Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft - StaBLab

Vorlesung: Statistik II für
Wirtschaftswissenschaft
Prof. Dr. Helmut Küchenho↵
Institut für Statistik, LMU München
Sommersemester 2017
Einführung
1
Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation
2
Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
3
Zufallsgrößen
4
Spezielle Zufallsgrößen
stetige Verteilungen
5
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
6
Genzwertsätze
t-Verteilung
Definition t-Verteilung
Seien X und Y1 , . . . Yn unabhängige Zufallsvariablen mit X ⇠
N(0, 1) und Yi ⇠ N(0, 1). Dann ist der Quotient
qP
n
X
2
i=1 Yi /n
⇠ tn
t-verteilt mit n Freiheitsgraden.
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
173 / 210
t-Verteilung
0.4
0.3
0.2
0.1
−6
Statistik 2
t30
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
t1
0.5
0.5
Beispiele der Dichtefunktion
−4
−2
Sommersemester 2017
0
2
4
6
−6
−4
−2
0
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
2
4
6
174 / 210
Anwendungen bei Finanzdaten
Häufig wird die Normalverteilung fr die Verteilung von Renditen
genutzt
Problematisch, da die Wahrscheinlichkeit von extremen Ausreißern
(Crash) unterschätzt wird
Abhilfe: Verwende Verteilungen mit heavy tails z.B. die t-Verteilung
Statistik 2
Sommersemester 2017
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175 / 210
Vergleich t-Verteilung und Normalverteilung
0.4
0.3
y
Verteilung
Normalverteilung
0.2
t−Verteilung
0.1
0.0
−4
−2
0
2
4
x
Statistik 2
Sommersemester 2017
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176 / 210
Einführung
1
Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation
2
Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
3
Zufallsgrößen
4
Spezielle Zufallsgrößen
5
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
6
Genzwertsätze
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
Analog zu den Maßzahlen und Überlegungen aus der deskriptiven
Statistik:
✓ ◆
X
Y
also z.B. ! 2 ⌦, zufällig gezogene Person und damit X (!) und Y (!)
Auswertung der Merkmale jeweils an derselben Person.
) zweidimensionale Zufallsvariable YX (wie bei Zusammenhangsanalyse
in Statistik I)
Das Hauptinteresse gilt (entsprechend der Kontingenztafel in Statistik I)
der gemeinsamen Verteilung
P({X = xi } \ {Y = yj })
Statistik 2
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177 / 210
Zweidimensionale Verteilungen
Betrachtet werden zwei eindimensionale diskrete Zufallselemente X und
Y (zu demselben Zufallsexperiment). Die Wahrscheinlichkeit
P(X = xi , Y = yj ) := P({X = xi } \ {Y = yj })
in Abhängigkeit von xi und yj heißt gemeinsame Verteilung der
mehrdimensionalen Zufallsvariable YX bzw. der Variablen X und Y .
Randwahrscheinlichkeiten:
pi•
=
P(X = xi ) =
m
X
P(X = xi , Y = yj )
j=1
p•j
Statistik 2
=
Sommersemester 2017
P(Y = yj ) =
k
X
P(X = xi , Y = yj )
i=1
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178 / 210
Bedingte Verteilungen
P(X = xi |Y = yj )
=
P(Y = yj |X = xi )
=
P(X = xi , Y = yj )
P(Y = yj )
P(X = xi , Y = yj )
P(X = xi )
Stetiger Fall: Zufallsvariable mit zweidimensionaler Dichtefunktion
f (x, y ):
!
Z
Z
b
P(a  X  b, c  Y  d) =
Statistik 2
Sommersemester 2017
d
f (x, y )dy
a
dx
c
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179 / 210
Kovarianz
Seien X und Y zwei Zufallsvariablen. Dann heißt
X ,Y
:= Cov(X , Y ) = E ((X
E(X ))(Y
E(Y )))
Kovarianz von X und Y .
Statistik 2
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180 / 210
Rechenregeln
Cov(X , X ) = Var(X )
Cov(X , Y ) = E(XY )
E(X ) · E(Y )
Cov(X , Y ) = Cov(Y , X )
Mit X̃ = aX X + bX und Ỹ = aY Y + bY ist
Cov(X̃ , Ỹ ) = aX · aY · Cov(X , Y )
Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ) + 2 · Cov(X , Y )
Statistik 2
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181 / 210
Korrelation
Definition
Zwei Zufallsvariablen X und Y mit Cov(X , Y ) = 0 heißen unkorreliert.
Stochastisch unabhängige Zufallsvariablen sind unkorreliert. Die
Umkehrung gilt jedoch im allgemeinen nicht.
Vergleiche Statistik I: Kovarianz misst nur lineare Zusammenhänge.
Statistik 2
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182 / 210
Korrelationskoeffizient
Definition
Gegeben seien zwei Zufallsvariablen X und Y . Dann heißt
⇢(X , Y ) = p
Cov(X , Y )
p
Var(Y )
Var(X )
Korrelationskoeffizient von X und Y .
Statistik 2
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183 / 210
Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten
Mit X̃ = aX X + bX und Ỹ = aY Y + bY ist
|⇢(X̃ , Ỹ )| = |⇢(X , Y )|.
1  ⇢(X , Y )  1.
|⇢(X , Y )| = 1 () Y = aX + b
Sind Var(X ) > 0 und Var(Y ) > 0, so gilt ⇢(X , Y ) = 0 genau dann,
wenn Cov(X , Y ) = 0.
Statistik 2
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184 / 210
Einführung
1
Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation
2
Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung
3
Zufallsgrößen
4
Spezielle Zufallsgrößen
5
Mehrdimensionale Zufallsvariablen
6
Genzwertsätze
Grenzwertsätze: Einführung
Big Data: Bobachtung von großen Datensätzen
Was ist das Besondere daran?
Vereinfacht sich etwas und wenn ja was?
Kann man Wahrscheinlichkeitsgesetzmäßigkeiten“ durch
”
Betrachten vielfacher Wiederholungen erkennen?
Statistik 2
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185 / 210
Das i.i.d.-Modell
Betrachtet werden diskrete oder stetige Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn , die
i.i.d. (independently, identically distributed) sind, d.h. die
1) unabhängig sind und
2) die gleiche Verteilung besitzen.
Ferner sollen der Erwartungswert µ und die Varianz 2 existieren. Die
Verteilungsfunktion werde mit F bezeichnet.
Dies bildet insbesondere die Situation ab in der X1 , . . . , Xn eine
Stichprobe eines Merkmals X̃ bei einer einfachen Zufallsauswahl sind.
Beispiel:
X̃ Einkommen, n Personen zufällig ausgewählt
Statistik 2
X1
X2
..
.
Einkommen der
Einkommen der
ersten
zweiten
..
.
zufällig ausgewählten Person
zufällig ausgewählten Person
Xn
Einkommen der
n-ten
zufällig ausgewählten Person
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186 / 210
Stichprobenvariable
Jede Funktion von X1 , . . . , Xn ist wieder eine Zufallsvariable, z.B. das
arithmetische Mittel oder die Stichprobenvarianz
n
1X
Xi
n
i=1
S̃ 2 =
n
1X
(Xi
n
X̄ )2
i=1
Wahrscheinlichkeitsaussagen möglich =) Wahrscheinlichkeitsrechnung
anwenden
Gerade bei diesen Zufallsgrößen ist die Abhängigkeit von n oft
wichtig, man schreibt dann X̄n , S̃n2
Sind X1 , . . . , Xn jeweils {0, 1}-Variablen, so ist X̄n gerade die
empirische relative Häufigkeit von Einsen in der Stichprobe vom
Umfang n. Notation: Hn
Statistik 2
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187 / 210
Erwartungswert und Varianz von X̄n
X1 , X2 , . . . , Xn seien unabhängig und identisch verteilt.
X1 , X2 , . . . , Xn
Ist E(Xi ) = µ und Var (Xi ) =
2
i.i.d.
, so gilt:
E(X1 + X2 + . . . + Xn )
=
nµ
Var (X1 + X2 + . . . + Xn )
✓
◆
1
E
(X1 + X2 + . . . + Xn )
n
✓
◆
1
Var
(X1 + X2 + . . . + Xn )
n
=
n
=
µ
2
2
=
n
Diese Eigenschaften bilden die Grundlage für die folgenden Sätze.
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
188 / 210
Das schwache Gesetz der großen Zahlen
Betrachte für wachsenden Stichprobenumfang n:
X1 , . . . , Xn i.i.d.
Xi 2 {0, 1} binäre Variablen mit ⇡ = P(Xi = 1)
Beispiele: Pro/Contra, Kopf/Zahl, A tritt ein/A tritt nicht ein
Hn = die relative Häufigkeit der Einsen in den ersten n Versuchen.
relative
6
Häufigkeit
wahrer Wert
-
Statistik 2
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189 / 210
0
0
1000
1500
0.3
-
1000
1500
1500
1:i
3000
2000
3500
2500
3000
1:i
0.6
s[1:i]
0.5
0.4
0.3
0.6
s[1:i]
0.4
0.3
0
3500
1:i
500
1000
1500
1500
0.5
s[1:i]
0.5
0.6
s[1:i]
s[1:i]
0.3
0.4
2500
1500
0500
1000
0.7
0.7
0.6
0.7
0.7
s[1:i]
0.5
2000
1000
1:i
10001500
1:i
500
1:i
0.4
0.3
1500
500
0
5001000
1:i
0
1:i
0.6
0.7
0.6
1000
0
1500
1500
0.7
0.7
0.5
0.6
s[1:i]
s[1:i]
s[1:i]
0.4
0.5
0 500
0.3
500
1000
1500
1000
1:i
1000
1:i
0
1500
1:i
1000
500
1:i
0.3
0.4
1500
1000
500
500
0.6
0.7
0.7
0.4
0.5
s[1:i]
0.6
0.60.7
s[1:i]
0.50.6
0.3
1000
500
1:i
0500
0.6
0.5
s[1:i]
s[1:i]
0.4
0.3
500
1500
0
0
1000
1500
1500
2000 0
4000
2000
6000
4000
1:i
0
500
1:i
1000
1500
8000
6000
10000
8000
10000
1:i
2000
2500
3000
3500
1:i
0.7
1:i
0
0.3
1500
0.5
0.4
0.6
0.5
s[1:i]
0.4
0.3
1000
1:i
500
1000
0
1500
0.7
0.7
0.7
0.6
0.7
0.3
0.4
0.3
500
0500
0.40.5
0.30.4
0 500
0
1:i
0.5
0.6
s[1:i]
s[1:i]
0
1500
1:i
0.4
0.5
0.7
0.6
0.5
s[1:i]
0.4
0.3
0
1500
1000
1:i
-
0.3
1500
1000
1500
1000
500
1:i
0.3
500
1000
1:i
0
0.5
0.6
1000
1:i
0500
00
s[1:i]
s[1:i]
0.4
0.3
0.3
0.4
500
0.3
0
500
0.7
0.7
0.7
0.6
0.7
0.5
0.6
0.4
0.5
0.7
0.6
s[1:i]
0.5
s[1:i]
s[1:i]
0.4
0
0.3
00
0
0.4
0.5
0
eiben:
Simulationen
variable!
allsvariable!
FigurFigur
beschreiben:
beschreiben:
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
.7
Sommersemester 2017
.7
6.7
.7
Statistik 2
190 / 210
Beobachtungen
1
Am Anfang sehr unterschiedlicher, unregelmäßiger Verlauf der
Pfade.
2
Mit wachsendem n pendeln sich die Pfade immer stärker um ⇡
herum ein, d.h. mit wachsendem Stichprobenumfang konvergiert die
relative Häufigkeiten eines Ereignisses gegen seine
Wahrscheinlichkeit.
3
Formalisierung von 2.: Legt man sehr kleine Korridore/Intervalle um
⇡, so ist bei sehr großem n der Wert von Hn fast sicher in diesem
Korridor.
Das Ereignis Die relative Häufigkeit Hn liegt im Intervall der Breite
”
2✏ um ⇡ lässt sich schreiben als:
”
⇡
"
"
Statistik 2
Sommersemester 2017
Hn
Hn
⇡
|Hn
⇡|
⇡+"
"
"
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191 / 210
Theorem von Bernoulli
Seien X1 , . . . , Xn , i.i.d. mit Xi 2 {0, 1} und P(Xi = 1) = ⇡. Dann gilt für
Hn =
n
1X
Xi
n
i=1
(relative Häufigkeit der Einsen“) und beliebig kleines ✏ > 0
”
lim P(|Hn
n!1
⇡|  ✏) = 1
Anschauliche Interpretation: Die relative Häufigkeit eines Ereignisses
nähert sich praktisch sicher mit wachsender Versuchszahl an die
Wahrscheinlichkeit des Ereignisses an.
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
192 / 210
Zwei wichtige Konsequenzen
1) Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeiten:
P(A), die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A, kann man sich
vorstellen als Grenzwert der relativen Häufigkeit des Eintretens von A
in einer unendlichen Versuchsreihe identischer Wiederholungen eines
Zufallsexperiments.
2) Induktion: Man kann dieses Ergebnis nutzen, um Information über
eine unbekannte Wahrscheinlichkeit (⇡ =
ˆ Anteil in einer
Grundgesamtheit) zu erhalten.
Sei z.B. ⇡ der (unbekannte) Anteil der SPD Wähler, so ist die relative
Häufigkeit in der Stichprobe eine gute Schätzung für ⇡“. Je größer
”
die Stichprobe ist, umso größer ist die Wahrscheinlichkeit, dass die
relative Häufigkeit sehr nahe beim wahren Anteil ⇡ ist.
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
193 / 210
Gesetz der großen Zahl (allgemein)
Das Ergebnis lässt sich verallgemeinern auf Mittelwerte beliebiger
Zufallsvariablen:
Gegeben seien X1 , . . . , Xn i.i.d. Zufallsvariablen mit (existierendem)
Erwartungswert µ und (existierender) Varianz 2 . Dann gilt für
n
1X
X̄n :=
Xi
n
i=1
und beliebiges ✏ > 0:
µ|  ✏) = 1
lim P(|X̄n
n!1
Schreibweise:
P
X̄n ! µ
( Stochastische Konvergenz“, Xn konvergiert in Wahrscheinlichkeit
”
”
gegen µ“.)
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
194 / 210
Konsequenz
Interpretation des Erwartungswerts: µ kann in der Tat
interpretiert werden als Durchschnittswert in einer unendlichen
Folge von Wiederholungen des Zufallsexperiments.
Spiele. Wenn ein Spiel mit negativem Erwartungswert häufig
gespielt wird, verliert man mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit (Grund
für Rentabilität von Spielbanken und Wettbüros)
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
195 / 210
Die Verteilungsfunktion
Jetzt betrachten wir die empirische Verteilungsfunktion: In jedem Punkt
x ist Fn (x) vor der Stichprobe eine Zufallsvariable, also ist Fn eine
zufällige Funktion
Wie vergleicht man die zufällige Funktion Fn (x) mit der Funktion F (x)?
Der Abstand hängt ja von dem Punkt x ab, in dem gemessen wird!
Idee: Maximaler Abstand
max |FnX1 ,...,Xn (x)
x 2R
F (x)|
Existiert nicht immer; formal muss man das sogenannte Supremum
betrachten.
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
196 / 210
Hauptsatz der Statistik
Seien X1 , . . . , Xn i.i.d. mit Verteilungsfunktion F und sei Fn (x) die
empirische Verteilungsfunktion der ersten n Beobachtungen. Mit
Dn := sup |Fn (x)
F (x)|,
x
gilt für jedes c > 0
lim P(Dn > c) = 0.
n!1
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
197 / 210
Interpretation
Erträglichkeitsschranke“ c vorgegeben. Wsk, dass maximaler
”
Abstand größer c ist geht für hinreichend großes n gegen 0 =)
überall kleiner Abstand. Man kann {Dn > c} interpretieren als Die
”
Stichprobe führt den Betrachter hinter das Licht.“. Dann ist also die
Wahrscheinlichkeit mit hinreichend großem n praktisch null.
Anschaulich: Praktisch sicher spiegelt die empirische
Verteilungsfunktion einer unendlichen Stichprobe die wahre
Verteilungsfunktion wider.
Falls die Stichprobe groß genug ist, so wird letztendlich immer
representativ für die Grundgesamtheit, d.h. man kann
Verteilungsgesetzmäßigkeiten durch Beobachtungen erlernen
(grundlegend für die Statistik) ! Hauptsatz “.
”
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
198 / 210
4
Statistik 2
−4
−2
0
sort(x)
2
Sommersemester 2017
4
−4
−4−2
sort(x)
−20
02
24
sort(x)
4
−3
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4 2
function(x) pnorm(x, 0, 1) (x)
1.0
2 0
0.8
0 −2
0.6
sort(x)
0.4
1.0
−2−4
0.2
0.8
−4
0.0
0.6
function(x) pnorm(x, 0, 1) (x)
0.4
1.0
4
0.0
0.2
0.8
42
0.6
1.0
20
sort(x)
(1:lx)/lx
0.8
−2
0
sort(x)
0.4
(1:lx)/lx
0.6
(1:lx)/lx
0.4
−4
−2
0.0
0.2
0.2
−4
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.0
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.6
0.6
0.6
(1:lx)/lx
0.4
(1:lx)/lx
0.6
(1:lx)/lx
0.4
0.4
(1:lx)/lx
0.4
(1:lx)/lx
0.6
(1:lx)/lx
0.4
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
Beispiele
sort(x)
4 −4
−2
sort(x)
−2
−3 −1
0
−2 0
x
2
−1 1
0
4
Normal CDF
Normal CDF
x
2
1 3
2
3
199 / 210
Der zentrale Grenzwertsatz I
Gibt es für große Stichprobenumfänge Regelmäßigkeiten im
Verteilungstyp?
Gibt es eine Standardverteilung, mit der man oft bei großen
empirischen Untersuchungen rechnen kann?
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
200 / 210
Der zentrale Grenzwertsatz II
Seien X1 , . . . , Xn i.i.d. mit E(Xi ) = µ und Var(Xi ) =
n ✓
1 X Xi
p
Zn =
n i=1
µ
◆
2
> 0 sowie
.
Dann gilt: Zn ist asymptotisch standardnormalverteilt, in Zeichen:
a
Zn ⇠ N(0; 1), d.h. es gilt für jedes z
lim P(Zn  z) =
n!1
(z).
Für die Eingangsfragen gilt also:
Ja, wenn man die Variablen geeignet mittelt und standardisiert, dann
kann man bei großem n näherungsweise mit der Normalverteilung
rechnen. Dabei ist für festes n die Approximation umso besser, je
symmetrischer“ die ursprüngliche Verteilung ist.
”
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
201 / 210
Standardisieren
Die Funktion kommt durch Standardisieren und durch geeignetes mitteln
zustande.
p
Dabei ist es wichtig, durch n (und nicht durch n) zu teilen.
P
P
Xi
! verliert sich; Var( Xi ) ! 1
P
P
1
xi
! Var n1
Xi ! 0
n
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
202 / 210
Beispiele
Histogram of res
Histogram of res
1
0
2
3
1
2
0.4
Density
0.2
Density
0.1
0
2
2
4
−4
4
−2
res
Sommersemester 2017
4
0.4
0.4
0.3
Density
0.2
0.1
0.1
0.0
−4
−2
−2
0
res
0
2
2
4
Histogram of res
Histogram of res
0.0
−4
0
res
0.3
0.4
0.2
Density
0.1
0.0
2
res
Statistik 2
Density
0.3
0.4
0.3
0.2
Density
0.1
0
0
−2
Histogram of res
Histogram of res
0.0
−2
−2
−4
res
Histogram of res
−4
0.3
0.4
0.3
0.1
0.0
−4
3
res
0.4
−1
0.3
0
42
4
0.2
−2
res
Density
−1
0.1
−3
0.0
−2
0.0
0.2
0.3
−4
0.2
−3
Density
Density
0.1
0.0
0.1
0.0
0.0
−4
Histogram of res
0.2
0.3
0.2
0.2
Density
0.1
Density
0.3
0.4
Histogram of res
Histogram of res
−4
res
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
−2 −4
0 −2
res
2
0
4
2
6
4
6
res
203 / 210
Anwendung des zentralen Grenzwertsatz auf X̄ I
Gemäß dem Gesetz der großen Zahlen weiß man: X̄n ! µ
Für die Praxis ist es aber zudem wichtig, die konkreten Abweichungen bei
großem aber endlichem n zu quantifizieren, etwa zur Beantwortung
folgender Fragen:
Gegeben eine Fehlermarge " und Stichprobenumfang n: Wie groß ist
die Wahrscheinlichkeit, dass X̄ höchstens um " von µ abweicht?
Gegeben eine Fehlermarge " und eine
Sicherheitswahrscheinlichkeit“ : Wie groß muss man n mindestens
”
wählen, damit mit mindestens Wahrscheinlichkeit das
Stichprobenmittel höchstens um " von µ abweicht
(Stichprobenplanung)?
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
204 / 210
Anwendung des zentralen Grenzwertsatz auf X̄ II
Aus dem zentralen Grenzwertsatz folgt:
n ✓
1 X Xi
p
n i=1
oder auch
2
µ
◆
=
Pn
=
nX̄n nµ
X̄n µ a
p
p ⇠ N(0, 1)
=
n·
/ n
i=1
p
Xi
n·
✓
a
X̄n ⇠ N µ,
2
n
nµ
◆
.
wird mit wachsendem n immer kleiner
n
* Schwankung im richtigen Wert (µ)
* Ausschläge werden kleiner
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
205 / 210
Warten auf den Bus
Bestimme Wartezeit, Durchschnittliche Wartezeit in 1 Woche, 1 Monat,
1 Jahr
150
count
count
150
100
100
50
50
0
0
0.0
2.5
5.0
7.5
10.0
0.0
2.5
einmal
5.0
7.5
10.0
7.5
10.0
eine Woche
150
200
count
count
100
100
50
0
0
0.0
2.5
5.0
einen Monat
Statistik 2
Sommersemester 2017
7.5
10.0
0.0
2.5
5.0
ein Jahr
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
206 / 210
1 Jahr
count
200
100
0
4.50
4.75
5.00
5.25
5.50
ein Jahr
Statistik 2
Sommersemester 2017
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
207 / 210
Approximation der Binomialverteilung I
Sei X ⇠ B(n, ⇡). Kann man die Verteilung von X approximieren?
Hier hat man zunächst nur ein X . Der zentrale Grenzwertsatz gilt aber
für eine Summe vieler Glieder.
Idee: Schreibe X als Summe von binären Zufallsvariablen.
X ist die Anzahl der Tre↵er in einer i.i.d. Folge Y1 , . . . , Yn von
Einzelversuchen, wobei
(
1 Tre↵er
Yi =
0 kein Tre↵er
Derselbe Trick wurde bei der Berechnung von Erwartungswerten
angewendet.
Die Yi sind i.i.d. Zufallsvariablen mit Yi ⇠ Bin(1, ⇡) und es gilt
X =
n
X
i=1
Statistik 2
Sommersemester 2017
Yi ,
E(Yi ) = ⇡,
Var(Yi ) = ⇡ · (1
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
⇡).
208 / 210
Approximation der Binomialverteilung II
Damit lässt sich der zentrale Grenzwertsatz anwenden:
!
P
n
1 X
Yi ⇡
1
Yi n · ⇡
p
p
= p p
n i=1
n
⇡(1 ⇡)
⇡(1 ⇡)
P
Yi n · ⇡ a
= p
⇠ N(0, 1)
n · ⇡(1 ⇡)
und damit
X E(X ) a
p
⇠ N(0, 1)
Var(X )
so dass
P(X  x) ⇡
falls n groß genug.
Statistik 2
Sommersemester 2017
x
n·⇡
p
n · ⇡(1
⇡)
!
Helmut Küchenho↵ (Institut für Statistik, LMU)
209 / 210
Faustregeln
Es gibt verschiedene Faustregeln, ab wann diese Approximation gut ist,
z.B.
n·⇡
5 und n · (1
n · ⇡(1
⇡)
5
⇡)
9
Wichtig: Ob die Approximation hinreichend genau ist, hängt
insbesondere vom substanzwissenschaftlichen Kontext ab.
Statistik 2
Sommersemester 2017
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210 / 210