst
t
2
Nur erfüllbar wenn Amplitude mit Abstand r abnimmt
rr
r
A
p(r , t ) = cos ωt + k r + ϕ
r
(
)
Amplitude einer Kugelwelle
⇒ Intensität nimmt mit 1/r2 ab
Überlagerung von Wellen
ψ 1 (r , t ), ψ 2 (r , t ),K, , ψ n (r , t )
Sind Lösungen der Wellengleichung:
∂ 2ψ ∂ 2ψ ∂ 2ψ
1 ∂ 2ψ
+
+
=
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 υ 2 ∂t 2
Die Linearkombinationen von
ψ 1 (r , t ), ψ 2 (r , t ), K, , ψ n (r , t )
ψ (r , t ) =
n
∑ C ψ (r , t )
i
i
i =1
sind auch Lösungen Wellengleichungen
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Ausbreitung von Wellen
v1
v2
v1 > v2 0 < t < 1
v1 = v2
t=1
v1 < v2 0 < t < 1
-1 < r < 0
r=0
0<r<1
An der Grenze zwischen zwei Medien mit verschiedenen
Phasengeschwindigkeiten wird eine Welle teilweise reflektiert, und zwar
mit einem π Phasensprung, wenn die Geschwindigkeit im zweiten Medium
niedriger als im ersten ist
Diese Aussage gilt für alle Wellen
Stehenden Welle
Vorwärtswelle wird in sich selbst rückreflektiert
E1 = E0 sin(kz − ωt )
E 2 = E0 sin(kz + ωt )
ER = E1 + E 2 = E0 [sin(kz − ωt ) + sin(kz + ωt )]
sin α + sin β
= 2 sin 12 (α + β ) cos 12 (α − β )
ER = (2E0 sin kz ) cos ωt
Stehende Welle
Ortsabhängige Amplitude A(z)
9
Wellen in elastischem Medium
Räumlicher Druckunterschied führt zu
Beschleunigung des Volumens
Beschleunigtes Volumen bewirkt einen lokalen
Geschwindigkeitsunterschied
Lokaler Geschwindigkeitsunterschied führt zu
zeitlicher Deformation des Volumens
Zeitliche Deformation des Volumens führt zu
räumlichen Druckunterschied
….
Ausbildung einer Welle, die anfängliche Störung
im Medium weiterleitet
Maxwellgleichungen
Wenn Materie vorhanden, elegantere Formulierung der Maxwellgleichungen
unter Verwendung von E,D,B und H
r
r r ∂D
Ampere - Maxwellsches
rotH = j +
Gesetz
∂t
r
Faradaysches – Induktionsv
∂B
rotE = −
gesetz
∂t
r
Gauß‘scher Satz für
divD = ρ
E-Felder
r
Gauß‘scher Satz für
divB = 0
B-Felder
r
r
D = ε r ε 0E
r
r
B = µ r µ0H
r r
∂ r r
H
d
s
=
I
+
Dda
∫
∂t ∫A
C
v r
∂ r r
E
d
s
=
−
Bda
∫
∂t ∫A
C
r r
∫A Dda = Q
r r
B
∫ da = 0
A
4 Maxwellgleichungen + Verknüpfungen der Feldgrößen ausreichend
um Phänomene in Elektrizität und Magnetismus zu beschreiben
10
E- und M Feld beeinflussen sich gegenseitig
Veränderung von Elektrischem
Feld E bzw. D erzeugt Magnetfeld B
(bzw. H)
Veränderung von Magnetfeld B
erzeugt E Feld, erzeugt B- Feld……
E und B gekoppelt: Maxwell Analogie zur Schallausbreitung: Kompression
in Gas erzeugt Druck, der versucht Umgebung zu deformieren
Elektromagnetische Wellen
y
E
Geladene Schicht
B
J
B
E
B
E
B=E=0
x
z
vt
x=0
x = x0
t < 0: Geladene Schicht in y-z Ebene Ruhe: B=0 E=0 (durch zusätzliche Schicht)
t = 0: Geladene Schicht wird in y-Richtung beschleunigt
t > 0: Schicht bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in y- Richtung
Bewegte Ladung = Flächenstrom J ⇒ Magnetfeld B = konst. = ∝ J
für x>0 in +z bzw. x<0 in -z Richtung
Magnetfeld ändert sich sehr schnell, d.h. es wird ein E-Feld erzeugt (∝∂B/∂t)
E-Feld ändert sich sehr schnell, d.h. es wird ein B-Feld erzeugt (∝∂E/∂t)
….
….
E und B sind miteinander verkoppelt: Wie kann das erklärt werden?
11
B bzw. E als Funktion von Ort und Zeit
v
B
x
E
vt
x0
x
Am Anfang nur für x ≈ 0 B ≠ 0 für x>> 0 B =0
Bereich für x in dem B ≠ 0 = konst. breitet sich aus
E-Feld zeigt dasselbe Verhalten
Die Information kann sich nicht unendlich schnell ausbreiten,
sondern nur mit Geschwindigkeit v
daher kommt das Feld am Ort x0 erst nach der Zeit t = x0/v an
Felder in Seitenansicht
Schleife Γ2 so gelegt, dass nur zum Teil von Feld durchsetzt
Induktionsgesetz: B = konst., aber Fläche ändert sich
- E L = - dΦ/dt = -B dA/dt =- B L v
⇒E=Bv
E und B müssen so verknüpft sein, damit sie Faradaysches
Induktionsgesetz erfüllen
12
Felder in Draufsicht
Für Schleife Γ1 gilt:
r r
1 ∂ r r
2
∫ Eda
0 ∂t A
∫ Bds = µ I + c
0
Γ1
Strom = 0, von E-Feld durchsetzte Fläche ändert sich mit v
⇒c02 B L = E v L
⇒ E= c02 /v B
Vergleich Draufsicht-Seitenansicht
Seite gesehen E = v B
Oben gesehen E = c02/v B
Unterschiedliche Verknüpfungen zwischen E und B
Widerspruch lösbar, wenn v = c0
d.h. Wellenfront breiter sich mit Lichtgeschwindigkeit aus
13
Strom ein und aus
a) Strom für t = 0 eingeschalten
b) Strom für t = T in umgekehrter Richtung
gleicher Betrag Eingeschalten: Felder
breiten sich aus mit umgekehrten
Vorzeichen aus
Superposition von a und b: Stromimpuls
erzeugt Bündel von E und B mit Länge cT,
das sich ausbreitet
Kombinierter Effekt von B und E erhält Felder
aufrecht, Wellenausbreitung ohne Medium
möglich
Herleitung der WGL für Elektromagnetische Wellen
Annahme Vakuum: keine Strom j und keine Ladungen ρ
D = ε0 E H= µ0 B
∂B
∂E
rotE = −
rotB = ε 0 µ0
∂t
∂t
Anwendung von rot auf MW Gleichung und einsetzen
∂
∂⎛
∂E ⎞
∂ 2E
⎛ ∂B ⎞
rot (rotE ) = rot ⎜ −
⎟ = − rotB = − ⎜ ε 0 µ0
⎟ = −ε 0 µ 0 2
∂t
∂t ⎝
∂t ⎠
∂t
⎝ ∂t ⎠
rot (rotE ) = grad (divE ) − div (gradE )
divE = 0 keine Ladungen im Vakuum
div (gradE ) = ∆E
∆E − ε 0 µ 0
∆E −
∂ 2E
=0
∂t 2
1 ∂ 2E
=0
2
2
c0 ∂t
ε 0 µ0 =
1
2
c0
c0 …Geschwindigkeit
3 dimensionale Wellengleichung
14
EM Wellen Geschwindigkeit
c0 =
1
Geschwindigkeit EM Wellen
ε 0 µ0
Einsetzen liefert: c0 = 2.999…. 108 m/s
Phasengeschwindigkeit EM Wellen = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
Historisch:
Definition Ladung und Magnetfeldstärke
Messung von ε0 und µ0
Berechnung von c0‘
Vergleich mit direkt gemessener Lichtgeschwindigkeit c0 = c0‘
⇒ EM Wellen und Licht haben „Verwandtschaft“
Heute:
Definition von c0 (exakter Wert)
Definition von µ0 (Festlegung Einheit Strom bzw. Ladung)
ε0 damit auch fest bestimmt
Phasengeschwindigkeit in Materie
In Materie (homogen, isotrop) gilt
c=
1
ε r ε 0 µr µ0
=
c0
ε r µr
µ = µr µ0
ε = ε rε0
Phasengeschwindigkeit in Materie
Optik c = c0/n n Brechungsindex n2 = εrµr
Zusammenhang rein optischer Größe mit rein elektrischen Größen
15
EM Wellen
r
r r
r
r 1 ∂ 2E
r
∆E − 2 2 = 0 Allgem. Lösung : E (r , t ) = E (ωt − kr )
c0 ∂t
Sonderfall: E hängt nur von einer Koordinate ab
∂E
∂E
=0
=0
∂x
∂y
∂ 2E 1 ∂ 2E
−
=0
∂z 2 c 2 ∂t 2
Lösung ebene harmonisch e Welle : E (z, t ) = E0 sin(ωt − kz )
Welche Richtung hat E?
Wie schaut das zugehörige Magnetfeld aus?
Es muss ein B-Feld geben, damit sich EM Welle ausbreiten kann
Eigenschaften EM Wellen
1. Analoge Herleitung einer Wellengleichung für B-Feld
Lösung gleich wie für E Feld: B = B0 sin(ωt –kz)
E Änderung erzeugt B-Feld, B-Änderung erzeugt E- Feld….
2. EM Wellen in Vakuum sind transversal:
Damit Komponente in Ausbreitungsrichtung, abwechselnd
Feldquellen – und senken: im ladungsfreien Raum nicht vorhanden
div E = 0, für B gilt immer div B = 0
E und B stehen normal auf Ausbreitungsrichtung
3. B und E stehen senkrecht aufeinander
Annahme E in x-Richtung pol, Einsetzen in Maxwellgleichung
rot Ex = - dB/dt ⇒ B = By
4. B und E sind in Phase und B0= 1/c E0 (Einsetzen in MW Gl)
r 1 r r
B = k ×E
(
ω
)
Aussagen 1-4 zusammengefasst
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Elektromagnetische Wellen
Mögliche Lösung der Wellengleichung
Linear polarisierte ebene harmonische Wellen
E und B normal zueinander und normal auf Ausbreitungsrichtung
E und B sind in Phase
Energie und Impulstransport EM
Maß für den Transport:
Energiestromdichte S = Energie pro Zeit und Fläche
= Geschwindigkeit mal Energiedichte
S = c (w e + w m )
Zeitlich gemittelte Energiedichte von
1
1 2
w e = ε 0E 2 w m =
B
E und B im EM Feld
2
2µ
0
1
1 E2
= we
für EM Welle gilt : B = E ⇒ w m =
c
2µ0 c 2
ε0 2 1
S = c 2 w e = cw em =
E =
EB
µ0
µ0
Richtung des Energietransports S = Poynting-Vektor
r 1 r r
S=
E ×B
µ0
Poynting Vektor (J. H. Poynting 1852 -1914)
Isotrope Medien: Energie in Ausbreitungsrichtung transportiert
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Energietransport
Strom mit Widerstand R von
Strom I durchflossen.
Leistung I2R verbraucht (Joulsche Wärme)
Im stationären Betrieb nachgeliefert
E
B
S
Poynting Vektor radial zu Draht:
Energie strömt nicht durch Draht
sondern radial von außen in den Draht
I
Elektronen bewegen sich mit vdrift (langsam)
E und B mit Lichtgeschwindigkeit
Energie durch EM Feld transportiert und nicht durch materiellen
Ladungstransport
Impulstransport EM Welle
EM Wellen tragen nicht nur Energie sondern auch Impuls
Bei Reflexion bzw. Absorption Impulsübertrag auf Körper:
Impulsübertrag pro Fläche und Zeit = Strahlungsdruck p
Strahlungsdruck bei vollständiger Reflexion
pref = ε0E2 = wem = (P/A) 1/c = 2 I / c Intensität I: Leistung pro Fläche
Vollständiger Absorption
pabs = ½ ε0E2 = ½ wem = I/c
Bsp. 10 W auf 1mm2
pabs =3.3 10-2 Pa ⇒ F = 3.3 10-8N
18