GGeebbiieett LLöössuunnggssmmeetthhooddee BBeeiissppiieell

G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
B
Beeiissppiieell
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
0. Zahlenmengen
Natürliche Zahlen IN = {0; 1; 2; 3; ...}
Ganze Zahlen /Z = {0; ±1; ±2; ±3; ...}
Rationale Zahlen IQ: Bruchzahlen
Irrationale Zahlen II: Zahlen, die sich
nicht als Brüche darstellen lassen.
1. Rechenoperationen
2. Klammern
3. Term
4. Arten von Termen
5.
Rechenhierarchie
Potenz vor
Punkt vor
Strich
1 17 12 12
; ; ; ;...
2 3 18 12
2 3;
: 17
3
Eingabe mit
F↔D Bruch in Dezimalzahl
umwandeln und umgekehrt.
1
5 ; 5 ⋅ 7 ;...
2
Reelle Zahlen IR = IQ ∪ II, also alle
Zahlen, die wir kennen.
Addition / Subtraktion
Produkt / Quotient
Quadrat / Potenz
+ −
.
:
2
3
3 ; 3
.
Die Reihenfolge, in der die Rechen3 (2 : (3+2))−3 : (4 +2 : (7−3))
.
operationen durchgeführt werden
= 3 (2 : 5) −3 : (4 +2 : 4)
müssen, wird durch Klammern
2
3⋅2
1
. 2
=3
−3 : (4 + )=
−3 : (4 )
festgelegt.
5
4
5
2
Die Klammern werden von innen nach
9 6 3⋅2 6 2
8
6
außen abgearbeitet.
= − 3: = −
= − =
5
2 5
9
5 3 15
Ein Term ist ein Ausdruck der Rechen- 3 a + 2 b
2
2
zeichen, Zahlen und Variablen enthält a (a – 2b )
.
Ein Term wird nach der zuletzt
2+3 5
Summe
.
auszuführenden Rechenart benannt.
(2 + 3) 5
Produkt
.
2
(3 2)
Quadrat
3+5
Quotient
4
0,25 ⋅ (3 + 5 ) Produkt
3+5
+3
Summe
4
.
Summe
2 + 3 5 = 2 + 15 = 17
Um Klammern zu sparen, wird eine
.
.
Rechenhierarchie festgelegt, die es
Produkt
(2 + 3) 5 = 5 5 = 25
.
2
2 . 2
erlaubt einige Klammern wegzulassen. Quadrat (3 2) = 3 2
2
.
6 = 9 4 = 36
Maurer: Zusammenfassung / Seite 1 (Stand: 10.03.2006)
+, −
bindet enger als
Die Bruchtaste
alle anderen Operationen.
sin 15
2 = sin
aber
sin 15 ÷2 =
sin 15
2
15
2
G
Geebbiieett
6. Bruchrechnung
Echter/unechter Bruch
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
B
Beeiissppiieell
Der Bruchstrich ist nebenberuflich
Klammer.
Quotient
Echter Bruch: Zähler kleiner als
Nenner.
Unechter Bruch: Zähler größer oder
gleich Nenner.
Gemischte Zahl: Ganze + echter
Bruch
Erweitern
Zähler und Nenner mit derselben Zahl
multiplizieren
Kürzen
Zähler und Nenner durch dieselbe
Zahl dividieren
Summe von Brüchen
Hauptnenner bestimmen
Brüche erweitern
auf Hauptnenner bringen
Produkt
Zähler mal Zähler und Nenner mal
Nenner
Quotient
Multiplikation mit dem Kehrwert
Multiplikation/ Division von Bruch
und Zahl
Zahl als Bruch schreiben,
dann die Bruchrechenregeln
verwenden
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
3+5 1
= ⋅ (3 + 5 )
4
4
3 1 12
; ;
5 2 17
12 3 172
; ;
5 2 12
2
3
5
12 ⋅5 60
=
7 35
36 :9 4
=
27 3
N1 15 3
Hauptnenner: N2 9
⋅5
3 ⋅3
HN 45 3 ⋅ 3 ⋅ 5
7 ⋅3 2 ⋅5 7 ⋅ 3 + 2 ⋅ 5 31
+
=
=
15 9
45
45
2 7 2⋅7
7
7
⋅ =
=
=
3 8 3 ⋅ 8 3 ⋅ 4 12
2 5 2 8 2 ⋅ 8 16
=
: = ⋅ =
3 8 3 5 3 ⋅ 5 15
1
1 3 1⋅ 1 1
=
:3 = : =
2
2 1 2⋅3 6
3 2 3 6
2⋅ = ⋅ =
5 1 5 5
Maurer: Zusammenfassung / Seite 2 (Stand: 10.03.2006)
G
Geebbiieett
7.
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
Termumformung
Gleichnamige/ungleichnamige
Glieder
Gleichnamige Glieder kann man
zusammenfassen, ungleichnamige
nicht.
Beim Auflösen einer Minusklammer
Minusklammer
werden alle Vorzeichen in der
Klammer umgedreht.
Quadrieren eines Produkts
Man kann zuerst multiplizieren und
dann quadrieren oder umgekehrt.
Hier kann man die Reihenfolge der
Quadrieren einer Summe
Operationen nicht vertauschen!
Binomische Formeln
2
2
2
1. Binomische Formel (a+b) = a + 2ab + b
2. Binomische Formel (a−b)2 = a2 − 2ab + b2
3. Binomische Formel (a+b)(a−b) = a2 − b2
0. Binomische Formel (a-b) = − (b-a)
Spezialfall der Minusklammer
8. Faktorisieren
1. Typ: Ausklammern Umkehrung des Distributivgesetzes:
.
ab + ac = a (b+c)
2. Typ: Umkehrung der 1. und 2.
binomischen Formel
3. Typ: Umkehrung der 3.
binomischen Formel
4. Typ: Gemischt
5. Typ: Im Geiste Vietas
B
Beeiissppiieell
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
2
2
2
a b − 3aba + 4ab + 5ba
2
2
2
2
= a b − 3a b
+ 5a b + 4ab
2
2
= 3 a b + 4 ab
− (2a – 3b + 5c) = − 2a + 3b − 5c
.
2
2.
2
(a b) = a b
2
2
(2x) = 4 x
Der Koeffizient muss auch
quadriert werden.
2 2
2
.
.
2
2 2
(2x + 4y ) = (2x) + 2 2x 4y +(4y )
2
2
4
= 4x + 16xy + 16y
2
2
. .
2
(3t – 5z) = (3t) − 2 3t 5z + (5z)
2
2
= 9t –30 tz + 25 z
2
2
(3q+2p) (3q−2p) = (3q) –(2p)
2
2
= 9q −4p
x − 3 = − (3 − x),
denn − (3 − x) = – 3 + x = x − 3
2 3
3
2
2
a) 14 a b −21a b = 7a b (2b −3a)
2 2
3
2
b) 12x y +6x y+3x y
2
= 3x y (4y+2x+1)
2
2
2
2
2
a ± 2ab + b = (a±b)
4a −20 ab + 25 b
2
2
Voraussetzung: 2 Quadrate und ein
= (2a) − 20 ab + (5b)
2
passendes doppeltes Produkt = (2a−5b)
2
2
2
2
a − b = (a+b) (a−b)
49 p − 144 q
2
2
Voraussetzung: Differenz von 2
= (7 p) − (12 q)
Quadraten. Sonst nichts.
= (7 p + 12 q) (7 p − 12 q)
3
3
Zuerst ausklammern
18 k m − 8 km
2
2
= 2 km (9k −4m )
= 2 km (3k + 2m) (3k −2m)
2
2
x
− 6 x + 8 = (x − 4) (x − 2),
(x+a) (x+b) = x +(a+b) x + ab
da bei a = − 4 und b = − 2 in der Tat gilt:
.
a b = (−4) (−2) = 8 und
a + b = − 4 −2 = −6
Maurer: Zusammenfassung / Seite 3 (Stand: 10.03.2006)
G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
B
Beeiissppiieell
9. Pascalsches Dreieck
Koeffizienten von (a+b)
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
n
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
3
3
2
2
5
5
4
3 2
(a+b) = a +3a b+3ab +b
3
2 3
4
5
(a+b) = a +5a b+10a b +10a b +5ab +b
Bauart der Glieder:
Die Hochzahl von a nimmt von Glied zu Glied ab,
die Hochzahl von b nimmt zu. Die Summe der Hochzahlen ist immer gleich n.
10. Lineare Gleichung
Nach x umstellen.
Produktgleichung
Bruchgleichung
Satz vom Nullprodukt.
.
a b = 0 ⇔ a = 0 und/oder b=0:
Mindestens ein Faktor muss Null sein.
Hauptnenner bestimmen
Definitionsbereich bestimmen
11. Quadratische Gleichung
Rein-quadratische Gleichung
Mit HN multiplizieren.
Lineare oder quadratische
Gleichung lösen.
Prüfen, ob die errechnete Lösung
im Definitionsbereich liegt.
3x–5=2
x Isolieren
3x=7
7
x=
3
.
.
x (x−3) (x +2) = 0
x1 = 0; x2 = 3; x3 = −2
2
1
5
2
+
= 2
HN: x – 2x=x (x-2)
x x − 2 x − 2x
ID = IR\{0,2}
Multiplikation mit dem HN:
2 (x-2) + x = 5
2x – 4 + x = 5
3x = 9
x =3
IL = {3}
Eine rein-quadratische Gleichung kann a) 3 x2 = 9, also x = ± 3 (2 Lösungen)
1,2
man auf die Form x2 = c bringen.
2
b) x +4 = 4, also x1,2 = 0 (doppelte Lös.)
2
2
Lösungsformel: x1,2 = ± c
c) 2 x + 4 = 2, oder 2 x = −2 bzw.
2
x = −1, x1,2 = ± − 1 , also keine Lösung
Maurer: Zusammenfassung / Seite 4 (Stand: 10.03.2006)
Lösung mit GRT
Menü Equation
F2: Polynomial
G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
B
Beeiissppiieell
Allgemeine Form
2
a x + bx + c = 0
Lösungsformel (Mitternachtsformel)
x −5x+5 = 0
5 ± 25 − 20 5 ± 5
x 1,2 =
=
2
2
Gemischt-quadratische Gleichung
Allgemeine Form
x 1,2 =
Biquadratische Gleichung
Diskriminatenmethode
− b ± b 2 − 4ac
2a
Produktform
a (x−x1) (x−x2) = 0. Siehe
Faktorisieren, insbesondere 5. Typ.
Substitution.
Damit auf quadratische Gleichung
zurückführen.
Gesucht ist nicht die Lösung einer
Gleichung, sondern aus einer Menge
von Gleichungen werden solche mit
bestimmten Eigenschaften
herausgesucht.
Die Zahl der Lösungen hängt von der
2
Diskriminaten D = b – 4ac ab.
D > 0 ⇔ 2 Lösungen
D = 0 ⇔ genau eine Lösung
D < 0 ⇔ keine Lösung
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
2
2
x + 5 x – 14 = 0
(x+7) (x−2) = 0
x1 = − 7; x2 = 2
x 4 − 3x 2 − 4 = 0
2
Subst.: u = x
2
u – 3u − 4 = 0
(u−4) (u +1) = 0
u = 4 oder u = − 1
2
Rücksub.: x = 4 x1,2 = ±2
2
x = −1 keine Lösung
Für welche Werte von k ∈ IR hat die
2
Gleichung x + (k+1) x − k −1 = 0 genau
eine Lösung?
Lösung:
Gleichung auf die allgemeine Form
bringen:
2
x + (k+1) x − (k +1) = 0
Bedingung für genau eine Lösung:
Diskri = 0
(k + 1)2 − 4 ⋅ 1⋅ (k + 1) = 0
2
k +2k+1−4k−4 = 0
2
k −2k−3 = 0
(k−3) (k+1) = 0
k1 = 3; k2 = −1
Für k =3 bzw. k = −1 hat die Gleichung
genau eine Lösung.
Maurer: Zusammenfassung / Seite 5 (Stand: 10.03.2006)
G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
B
Beeiissppiieell
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
12. Lineare Gleichungssysteme
Lösung zu Fuß mit dem GaußAlgorithmus
oder mit dem GTR
Mit dem GTR kann man aber nur n,nLGSe lösen, die eindeutig lösbar sind.
x1
+ 2 x2
+ 3 x3
= 10
2 x1
+ 4 x2
+ 3 x3
= 14
2 x1
+
+ 7 x3
x2
⋅1
= 11 ⋅ (− 1)
⋅ (− 2) Lösung mit GRT
Menü Equation
⋅1
F1: Simultaneous
 1 2 3 10 


0 3 − 4 3 
0 0 − 3 − 6


 1 2 3 10 


0 3 − 4 3 
0 0 1
2 

⋅1
 1 2 3 10 


 0 3 − 4 3  ⋅1
0 0 1
2  ⋅ 4 ⋅ (− 3 )

1 2 0 4 


 0 3 0 11
0 0 1 2 


1
11 12 − 22
10
x1 = 4 − 2 ⋅
=
=−
= −3
3
3
3
3
2
11
=3
x2 =
3
3
 10 11 
IL =  −
; ;2 
x3 = 2
 3 3 
Maurer: Zusammenfassung / Seite 6 (Stand: 10.03.2006)
G
Geebbiieett
13. Potenzrechnen
Potenzen mit natürlicher Hochzahl
Potenzen mit ganzer Hochzahl
Potenzen mit gebrochener
Hochzahl
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
n
.
B
Beeiissppiieell
....
a = a a a,
a wird also n-mal mit sich selbst multi.
0
a =1
1
a −n = n
a
5
.
.
a) 2 −1 =
Potenzen mit gleicher Basis
a n ⋅ a m = a n+m [⋅ → + ]
am
[:→ −]
= a n−m
a n b n = (ab )
3
=
2
1
9
3
(a )
5
23
5
1+
2
3
3
= 2 22
e 2−2 t
= e 2 − 2 t − (t + 2 ) = e 2 − 2 t − t − 2 = e −3 t
e t+2
2.
2. 2
.
2
2
a) 3 16 = 3 4 = (3 4) = 12
n
a
= 
n
b
b
Potenzieren von Potenzen
n m
1
c) e 2 t +1 = e 2 t ⋅ e1 = e ⋅ e 2 t
Potenzen mit gleicher Hochzahl
an
Logarithmus
b) 3 −2 =
b) 32 = 2 =
=2
2. 5
2+5
7
a) 3 3 = 3 = 3
b) e t ⋅ e 2 t = e t +2 t = e 3 t
d)
n
1
2
1
an
.
3 = 32 ;
a)
3
.
3 =3 3 3 3 3
1
an = n a
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
[
= a n⋅m
() →⋅
Definition
logax = y ⇔ x = a y
Nat. Log:
ln x = y ⇔ x = e y
Logarithmusgesetze
logaa=1
loga1=0
log (uv) = log u + log v
u
log  = log u − log v
v
n
log u = n log u
]
3
5
3
b)   =
( )
c) 3 2n
3
33
53
= 3 2n⋅3 = 3 6n
a) ln 1 = 0
3
3
3
b) ln e = 3, da e =e
1
c) ln = − ln u
u
. .
d) ln 8 = ln (2 2 2) = ln 2 + ln 2 + ln 2
= 3 ln 2
3
e) ln 8 = ln 2 = 3 ln 2
3
f) ln
e 3 = ln e 2 =
3
2
Maurer: Zusammenfassung / Seite 7 (Stand: 10.03.2006)
G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
B
Beeiissppiieell
14. Exponentialgleichungen
2-gliedrige Summe
Faktorisieren oder Potenz isolieren
Substitution
a) e – 5 = 0
Isolieren
x−3
Logarithmieren
e =5
x−3 = ln 5
x = 3 + ln 5
2x
x
b) e -2e = 0
x
x
e (e − 2) = 0
x
e > 0, also keine Lösung
x
x
e − 2 = 0, also e = 2 und
damit x = ln 2
. -2x+1
2+3x
c) e
−4 e
=0 Isolieren
. -2x+1
2+3x
e
=4 e
Logarithmieren
. -2x+1
-2x+1
2+3x = ln (4 e
) = ln 4 + ln e
2+3x = ln 4 −2x+1
ln 4 − 1
5 x = ln 4 − 1
x=
5
tx
−tx
e − 4e = 3
Alles nach links
tx
. tx
e
e − 4e−tx − 3 = 0
2tx
tx
e −4−3e =0
tx
Subst.: u = e
2
u –3u–4=0
(u +1) (u –4) = 0
u1=−1; u2 = 4
Rücksubstitution
tx
...
e = − 1 keine Lösung, da e > 0
3-gliedrige Summe
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
x−3
tx
Lässt sich wegen des Parameters
nicht mit GTR lösen.
1
t
e = 4, daher tx = ln 4 und x = ln 4
x-Glieder und e -Glieder gemischt
ln-Gleichung
x
x
Lässt sich im allgemeinen nur mit GTR e = x + 2.
lösen
Nicht exakt lösbar. Newton-Verfahren
oder gleich GTR
Potenzieren mit Basis e
a) ln x = 3
Potenzieren mit e
3
x=e
Maurer: Zusammenfassung / Seite 8 (Stand: 10.03.2006)
Menü Equation Solver (F3)
G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
15. Funktionen
Eine Funktion ist eine Zuordnung. Jedem x-Wert wird genau ein y-Wert
zugeordnet.
y=2
y = c, c ∈ IR
konstante Funktion / Gerade
lineare Funktionen / Gerade
quadratische Funktion /
Normalparabel
quadratische Funktion / Parabel 2.
Ordnung
B
Beeiissppiieell
Hauptform:
y = mx + c,
1
wobei m die Steigung und c der y = 2 x − 1
Abschnitt auf der y-Achse ist.
Allgemeine Form: ax+by=d
Ist b = 0 und a ≠ 0, erhält man eine
senkrechte Gerade.
Ist a = 0 und b ≠ 0, erhält man eine
konstante Funktion.
Punkt-Steigungsform: y = m (x-x1)+y1
wobei P(x1Iy1) ein Punkt auf der
Geraden ist.
2
Hauptform
y=x
Schaubild Normalparabel
Die Normalparabel hat im Ursprung
eine doppelte Nullstelle, berührt dort
die x-Achse und hat dort keinen
Vorzeichenwechsel.
2
2
Allgemeine Form: y = ax +bx+c
y = x –2x –1
Produktform:
y = a (x-x1)(x-x2),
wobei x1, x2 Nullstellen sind.
2
Scheitelform:
y = a (x-xS) + yS,
wobei S(xSIyS) Scheitel
der Parabel ist.
Maurer: Zusammenfassung / Seite 9 (Stand: 10.03.2006)
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
Menü Graph
G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
B
Beeiissppiieell
kubische Funktion
Wendeparabel
Das Schaubild hat eine dreifache
Nullstelle
y=x
kubische Funktion / Parabel 3.
Ordnung
Allgemeine Form:
y = x -6x +9x=x(x-3)
Potenzfunktion
Hyperbel
Rechtwinklige Hyperbel:
x-Achse
waagrechte Asymptote für x → ±∞
y-Achse Pol mit Vorzeichenwechsel,
also senkrechte Asymptote
Hyperbel punktsymmetrisch zum
Ursprung
Hyperbel
x-Achse
waagrechte Asymptote für x → ±∞
y-Achse Pol ohne Vorzeichenwechsel,
also senkrechte Asymptote
Hyperbel achsensymmetrisch zur yAchse
Natürliche Exponentialfunktion:
x
f(x) = e
dabei ist die Eulersche Zahl
e = 2,718....
Hyperbel
Exponentialfunktion
3
3
3
2
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
2
2
y = ax +bx +cx+d
y=
1
x
= x −1
1
x2
= x −2
y=
y=e
x
Maurer: Zusammenfassung / Seite 10 (Stand: 10.03.2006)
G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
Logarithmusfunktion
Natürliche Logarithmusfunktion:
f(x) = ln x
Basis e
y-Achse senkrechte Asymptote
Sinus-Funktion
Periode P = 2 π
Symmetrie zum Ursprung
y = sin x
Cosinus-Funktion
Periode P = 2 π
Symmetrie zur y-Achse
y = cos x
Ruhefunktionen
Minuszeichen vor den ganzen Term
Spiegelung an der x-Achse
3
f(x) = x – 4x +1
3
g(x) = − f(x) = − x + 4x − 1
16. Einfache Transformationen
Spiegelung an der x-Achse
B
Beeiissppiieell
Maurer: Zusammenfassung / Seite 11 (Stand: 10.03.2006)
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
B
Beeiissppiieell
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R
Spiegelung an der y-Achse
Im Term alle x durch (−x) ersetzen
Spiegelung an der y-Achse
2
f(x) = x – 4x +1
2
g(x) = f(-x) = x – 4 (−x) − 1
2
g(x) = x + 4x − 1
Streckung in y-Achse
Faktor vor den Term
Streckung mit Faktor 2
2
f(x) = x
g(x) = 2 x
Streckung (Stauchung) mit Faktor
1
2
h(x) =
Verschiebung in y-Richtung um y0
y0 zum Term addieren
2
1 2
x
2
Verschiebung um 2 nach unten
f(x) = cos x
g(x) = cos x –2
Verschiebung in x-Richtung um x0
x ersetzen durch (x−x0)
Verschiebung um 4 nach rechts
2
f(x) = x -1
2
g(x) = (x-2) -1
Wann geht’s
endlich weiter?
Maurer: Zusammenfassung / Seite 12 (Stand: 10.03.2006)
G
Geebbiieett
LLöössuunnggssm
meetthhooddee
B
Beeiissppiieell
17. Differenzialrechnung
Ableitungsregeln
Maurer: Zusammenfassung / Seite 13 (Stand: 10.03.2006)
H
Hiinnw
weeiiss zzuum
mG
GTTR
R