Musterlösung zu Aufgabe 1 und 2

MUSTERLÖSUNGEN ZU AUFGABE 1 UND 2
Aufgabe 1. Es sei q die Anzahl der Elemente eines endlichen Körpers
F. Welche Form hat die Zahl q? Begründung dafür, dass nur solche
Zahlen vorkommen.
Lösung. Es ist bekannt, dass jeder Körper F als Charakteristik 0 oder
eine Primzahl p hat, wobei die Charakteristik defniniert ist als (o.B.d.A.
positiver) Erzeuger des Ideals Kern(α) ⊂ Z, wobei
α
Z → F
n 7→ 1| + .{z
. . + 1}
n−mal
Wenn F Charakteristik 0 hätte so wäre α injektiv und F würde mit α(Z)
unendlich viele Elemente enthalten, was aufgrund der Endlichkeit von
F nicht sein kann. Also hat F Primcharakteristik mit einer Primzahl p
und damit Kern(α) = pZ, also hat man nach dem Homomorphiesatz
α
Z/pZ ,→ F.
Und damit ist Fp = Z/pZ in F als Primkörper enthalten, d.h. kleinster
Unterkörper. Also hat man eine Körpererweiterung F über Fp .
Nun fasse man F als Fp -Vektorraum auf in der üblichen Weise für
Körpererweiterungen. Da F endlich ist, muss F endlich-dimensional
sein. Sei r := dimFp (F). Damit ist F ∼
= (Fp )r als Fp -Vektorraum, also hat F pr Elemente.
Damit ist q = pr immer eine Primzahlpotenz, wobei p = char(F). Häufige Fehler zu Aufgabe 1. Oft wurde die Charakterisierung der
endlichen Körper reingesteckt, die aber im wesentlichen schon die Form
von q beinhaltet, und das es für q = pr bis auf Ismorphie genau einen
Körper mit q Elementen gibt. Das durfte man natürlich nicht tun. Man
kann nicht einfach diese Ergebnisse verallgemeinern, wenn man diese
spezielle Form der qs fallen lässt.
Aufgabe 2. E seinen m und n positive ganze Zahlen. Wieviele Elemente der Ordnung m enthält eine zyklische Gruppe der Ordnung n?
Begründung!
Lösung. Sei G eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n, d.h.
G∼
= Z/nZ. Sei g ∈ G mit ord(g) =| hgi |= m. Da hgi ⊂ G die von
g erzeugte Untergruppe ist und Untergruppenordnungen die Gruppenordnung teilen (Satz von Lagrange) folgt: Es muss gelten ord(G) | n.
Damit ist die Antwort für m - n: Es gibt kein Element der Ordnung m.
1
2
MUSTERLÖSUNGEN ZU AUFGABE 1 UND 2
Sei nun m | n: Es ist bekannt, dass endliche zyklische Gruppen für
jeden Teiler der Gruppenordnung genau eine Untergruppe dieser Ordnung enthalten. Seinen also g, h ∈ G mit ord(g) = ord(h) = m. Damit
gilt hgi = hhi ∼
= Z/mZ, d.h. eine Element der Ordnung m ist genau
ein Erzeuger der Untergruppe Z/mZ von G. Aber bekanntermaßen ist
die Anzahl dieser Erzeuger φ(m) (Eulersche φ-Funktion). Damit ist die
Antwort für m | n: Es gibt φ(m) Elemente der Ordnung m.
Häufige Fehler zu Aufgabe 2. Sehr oft wurde die falsche Äquivalenz
g m = e ⇐⇒ ord(g) = m
verwendet. Es gilt immer ⇐, aber ⇒ ist im Allgemeinen falsch: Nimm
g = e. Dann ist g m = e für alle m ∈ Z, aber ord(g) = 1. Richtig ist
aber
g m = e ⇐⇒ ord(g) | m,
denn die Ordnung ist als minimale natürliche Zahl definiert mit der
Eigenschaft g m = e oder mit anderen Worten ord(g) ist der (o.B.d.A.
positive) Erzeuger des Ideals Kern(β) ⊂ Z, wobei
β
Z → G
n 7→ g n
und das heißt ja nichts anderes als diese Äquivalenz.