Blatt 05

UniBw M / EIT / Inst. 1 (Prof. Dr. K. Pilzweger)
29.10.08
Mathematik II: Übungsblatt 5
Abgabe: bis Mo 3.11.08, 13 Uhr
Besprechung: Mi 5.11.08
Aufgabe 1
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Ein Vektor v 0 ú³ heißt Linearkombination von zwei Vektoren a 0 ú³ und b 0 ú³, wenn er
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von der Form v = s a + t b ist, wobei s, t 0 ú geeignete Skalare sind.
r r r
a) Veranschaulichen Sie diesen Begriff durch eine Skizze. Stellen Sie hierzu a , b , v 0 ú³
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durch Pfeile mit demselben Anfangspunkt dar. Kann jeder Vektor v 0 ú³
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Linearkombination von zwei vorgegebenen (nicht kollinearen) Vektoren a , b 0 ú³ sein?
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Oder muß v dafür eine bestimmte Bedingung erfüllen? Wenn ja, welche?
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Im folgenden seien a = (1, -1, 3)T und b = (1, 1, 2)T.
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b) Wenn möglich, stellen Sie den Vektor v = (1, 5, 0)T als Linearkombination von a und b
dar.
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c) Wie Teilaufgabe b); jetzt aber v = (2, -3, 9)T.
Aufgabe 2
Berechnen Sie
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r
a) den Winkel zwischen den Vektoren a = (1, -1, 2)T und b = (1, -1, -1)T;
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b) den Winkel, den der Vektor e = (1, 1, 1)T mit der i-ten Koordinatenachse einschließt,
wobei i = 1,2,3.
Aufgabe 3
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a) Für welche Zahlen x, y 0 ú schließt der Vektor a = (x, y, 1)T sowohl mit der (1)- als auch
mit der (2)-Achse einen Winkel der Größe 60/ ein?
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b) Für welche Zahlen x, y, z 0 ú stehen die Vektoren a = (1, x, 1)T, b = (-1, 1, y)T und
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c = (z, 2, 1)T paarweise aufeinander senkrecht?
Aufgabe 4
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Seien a , b 0 ú³ Vektoren mit a … 0 . Dann ist die (Orthogonal-)Projektion von b auf a
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definiert als der Vektor ba 0 ú³ mit den folgenden Eigenschaften (1) und (2):
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(1) ba ist ein skalares Vielfaches von a , also ba = t a mit einem t 0 ú;
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(2) b - ba steht senkrecht auf a .
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a) Veranschaulichen Sie diesen Begriff durch eine Skizze. Stellen Sie hierzu a , b , ba 0 ú³
durch Pfeile mit demselben Anfangspunkt dar.
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a ⋅b r
b) Zeigen Sie, daß ba = r 2 a .
|a|
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c) Seien a = (1, -1, 2)T , b = (3, 4, -2)T. Berechnen Sie sowohl ba , die Projektion von b auf
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a , als auch ab , die Projektion von a auf b . Berechnen Sie auch die Beträge | ba | und | ab |.
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d) Seien a , b 0 ú³ Vektoren mit a … 0 und b … 0 . Welche Bedingung müssen a und b
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erfüllen, damit | ba | = | ab | gilt?
Aufgabe 5
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Seien a , b 0 ú³ Vektoren mit | a | = 2, | b | = 3 und | a − b | = 4.
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Berechnen Sie aus diesen Vorgaben das Skalarprodukt von a und b und daraus den Winkel
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zwischen diesen beiden Vektoren. Berechnen Sie ferner den Betrag des Vektors a + 2b .
Aufgabe 6
a) Berechnen Sie
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1) (3 e1 + 5 e2 - 6 e3 )×(6 e1 + 3 e2 ), 2) e1 × [ e2 ×( e3 × e1 ) + ( e2 + e3 )× e1 - ( e1 + e2 )×( e2 + e3 )].
b) Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
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1) (2 a + b )×( c - a ) + ( b + c )×( a + b ), 2) ( a + b )@[ b ×( a + c )],
r r r
wobei a , b , c 0 ú³ beliebig.
Aufgabe 7
a) Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck mit den Eckpunkten A = (1, 0, 4), B = (4, 5, -2)
und C = (7, 3, 4)?
r r
b) Gegeben seien zwei Vektoren a , b 0 ú³. Der Winkel zwischen ihnen sei gleich B/4, ihre
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Beträge seien | a | = 2 und | b | = 5. Gesucht ist der Flächeninhelt des von den Vektoren
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c = a - 2 b und d = 3 a + 2 b aufgespannten Parallelogramms.
Aufgabe 8 (Division durch Vektoren?)
Ist a 0 ú mit a … 0, so ist für jedes b 0 ú der Quotient b/a definiert als die Lösung der
Gleichung a @ x = b. Weil diese Gleichung genau eine Lösung x 0 ú hat, ist damit b/a
eindeutig definierbar. r
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Sei nun a 0 ú³ mit a … 0 . Haben dann die Gleichungen
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(1) a × x = b und (2) a @ x = b
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für jedes b 0 ú³ bzw. jedes b 0 ú jeweils genau eine Lösung? Kann man also durch einen
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Vektor dividieren, d.h. kann ein Quotient b / a oder b/ a eindeutig definiert werden?
Hinweise
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A1 b) und c): der Ansatz v = s a + t b führt auf ein (nicht immer lösbares)
Gleichungssystem für s und t.
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A2 a @ b = | a | | b | cos(n) mit n = Ë( a , b ), also cos(n) = ...
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A3 a) a @ ei = | a | | ei | cos60/ für i = 1,2; das ist ein Gleichungssystem für x, y.
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b) a @ b = a @ c = b @ c = 0: Gleichungssystem für x, y, z.
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A4 b) Es gilt: (1) ba = t a , (2) ( b - ba ) @ a = 0. Wenn Sie (1) in (2) einsetzen, erhalten Sie
eine Gleichung für t. Setzen Sie deren Lösung dann in (1) ein;
c),d) Formel von Teilaufgabe b) anwenden.
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A5 | a − b |2 = (a − b ) ⋅ (a − b ) = | a |2 − 2 a ⋅ b + |b |2 Y a ⋅ b = ?
A6 a) 1) Spaltendarstellung der beiden Vektoren verwenden; 2) und b) II (1.6.2) - (1.6.4).
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A7 a) F =
(warum?); b) F = | c × d | = ...
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A8 (1) hat nur dann eine Lösung, wenn b eine bestimmte Bedingung erfüllt. Welche? Ist in
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diesem Fall x 0 eine Lösung von (1), so auch x = x 0 + t a für jedes t 0 ú. Warum?
b r r
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Für jeden Vektor n 0 ú³ mit n z a ist x = r 2 a + n eine Lösung von (2). Warum?
|a|