Stochastik Klausur - Fakultät für Mathematik

Prof. Dr. Norbert Gaffke
Dipl.-Math. Robert Offinger
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Fakultät für Mathematik
17. September 2007
Prüfungsklausur - Mathematik III/Stochastik für Ingenieure
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Σ
Es sind insgesamt 65 Punkte erreichbar.
Die Klausur ist bestanden mit dem Erreichen von 26 Punkten.
Name:
,
Vorname:
Matr.-Nr.
Studiengang:
Aufgabe 1.
8 Punkte
Gegeben sei die Funktion
1
+ x2 + y ,
x+y
f : M → R, f (x, y) =
wobei M = {(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}.
a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion f .
b) Prüfen Sie, ob die Funktion f konvex ist.
Aufgabe 2.
4 Punkte
Bestimmen Sie die Determinante von

4
a

D(a) = 
1
0
2
a
2
0
3
4
2
0
1
2
3
0
0
0
2
0

0
0

0
.
0
5
Für welche Werte von a ∈ R ist D(a) regulär?
bitte umblättern
−→
1
Aufgabe 3.
10 Punkte
Gegeben sei die Matrix

5
0
B=
0
0
1
3
1
1
1
1
3
1

1
1
.
1
3
a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von B.
b) Bestimmen Sie den Eigenraum zum Eigenwert λ = 5.
Aufgabe 4.
6 Punkte
Geben Sie zu folgendem linearen Gleichungssystem für x = (x1 , x2 , x3 , x4 ) die Lösungsmenge:
x1 +2x2
−3x4 = 10
2x1 +x2 −3x3 +2x4 = 1
−x1 +x2 +3x3 −2x4 = 3
Aufgabe 5.
8 Punkte
Bestimmen Sie zu den folgenden Differentialgleichungen jeweils die Lösung zu den gegebenen Anfangswerten; geben Sie auch jeweils das maximale Definitionsintervall der
Lösung an.
a) (x2 + 4)y 0 = 2xy 2 mit y(1) = −1;
b) (x + 2)y 0 + y = e3x mit y(0) = 1.
Aufgabe 6.
6 Punkte
Es sei X eine reelle Zufallsvariable mit folgender Dichtefunktion:
(
1 1
·
, 1 ≤ x ≤ e2 ,
f : R → R, f (x) = 2 x
0
, sonst.
a) Bestimmen Sie P (X ≥ e) und P (X ≤ e|X ≥ 2).
b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
c) Gegeben seien unabhängige Zufallsvariablen X1 , . . . , X50 , die jeweils wie X verteilt
sind, d.h. obige Dichtefunktion besitzen.
Bestimmen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit P (X1 + X2 + . . . + X50 ≤ 150).
(Verwenden Sie E(Xi ) = 3.2 und Var(Xi ) = 3.2, falls Sie in b) kein Ergebnis
erzielten).
bitte umblättern
−→
2
Aufgabe 7.
8 Punkte
Die Stromversorgung eines kommerziellen Satelliten wird durch drei Sonnensegel gewährleistet, die unabhängig voneinander arbeiten. Es sei bekannt, dass die Lebenszeit jedes
dieser Sonnensegel exponential-verteilt ist und im Mittel 10 Jahre beträgt. Der Satellit
ist voll funktionsfähig, wenn alle drei Sonnensegel funktionieren. Er kann aber immerhin
noch Daten senden, solange mindestens eines der Sonnensegel funktioniert.
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Satellit mindestens 5 Jahre voll
funktionsfähig ist.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Satellit schon vor Ablauf von 10
Jahren keine Daten mehr senden kann.
Aufgabe 8.
10 Punkte
Die Lebensdauer [in Tagen] eines elektronischen Bauteils werde modelliert durch eine
Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion

 12 xe−x/β , x > 0,
β
f : R → R, f (x) =
0
, x ≤ 0,
wobei β > 0 ein Parameter ist. Berechnen Sie allgemein die ML-Schätzung für β auf
der Basis von n unabhängigen Bauteilen mit beobachteten (positiven) Lebensdauern
x1 , . . . , xn . Wie lautet die Schätzung bei folgenden Daten für 8 Bauteile:
118
49
141
40
201 19
13
91
Aufgabe 9.
5 Punkte
Bei der Produktion eines Metallseils legt man Wert auf die Zugfestigkeit und die Korrosionsbeständigkeit. Die Zugfestigkeit wird in drei Qualitätsklassen (gut/mittel/schwach)
gemessen, die Korrosionsbeständigkeit in zwei Qualitätsklassen (hoch/niedrig).
Aufgrund langer Erfahrung kennt man die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen
Zugfestigkeit“ und der Zufallsvariablen Korrosionsbeständigkeit“:
”
”
Zugfestigkeit
gut mittel schwach
hoch 0.55 0.20
0.05
Korrosionsbeständigkeit niedrig 0.10 0.07
0.03
a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Metallseil
hohe Korrosionsbeständigkeit und mindestens mittlere Zugfestigkeit hat.
b) Bestimmen Sie die Randverteilungen für Zugfestigkeit und für Korrosionsbeständigkeit.
c) Mit welcher (bedingten) Wahrscheinlichkeit hat ein Seil mittlerer Zugfestigkeit eine
hohe Korrosionsbeständigkeit?
d) Sind die Zufallsvariablen Zugfestigkeit“ und Korrosionsbeständigkeit“ unabhängig?
”
”
3