Prof. Dr. Norbert Gaffke Dipl.-Math. Robert Offinger Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg Fakultät für Mathematik 17. September 2007 Prüfungsklausur - Mathematik III/Stochastik für Ingenieure 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Σ Es sind insgesamt 65 Punkte erreichbar. Die Klausur ist bestanden mit dem Erreichen von 26 Punkten. Name: , Vorname: Matr.-Nr. Studiengang: Aufgabe 1. 8 Punkte Gegeben sei die Funktion 1 + x2 + y , x+y f : M → R, f (x, y) = wobei M = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}. a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f . b) Prüfen Sie, ob die Funktion f konvex ist. Aufgabe 2. 4 Punkte Bestimmen Sie die Determinante von 4 a D(a) = 1 0 2 a 2 0 3 4 2 0 1 2 3 0 0 0 2 0 0 0 0 . 0 5 Für welche Werte von a ∈ R ist D(a) regulär? bitte umblättern −→ 1 Aufgabe 3. 10 Punkte Gegeben sei die Matrix 5 0 B= 0 0 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 . 1 3 a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von B. b) Bestimmen Sie den Eigenraum zum Eigenwert λ = 5. Aufgabe 4. 6 Punkte Geben Sie zu folgendem linearen Gleichungssystem für x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) die Lösungsmenge: x1 +2x2 −3x4 = 10 2x1 +x2 −3x3 +2x4 = 1 −x1 +x2 +3x3 −2x4 = 3 Aufgabe 5. 8 Punkte Bestimmen Sie zu den folgenden Differentialgleichungen jeweils die Lösung zu den gegebenen Anfangswerten; geben Sie auch jeweils das maximale Definitionsintervall der Lösung an. a) (x2 + 4)y 0 = 2xy 2 mit y(1) = −1; b) (x + 2)y 0 + y = e3x mit y(0) = 1. Aufgabe 6. 6 Punkte Es sei X eine reelle Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion: ( 1 1 · , 1 ≤ x ≤ e2 , f : R → R, f (x) = 2 x 0 , sonst. a) Bestimmen Sie P (X ≥ e) und P (X ≤ e|X ≥ 2). b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. c) Gegeben seien unabhängige Zufallsvariablen X1 , . . . , X50 , die jeweils wie X verteilt sind, d.h. obige Dichtefunktion besitzen. Bestimmen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit P (X1 + X2 + . . . + X50 ≤ 150). (Verwenden Sie E(Xi ) = 3.2 und Var(Xi ) = 3.2, falls Sie in b) kein Ergebnis erzielten). bitte umblättern −→ 2 Aufgabe 7. 8 Punkte Die Stromversorgung eines kommerziellen Satelliten wird durch drei Sonnensegel gewährleistet, die unabhängig voneinander arbeiten. Es sei bekannt, dass die Lebenszeit jedes dieser Sonnensegel exponential-verteilt ist und im Mittel 10 Jahre beträgt. Der Satellit ist voll funktionsfähig, wenn alle drei Sonnensegel funktionieren. Er kann aber immerhin noch Daten senden, solange mindestens eines der Sonnensegel funktioniert. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Satellit mindestens 5 Jahre voll funktionsfähig ist. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Satellit schon vor Ablauf von 10 Jahren keine Daten mehr senden kann. Aufgabe 8. 10 Punkte Die Lebensdauer [in Tagen] eines elektronischen Bauteils werde modelliert durch eine Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion 12 xe−x/β , x > 0, β f : R → R, f (x) = 0 , x ≤ 0, wobei β > 0 ein Parameter ist. Berechnen Sie allgemein die ML-Schätzung für β auf der Basis von n unabhängigen Bauteilen mit beobachteten (positiven) Lebensdauern x1 , . . . , xn . Wie lautet die Schätzung bei folgenden Daten für 8 Bauteile: 118 49 141 40 201 19 13 91 Aufgabe 9. 5 Punkte Bei der Produktion eines Metallseils legt man Wert auf die Zugfestigkeit und die Korrosionsbeständigkeit. Die Zugfestigkeit wird in drei Qualitätsklassen (gut/mittel/schwach) gemessen, die Korrosionsbeständigkeit in zwei Qualitätsklassen (hoch/niedrig). Aufgrund langer Erfahrung kennt man die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen Zugfestigkeit“ und der Zufallsvariablen Korrosionsbeständigkeit“: ” ” Zugfestigkeit gut mittel schwach hoch 0.55 0.20 0.05 Korrosionsbeständigkeit niedrig 0.10 0.07 0.03 a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Metallseil hohe Korrosionsbeständigkeit und mindestens mittlere Zugfestigkeit hat. b) Bestimmen Sie die Randverteilungen für Zugfestigkeit und für Korrosionsbeständigkeit. c) Mit welcher (bedingten) Wahrscheinlichkeit hat ein Seil mittlerer Zugfestigkeit eine hohe Korrosionsbeständigkeit? d) Sind die Zufallsvariablen Zugfestigkeit“ und Korrosionsbeständigkeit“ unabhängig? ” ” 3