Blatt 7 - Universität zu Köln

Universität zu Köln
Institut für theoretische Physik
Mathematische Methoden (SS 2015)
Vorlesung: Johannes Berg
Übungen: Nina Müller
Blatt 7: Parametrisierungen, Linien-, Flächen- & Volumenintegrale
Abgabe: 15. Juni
Besprechung: 18. Juni
26. Parametrisierungen und Bahnkurven (10 Punkte)
Wir betrachten ein Teilchen, welches sich im 3D-Raum bewegt. Die Schar an Punkten, die es
dabei durchläuft, nennt man Bahnkurve.
a) (4 Punkte) Die Bahnkurve des Teilchens sei durch die folgende Parametrisierung beschrieben:
0
1
t sin(t)
B
C
C.
r : [0, 2⇡] ! R3 , r(t) ! B
1
cos(t)
@
A
2
Skizzieren Sie die Bahnkurve des Teilchens. Berechnen Sie außerdem die Bahngeschwindigkeit
R
v(t) = dr(t)
dt und den Weg L = C dr, den das Teilchen im Intervall t 2 [0, 2⇡] zurücklegt.
b) (6 Punkte) Ein anderes Teilchen bewege sich gleichmäßig auf einer Spiralbahn. Diese Bewegung lässt sich in zwei Teile zerlegen: Eine Kreisbahn in der xy-Ebene um die z-Achse (gegen
den Uhrzeigersinn) mit einem Radius von 1 und einer Winkelgeschwindigkeit von 1 sowie
eine gleichförmige Bewegung in positive z-Richtung. Pro Umdrehung lege das Teilchen in zRichtung eine Längeneinheit
zurück. Zu Beginn der Beobachtung soll sich das Teilchen am
0 1
1
B C
C
Punkt r(t = 0) = B
@0A befinden. Parametrisieren Sie die Bahnkurve über den Winkel t, den
0
das Teilchen mit der x Achse einschließt, berechnen Sie dann wiederum Bahngeschwindigkeit
und den Weg, den das Teilchen bei seiner Bewegung im Intervall t 2 [0, 6⇡] zurücklegt.
27. Teilchen im Gravitationsfeld (6 Punkte)
Betrachten Sie ein Teilchen, welches sich im Gravitationsfeld der Erde
0 1
0 1
0
x
B C
B C
B
C
B
F(r) = ↵ @0A , wobei r = @y C
A und ↵ = m · g
z
z
auf einer Kreisbahn mit Radius R in der xz-Ebene bewegt. Dabei liegt der tiefste Punkt der
Bewegung am Erdboden (z = 0).
a) (2 Punkte) Parametrisieren Sie die Kurve. Lassen Sie dabei das Teilchen bei t = 0 am höchsten
Punkt der Bahn starten.
b) (4 Punkte) Bestimmen Sie die Arbeit W =
Umdrehung zurücklegt.
R
C
1
drF(r), die da Teilchen pro halbe und pro volle
28. Flächenintegrale (6 Punkte)
a) (3 Punkte) Die Linien zwischen den Punkten (0,0) und (1,0) sowie zwischen (1,0) und (1,1)
schließen mit der Linie y = x2 eine Fläche ein. Berechnen Sie die Doppelintegral über die
Funktion f (r) = 1 über diese Fläche. Interpretieren Sie das Ergebnis.
b) (3 Punkte) Integrieren Sie die Funktion f (r) = exp( x) y 3 über das Dreieck (0, 0)
(1, 1)
(1, 0). Vergleichen Sie die Ergebnisse beider möglicher Rechenwege: Einmal erst die Integration
über x dann über y und umgekehrt.
29. Volumenintegral in Zylinderkoordinaten (8 Punkte)
Wir betrachten einen Kreiskegel mit Grundflächenradius b und Höhe h. Wir wollen das Volumen
des Kegels berechnen. Da kartesische Koordinaten nicht gut an die Symmetrie des Problems
angepasst sind, nutzen wir zur Parametrisierung Zylinderkoordinaten (⇢, , z), für welche gilt
0
1 0
1
x(⇢, , z)
⇢ cos
B
C B
C
C B
C
r(⇢, , z) = B
@y(⇢, , z)A = @ ⇢ sin A .
z
z
a) (2 Punkte) Skizzieren Sie den Kegel und machen Sie sich außerdem klar, was die Parameter
(⇢, , z) geometrisch bedeuten.
b) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass das Volumenelement in Zylinderkoordinaten durch
dV = ⇢ d⇢ d dz
gegeben ist. Überlegen Sie sich, welches infinitesimale Volumen es beschreibt.
c) (4 Punkte) Finden Sie eine Gleichung z = f (⇢), welche die Höhe der Kegelflanke als Funktion von ⇢ angibt. Bestimmen Sie damit die Integrationsgrenzen für ⇢, , z. Berechnen Sie
anschließend das Volumen des Kegels in Zylinderkoordinaten.
2