Das Elektrische Feld: kontinuierliche Ladungsverteilungen

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ELEKTRIZITÄT UND MAGNETISMUS
Tipler-Mosca
22. Das elektrische Feld I: kontinuierliche Ladungsverteilungen (The
electric field II: continuous charge distributions)
22.1 Berechnung von E mit dem Coulomb'schen Gesetz (Calculating E from Coulomb's law)
22.2 Das Gauß'sche Gesetz (Gauss's law)
22.3 Berechnung von E mit dem Gauß'schen Gesetz (Calculating E from Gauss's law)
22.4 Diskontinuität von E n (Discontinuity of E n )
22.5 Ladung und Feld auf Leiteroberflächen (Charge and field at conductor surfaces)
22.6 Ableitung des Gauß'schen Gesetzes aus dem Coulom'schen Gesetz (Derivation of Gauss's
law from Coulomb's law)
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Die Beschreibung einer sehr großen Zahl von diskreten Ladungen mit einer kontinuierlichen Ladungsdichte
ist ähnlich der Verwendung einer kontinuierlichen Massendichte.
Gegeben sei ein ein endliches Raumgebiet V mit kontinuierlich verteilten Ladungen ⇒
G
dq
im Volumelement dV sei die Ladung dq enthalten ⇒ Raumladungsdichte ρ ( r ) =
;
dV
G
dq
;
analog für eine kontinuierliche Ladungsverteilung auf einer Oberfläche A ⇒ σ ( r ) =
dA
G
dq
analog für eine kontinuierliche Ladungsverteilung längs einer Linie im Raum ⇒ λ (r ) =
;
dA
22.1 Berechnung von E mit dem Coulomb'schen Gesetz (Calculating E from Coulomb's law)
G
Mit Hilfe des Feldes dE eines Ladungselementes dq
kann durch Integration über die gesamte Ladungsveretilung
G
das Feld E inm Aufpunkt P berechnet werden.
Analog für eine Oberflächenladung bzw. für eine
Linienladung.
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E auf der Achse einer endlichen Linienladung
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Eine Ladung q sei gleichmäßig längs der x-Achse
dq q
= ;
von x1 = 0 bis x2 = +L verteilt ⇒ Linienladungsdichte λ =
dx L
G
gesucht Feld E im Aufpunkt P bei xP > L entlang der x-Achse ⇒
Mit dem Coulomb'schen Gesetz dE x =
Integration E x =
λ dx
L
1
4πε 0
∫ (x
0
0
− x)
2
1
dq
4πε 0 ( x0 − x )2
=
λ dx
1
⇒
4πε 0 ( x0 − x )2
,
mit Substitution x0 − x = u bzw. − dx = du wobei für x = 0 → u = x0 und für x = L → u = x0 − L ⇒
λ
⇒ Ex =
4πε 0
für x0 L
x0 − L
∫
x0
x −L
λ 1 0
− du
=
4πε 0 u x0
u2
⇒ Ex ≈
=
λ
4πε 0
⎡ 1
λ
1⎤
−
⎢
⎥=
⎣ x0 − L x0 ⎦ 4πε 0
⎡ x 0 − ( x0 − L ) ⎤
λ
⎢
⎥=
⎢⎣ ( x0 − L ) x0 ⎥⎦ 4πε 0
⎡
⎤
L
1
q
⎢
⎥=
2
⎢⎣ ( x0 − L ) x0 ⎥⎦ 4πε 0 x0 − Lx0
⇒
1
q
4πε 0 x02
E außerhalb der Achse einer endlichen Linienladung
G
G
G
in diesem Fall dE = dE x ex + dEy ey
⇒
hier Berechnung der y -Komponente, im Beispiel 22.1 x -Komponente berechnet:
Ein positives Ladungselement dq = λ dx erzeugt den Betrag des Feldes
G
G y
G
λ dx
1 dq
y
E
E
E
⇒
Komponente
d
=
d
cos
θ
=
d
dE =
=
y
r
4πε 0 r 2
4πε 0 r 2
wobei r =
x +y
2
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2
λ dx y
λ ydx
⇒ dE y =
=
2
4πε 0 r r
4πε 0 r 3
λy
⇒ Ey =
4πε 0
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x2
dx
∫r
3
x1
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mit x = y tanθ
λy
Ey =
4πε 0
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⇒ dx =
dx
λy
=
∫ 3 4πε 0
x1 r
x2
θ2
y
dθ ; mit y = r cosθ
cos 2 θ
3
⇒
1 cos θ
=
r
y
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⇒ eingesetzt
⇒
θ
⎛ cos θ ⎞
y
λ 1 2
λ 1
1 q
d
cos
d
sin
sin
=
=
−
=
θ
θ
θ
θ
θ
(
)
( sinθ 2 − sinθ1 )
⎜
⎟
2
1
∫θ ⎝ y ⎠ cos2 θ
∫
4
y
4
y
4
Ly
πε
πε
πε
0
0
0
θ1
1
Für die x-Komponente siehe Beispiel 22.1
Elektrische Feldlinien in der Nähe eines langen Drahtes,
und Korona-Entladung
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Das elektrische Feld E einer unendlichen Linienladung
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Das elektrische Feld in einem beliebigen Punkt P, das von einer unendlich
ausgedehnten Linienladung erzeugt wird,
erhält man wenn x1 → −∞ und x2 → +∞ ⇔ θ1 → −π / 2 und θ 2 → +π / 2
⇒ aus Gl. (22.8a) E y =
λ
1
4πε 0 y
bzw. aus Gl (22.8b) E x =
( sinθ 2 − sinθ1 ) =
λ
1
4πε 0 y
2λ
1 2λ
=
wobei y = r⊥
4πε 0 y
4πε 0 r⊥
1
( cosθ 2 − cosθ1 ) = 0
Beispiel 22.1: Das elektrische Feld auf der Mittelsenkrechten einer endlichen Linienladung
Gesucht: elektrisches Feld in der Mittelebene eines homogen geladenen
Liniensegments mit linearer Ladungsdichte λ und Länge L ⇒
mit x1 = −L / 2 und x1 = +L / 2 bzw. θ1 = −θ 2 = −θ und Gl. (22.8a) ⇒
Ey =
1
λ
4πε 0 y
mit sinθ =
( sinθ 2 − sinθ1 ) =
1
L
2
1
λ
4πε 0 y
⇒ Ey =
2
⎛1 ⎞
2
⎜ 2L⎟ + y
⎝
⎠
( sinθ − sin( −θ )) =
2λ
4πε 0 y
1
2λ
sinθ ,
4πε 0 y
1
1
L
2
2
⎛1 ⎞
2
⎜ 2 L⎟ + y
⎝
⎠
1 λ
1 λ
mit Gl. (22.8b) ⇒ E x =
( cosθ 2 − cosθ1 ) =
( cosθ − cos( −θ )) = 0
4πε 0 y
4πε 0 y
G
G
G
⇒ E = E x ex + E y ey =
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2λ
4πε 0 y
1
1
L
2
2
⎛1 ⎞
2
⎜ 2 L⎟ + y
⎝
⎠
G
ey
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Beispiel 22.2: Das elektrische Feld als Nah- und Fernfeld einer endlichen Linienladung
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mögliches Prüfungsbeispiel
Beispiel 22.3: Das elektrische Feld einer Linienladung und einer Punktladung
Eine unendlich lange Linienladung mit λ = 0.6 μ C m-1 erstreckt sich
länges der z-Achse, eine Punktladung q = 8 μ C befindet sich auf der
G
y-Achse bei y = 3 m. Gesucht E bei P auf der x -Achse bei x = 4 m ⇒
G
G
1 2λ
Feld EL der Linienladung: EL =
⇒ mit r⊥ = x = 4 m ⇒
4πε 0 r⊥
(
)
G
2 0.6 μ C m-1
G
9
2
-2
EL = 8.99 × 10 N m C
= 2.70 kN C-1 ex
( 4 m)
G
G
1 q G
er ⇒ mit r = x 2 + y 2 ⇒
Feld EP der Punktladung: EP =
2
4πε 0 r
G
G
( 8 μC)
-1 G
e
=
2.88
kN
C
er ⇒
EP = 8.99 × 109 N m2 C-2
r
⎡( 3 m ) 2 + ( 4 m ) 2 ⎤
⎦
⎣
G
G x
G
G
G y
G
EP,x = EP cos ( −θ ) = EP = 0.8 EP , EP,y = EP sin ( −θ ) = EP
= −0.6 EP
r
r
-1
⇒ Gesamtfeld: E x = EL,x + EP,x = 5.00 kN C , E y = EL,y + EP,y = −1.73 kN C-1,
(
)
(
)
E = E x2 + E y2 = 5.29 kN C-1, mit
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(
)
(
Ey
Ex
= tan ϕ
⇒ ϕ = a tan
)
Ey
Ex
= −19.1°
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Das elektrische Feld E auf der Achse einer Ringladung
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Ringladung mit gleichmäßiger Ladungsverteilung, mit
Radius a und Gesamtladung q.
G
Siehe Abbildung: Feld dE durch Ladungselement dq besteht
aus Komponente dE x längs der Ringachse und Komponente
dE y senkrecht dazu ⇒ die paarweise senkrechte Komponenten
heben sich auf ⇒ das resultierende liegt Feld längs der Ringachse,
die senkrechte Komponente ist null.
dE x =
1
dq
1 dq x
1
x dq
cosθ =
=
2
2
4πε 0 r
4πε 0 r r
4πε 0 x 2 + a 2
(
wobei cosθ =
x
=
r
1
xdq
Ex =
Ex =
4πε 0
∫
1
(
x
x +a
2
x 2 + a2
)
3/ 2
xdq
(
4πε 0 x 2 + a 2
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)
3/2
2
)
3/ 2
⇒ Integration
⇒ da x und a sich nicht ändern ⇒
∫ dq =
1
xq
(
4πε 0 x 2 + a 2
)
3/ 2
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Das elektrische Feld E auf der Achse einer homogen geladenen Kreisscheibe
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Homogen geladene Scheibe mit Radius R und Gesamtladung q.
Berechnung des elektrischen Feldes auf der Achse indem die Scheibe
als einen Satz konzentrischer Ringladungen betrachtet wird ⇒
Ring mit Radius a und Breite da hat die Fläche dA = 2π ada und die
(
Ladung dq = σ dA = σ 2π ada, wobei σ = q / π R 2
ist ⇒ mit Gl. (22.10) dE x =
1
xdq
(
4πε 0 x 2 + a 2
Intergration von a = 0 bis a = R ⇒ E x =
)
3/2
=
1
4πε 0
) die Flächenladungsdichte
(
4πε 0 x 2 + a 2
xσ 2π ada
R
∫
0
(x
Substitution u = x 2 + a 2 bzw. du = 2ada ⇒ E x =
σ
Ex =
2ε 0
⎛x
⎜ −
⎝x
⎞
σ ⎛
=
⎟
⎜1−
2
2
2
ε
x +R ⎠
0 ⎝
x
xσ 2π ada
1
2
+a
xσ
4ε 0
2
)
3/2
x 2 +R2
∫
)
⇒
3/ 2
xσ
=
4ε 0
R
∫
0
u −3 / 2 du =
⎛
⎞
σ ⎜
1
1−
=
⎟
2
x 2 + R 2 ⎠ 2ε 0 ⎜⎜
+
1
R
x
(
)
⎝
x
2ada
(x
2
+a
2
)
3/2
x 2 +R 2
xσ u
4ε 0 ( −1/ 2 ) x 2
−1/ 2
⎞
⎟
⎟⎟
⎠
⇒
=−
xσ ⎛
1
−
⎜
2ε 0 ⎝ x 2 + R 2
1 ⎞
⎟ ⇒
x2 ⎠
Für große endliche Entfernung ⇒
Wurzelausdruck in eine Taylor-Reihe
(1 + u )
entwickelt ⇒
⇒
Ex =
σ
2ε 0
⎛
R2 ⎞
1 π R 2σ
1 q
−
+
=
=
1
1
⎜
2 ⎟
2
4πε 0 x 2
2 x ⎠ 4πε 0 x
⎝
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(1+ ( R x ) )
2
−1/ 2
n
= (1 + nu + ...)
R2
≈ 1−
2x 2
⇒
für x R wobei q = π R 2σ
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Beispiel 22.4: Das elektrische Feld auf der Achse einer geladenen Kreisscheibe
Seite 10
Kreisscheibe mit R = 5 cm und mit homogener Oberflächenladungsdichte σ = 4 μ C m −2 .
Gesucht elektrischer Feld bei a) x = 0.01 cm, b) x = 0.03 cm, und c) x = 6 m unter Ausnutzung einer geeigneten
Näherung und der Gl. (22.11):
Teil a) da x = 0.01 cm R = 5 cm ⇒ in der Nähe der Scheibe ist das elektrische Feld näherungsweise
4 μ C m−2 )
(
σ
das einer unendlichen ebenen Scheibe ⇒ E x ≈
=
= 225.88 kN C-1
−12
2
-1
-2
2ε 0 2 ( 8.854 × 10
C N m )
Teil b) da x = 0.03 cm R = 5 cm ⇒ in der Nähe der Scheibe ist das elektrische Feld näherungsweise
4 μ C m−2 )
(
σ
-1
=
=
das einer unendlichen ebenen Scheibe ⇒ E x ≈
225.88
kN
C
2ε 0 2 ( 8.854 × 10 −12 C2 N-1 m-2 )
Teil c) da x = 6 m R = 5 cm ⇒ das elektrische Feld weit entfernt von der Scheibe wirkt wie jenes einer
(
)
3.1415 ( 0.05 m ) 4 μ C m−2
1 π R 2σ
2
2
Punktladung ⇒ E x ≈
= 8.99 × 109 N m C
= 7.8431 N C -1
2
2
4πε 0 x
( 6 m)
(
Teil d) Exakte Lösungen aus Gl. (22.11) E x =
)
σ
2ε 0
( (
⎛
⎞ ⎛
zu Teil b) ⎜ 1 − (1 + ( R x ) )
⎟ = ⎜ 1 − (1 + ( 5 × 10
⎝
⎠ ⎝
⎛
⎞ ⎛
zu Teil c) ⎜ 1 − (1 + ( R x ) )
⎟ = ⎜ 1 − (1 + ( 5 × 10
⎝
⎠ ⎝
(
2
⎛
zu Teil a) ⎜ 1 − 1 + ( R x )
⎝
2
2
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)
−1/ 2
−1/ 2
−1/ 2
2
(
2
⎛
⎜1 − 1 + ( R x )
⎝
⎞ ⎛
−2
−4
⎟ = ⎜ 1 − 1 + 5 × 10 5 × 10
⎠ ⎝
−2
−2
3 × 10 −4
6
)
)
2 −1/ 2
)
))
)
)
−1/ 2
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟ = 0.998
⎠
−1/ 2
⎞
⎟ = 0.994
⎠
2 −1/ 2
2
⎞
−5
⎟ = 3.47 × 10
⎠
Seite 10
⇒
⇒ E x = 225.43 kN C-1
⇒ E x = 224.53 kN C-1
⇒ E x = 7.8427 N C-1
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Das Feld einer geladenen Scheibe nähert sich dem Feld einer
Punktladung für große Entfernungen, und ist gleich dem Feld
einer unendlichen ebenen Flächenladung in der Grenze für x → 0
Das elektrische Feld E einer unendlichen ebenen Flächenladung
Elektrisches Feld einer unendlichen ebenen homogenen
Flächenladung erhältlich aus Gl. (22.11) mit R / x → ∞ ⇒
Ex =
σ
2ε 0
für x > 0
⇒ Das Feld ist nicht von x abhängig, somit homogen.
Auf der anderen Seite der unendlich ebenen Fläche (d.h. für negative
Werte von x ), zeigt das Feld in die negative x -Richtung ⇒
Ex = −
σ
2ε 0
für x < 0
⇒ E x hat eine Unstetigkeit (Diskontinuität) E x+ − E x− =
σ
wenn
ε0
der Aufpunkt des Feldes die unendliche Flächenladung durchschreitet
(siehe auch Teil 22.4)
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22.2 Das Gauß'sche Gesetz (Gauss's law)
Tel 22 Elektrisches Feld II
Seite 12
Elektrischer Dipol, eingeschlossen von einer Oberfläche
von beliebiger Gestalt. Die Oberfläche schließt beide
Ladungen ein ⇒ die Zahl der Feldlinien von innen her
und von außen durch ist gleich, unabhängig von der
Gestalt der Oberfläche
Die Differenz der eine Oberfläche verlassenden und
eintretenden Feldlinien ist proportional der von der
Oberfläche eingeschlossenen Gesamtladung =
qualitative Aussage des Gauß'schen Gesetzes
Für statische Ladungen und zeitunabhängige Felder sind das Gauß'sche Gesetz und das Coulomb'sche Gesetz
äquivalente Beschreibungen (siehe auch Teil 22.6)
Der elektrische Fluß
Die mathematische Größe, die der Zahl der Feldlinien entspricht, die eine Fläche
senkrecht durchstoßen, nennt manelektrischen Fluß Φ el , Einheit N m2 C -1
G
E durchdringt die Fläche A senkrecht ⇒
Φ el = EA
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Der elektrische Fluß Φ el durch eine
G
ebene Fläche A mit beliebiger
G
Orientierung nˆ (Normalrichtung)
G
G
zwischen E und A ist gegeben
G G
G G
durch Φ el = E ⋅ A = E A cos θ = En A
G G
wobei E n = E ⋅ nˆ
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Tel 22 Elektrisches Feld II
Seite 13
G
Wenn E n auf der Fläche variiert, entweder weil E sich ändert
G
G
oder der Winkel zwischen E und nˆ veränderlich ist, dann ist es
G
zweckmäßig die Fläche in kleine Flächenelemente ΔAi einzuteilen
⇒ Gesamtfluß durch die Fläche durch Aufsummierung über die
G
G
Flüsse aller Flächenelemente: Φ el = ∑ Ei ⋅ ΔAi
i
Für die mathematische Formulierung des Gauß'schen Satzes ist man an dem Fluß durch eine
G
geschlossene Oberfläche (nˆ zeigt dabei nach außen) interessiert
G G
Φ el = v
E
∫ ⋅ dA = v∫ En dA
A
A
G
Der Gesamtfluß durch eine geschlossene Oberfläche kann positiv oder negativ sein, abhängig ob E
an der Oberfläche vorwiegend nach außen oder nach innen zeigt.
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Quantitative Darstellung des Gauß'schen Gesetzes
Tel 22 Elektrisches Feld II
Seite 14
Kugeloberfläche mit einer eingeschlossenen Punktladung.
Elektrisches Feld der Punktladung steht überall senkrecht auf dieser
Oberfläche ⇒
1 q
En =
⇒ aus Gl. (22.17) Gesamtfluß Φ el =
4πε 0 R 2
2
Kugeloberfläche A ⇒ Φ el = E n v
∫ dA = En 4π R =
A
v∫ E
n
dA ⇒
A
1
q
q
4π R 2 =
2
ε0
4πε 0 R
⇒ Gesamtfluß Φ el ist unabhängig vom Radius R der Kugel
Übertragung des Ergebnisses auf Systeme mit mehreren Ladungen qi mit Hilfe
G
der Tatsache, daß E in irgendeinem Punkt an der Oberfläche
G
G
als Vektorsumme E = ∑ Ei der durch die einzelnen Punktladungen erzeugten
i
G
elektrischen Feldern E i sich ergibt ⇒ Φ el = ∑ Φ i , wobei Φ i Flüsse durch die
i
einzelne Punktladungen.
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Beispiel 22.5: Berechnung des elektrischen Flusses durch die geschlossene Oberfläche eines Zylinders und seiner inneren Ladung
Seite 15
G
G
Gegeben E = 200 N C-1 ex für x > 0 und E = −200 N C -1 ex für x<0.
G
Zylindrische Oberfläche, Achse parallel zu E, Länge L = 20 cm,
(
)
(
)
Radius R = 5 cm. Koordinatenursprung im Mittelpunkt der
Zylinderachse = x-Achse ⇒ die Enden des Zylinders liegen bei
x = ±10 cm.
Gesucht: a) der nach außen gerichtete Fluß, b) die Gesamtladung
innerhalb der geschlossenen Oberfläche
G G
G
G
G G
Teil a) Φ el durch die rechte Kreisfläche: mit nˆ = ex ⇒ Φ el,rechts = Erechts ⋅ Arechts = Erechts π R 2 ex ⋅ ex = Erechtsπ R 2 ⇒
(
)
Φ el,rechts = 200 N C-1 π ( 0.05 m ) = 1.57 N m2 C-1
G
G
G
G
G
G
Φ el durch die linke Kreisfläche: mit nˆ = −ex ⇒ Φ el,links = Elinks ⋅ Alinks = Elinksπ R 2 ( −ex ) ⋅ ( −ex ) = Elinksπ R 2 ⇒
(
)
2
Φ el,links = 200 N C-1 π ( 0.05 m ) = 1.57 N m2 C-1
G G
G
G
G
G
Φ el durch den Mantel: Φ el,Mantel = EMantel ⋅ AMantel ⇒ da nˆ ⊥ ex ⇒ EMantel ⋅ AMantel = 0 ⇒ Φ el,Mantel = 0
2
Φ el, ges = Φ el,rechts + Φ el,links + Φ el,Mantel = 1.57 N m2 C-1 + 1.57 N m2 C-1 + 0 = 3.14 N m2 C-1
Teil b) aus Gl. (22.19) Φ el, ges =
q
ε0
(
⇒ q = ε 0 Φ el, ges = 8.85 × 10−12 C2 N-1 m-2
)( 3.14 N m
2
)
C-1 ⇒
q = 2.78 × 10−11 C = 27.8 pC
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22.3 Berechnung von E mit dem Gauß'schen Gesetz (Calculating E from Gauss's law)
Seite 16
Wenn eine hoch symmetrische Ladungsverteilung gegeben ist, dann kann das elektrische Feld oft leichter
mit Hilfe des Gauß'schen Gesetzes berechnet werden als unter Benutzung des Coulomb'sches Gesetzes.
Ebene Symmetrie
Eine Ladungsverteilung hat ebene Symmetrie, wenn die Ladung über
eine unendlich ausgedehnte ebene Fläche gleichmäßig verteilt ist.
G
Aufgrund der Symmetrie muß E senkrecht zur Ladungsebene stehen.
G G
Auf der Mantelfläche ist E ⋅ nˆ = 0 ⇒ Φ el, Mantel = 0,
G G
durch jede der ebenen Deckflächen ist E ⋅ A = En A ⇒ Φ el, ges = 2En A;
da die Gesamtladung innerhalb der Oberfläche qinnen = σ A ist ⇒
aus Gauß'sches Gesetz qinnen = σ A = ε 0 Φ el, ges = ε 0 2En A ⇒
En =
σ
2ε 0
(vergleiche Gl. (22.13a) bzw. Gl. (22.13b))
E n ist positiv (negativ), wenn
σ positiv (negativ) ist.
Beispiel 22.6: Das elektrische Feld zwischen zwei unendlichen planparallelen Ebenen
Gegeben sind zwei unendliche Ebenen mit der Oberflächenladungsdichte
σ = +4.5 nC m-2 in der Ebene bei x = 0, und σ = −4.5 nC m-2 bei x = 2 m,
gesucht E bei a) x = 1.8 m und bei b) x = 5 m:
Teil a) Teilfelder, die von den Ladungsebenen erzeugt werden
G
G
G G
G
σ
σ G
E1 = E2 =
⇒ bei x = 1.8 m ⇒ E = E1 + E2 =
e
ε0 x
2ε 0
G G
G
bei x = 5 m ⇒ E = E1 + E2 = 0
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Kugelsymmetrische Ladungsverteilungen
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Seite 17
Ladungsverteilung mit Kugelsymmetrie ⇔ in jedem Punkt einer Kugeloberfläche liegt die gleiche
Ladungsverteilung vor ⇒ aus praktischen Gründen Gauß'sche Fläche auch kugelsymmetrisch ⇒
G
Zur Veranschaulichung: Punktladung q ⇒ E radialsymmetrisch nach außen oder nach innen ⇒
G
G G
E senkrecht zur Gauß'schen Oberfläche im Abstand r von der Punktladung ⇒ En = E ⋅ nˆ = E ⇒
G G
q
1 q
2
Φ el = v
E
∫A dA = v∫A EdA =E v∫A dA = E 4π r = ε 0 ⇒ E = 4πε 0 r 2
(
)
(siehe auch Abschnitt 22.6)
Das elektrische Feld einer homogenen geladenen dünnen Kugelschale
Homogen geladene Kugelschale mit Radius R und Gesamtladung q ⇒
G
Aufgrund der Symmetrie ⇒ E radial ⇒ Gauß'sche Kugelfläche mit Radius r > R ⇒
G
G
G G
q
1 q
2
π
für r > R
da E & nˆ ⇒ Φ el = v
E
d
A
=
E
d
A
=
E
d
A
=
E
4
r
=
⇒
E
=
∫A
v∫A
v∫A
ε0
4πε 0 r 2
(
)
Feld innerhalb der Kugelschale ⇒ wahl einer kugelförmigen Gauß'schen Oberfläche mit r < R
(
⇒
)
da q = 0 für r < R ⇒ Φ el = E 4π r 2 = q / ε 0 = 0
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Elektrisches Feld E für die Ladungsverteilung
einer Kugelschale in Abhängigkeit von r
Das elektrische Feld E ist bei r = R unstetig
Beispiel 22.7: Elektrisches Feld, erzeugt durch eine Punktladung und eine geladene Kugelschale
Kugelschale mit Radius R = 3 m, Mittelpunkt im Koordinatenursprung, und mit Oberflächenladungsdichte σ = 3 nC m-2 .
Punktladung mit q = 250 nC auf der y-Achse bei y = 2 m.
Gesucht elektrisches Feld auf der x-Achse bei a) x = 2 m und b) x = 4 m.
4
2
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G
Teil a) Innerhalb der Kugelschale wird das elektrische Gesamtfeld E1 allein durch die Punktladung erzeugt ⇒
−9
G
G
1 q G
C
2
2
2
2
2
2
2
-2 250 × 10
E1 =
e
⇒
mit
r
=
x
+
y
=
2
m
+
2
m
=
8
m
⇒
E
=
8.99
×
109
N
m
C
= 281 N C-1,
( ) ( )
r1
1
1
1
2
2
4πε 0 r1
8m
G
G
G
G
G
G
G
− y −2 m
aus tanθ1 =
=
= −1 ⇒ θ1 = a tan( −1) = −45° ⇒ E1 = E1, x ex +E1,y ey = E1 cosθ1 ex + E1 sinθ1 ey ⇒
2m
x1
G
G
G
G
G
E1 = 281 N C-1 cos(-45°)ex + 281 N C-1 sin(-45°)ex = 199 N C-1 ex − 199 N C-1 ey
G
Teil b) Außerhalb der Kugelschale erzeugt die Schale ein elektrisches Feld Es äquivalent das einer Punktladung
G
1 qs G
2
im Ursprung ⇒ Es =
ex ⇒ mit qs = σ 4π R 2 = 3 nC m-2 4π ( 3 m ) = 339 nC ⇒
2
4πε 0 x2
G
1 σ 4π R 2 G
-1 G
9
2
-2 339 nC G
(8.99
10
N
m
C
Es =
e
)
190
N
C
=
×
e
=
ex ;
x
x
2
4πε 0
x22
( 4 m)
G
1 q G
2
2
er2 ⇒ mit r22 = x22 + y 2 = ( 4 m ) + ( 2 m ) = 20 m2 ⇒
Feld der Punktladung q: EP =
2
4πε 0 r2
G
250 × 10−9 C
EP = 8.99 × 109 N m2 C-2
= 112 N C-1,
2
20 m
G
G
G
G
G
G
G
1
1
− y −2 m
aus tanθ 2 =
=
=−
⇒ θ 2 = a tan(− ) = −26.6° ⇒ EP = EP,x ex +EP,y ey = EP cosθ 2 ex + EP sinθ 2 ey ⇒
4m
2
2
x2
G
G
G
G
G
EP = 112 N C-1 cos(-26.6°)ex + 112 N C-1 sin(-26.6°)ex = 100 N C-1 ex − 50.1 N C-1 ey ⇒
G
G
G
G
G
G
G
G
E2 = Es + EP = 190 N C-1 ex + 100 N C-1 ex − 50.1 N C-1 ey = 290 N C-1 ex − 50.1 N C-1 ey
(
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
(
)
)
)
(
)
(
(
)
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
)
Beispiel 22.8: Das elektrische Feld einer homogenen geladenen Kugel
mögliches Prüfungsbeispiel
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Zylindersymmetrische Ladungsverteilung
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Eine Ladungsverteilung besitzt Zylindersymmetrie, wenn auf allen Punkten einer Zylinderoberfläche von
unendlicher Länge die gleiche Ladungsdichte gegeben ist.
Beispiel 22.9: Das elektrische Feld einer unendlichen langen Linienladung
Verwendung des Gauß'schen Gesetzes zur Berechnung des elektrischen Feldes einer unendlich
langen Linienladung mit homogener Ladungsdichte λ ⇒
koaxiale zylindriche Gauß'sche Oberfläche, bestehend aus Grund- und Deckfläche und aus Mantelfläche ⇒
G
G
siehe Abbildung, Berücksichtigung der Zylindersymmetrie beim Zeichnen von E und nˆ ⇒
G G
Mantelfläche des Gauß'schen Zylinders: Φ el, Mantel = E ⋅ A1Mantel = E 2π RL;
G
G G
G G
G
Grund- und Deckfläche des Gauß'schen Zylinders: Φ el, Grund = E ⋅ AGrund = 0 Φ el, Deck = E ⋅ ADeck = 0 da hier nˆ ⊥ E
⇒ da Φ el =
qinnen
ε0
=
λL
λL
⇒ Φ el = Φ el, Mantel + Φ el, Grund + Φ el, Deck = E 2π RL =
ε0
ε0
⇒
E=
1
λ
2πε 0 R
siehe auch Gl. (22.9)
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22.4 Diskontinuität von E n (Discontinuity of E n )
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Seite 21
Fläche mit einer Oberflächenladung σ
G
Das elektrische Feld E in einem Punkt nahe der Oberfläche setzt sich aus zwei Anteilen zusammen:
G
G
G
G
G
E = E disk + E ', d.h aus dem Feld der geladenen Kreisscheibe Edisk , und aus einem Feld E ' beliebig anderer
Feldquellen außerhalb der Ladungsfläche.
Wenn Scheibe klein genug ⇒ Scheibe eben und homogen geladen ⇒ auf der Achse gilt Gl. (22.11)
G
σ
⇒ nahe der Scheibe Edisk =
, Achse der Scheibe & Normalkomponente der Felder,
2ε 0
G
G
Betrag und Richtung von E ' unbekannt, bei P sei E ' stetig und homogen ⇒
Normalkomponente: En = E disk,n + E ' n ⇒
(+)-Seite En,+ =
σ
+ E ' n ,+
2ε 0
( − )-Seite E n,− =
−σ
+ E ' n ,−
2ε 0
⇒ unter der Voraussetzung E 'n,+ = E 'n,− ⇒
Die Diskontinuität des elektrischen Feldes an Sprungstellen einer endlichen Ladungsdichte tritt nur im
zweidimensionalen Fall, also bei Flächenladungsdichten, auf
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22.5 Ladung und Feld auf Leiteroberflächen (Charge and field at conductor surfaces)
Seite 22
Eine Gauß'sche Oberfläche im Inneren eines Leiters im
elektrostatischen Gleichgewicht ⇔
Elektrische Feld innerhalb eines Leiters ist überall null, ⇒
Gesamtfluß durch die Gauß'sche Oberfläche ist ebenfalls null (gilt
für jede Gauß'sche Fläche im Inneren des Leiters) ⇒
Die Ladungsdichte ρ innerhalb des Leiters ist null.
Ein beliebig geformter Leiter im elektrostatischen Gleichgewicht trägt eine Ladung nur auf seiner Oberfläche ⇔
Gauß'sche Oberfläche, die den gesamten geladenen Leiter einschließt, hat die Ladung q im Inneren ⇒
G
G
Φ el ≠ 0, und in jedem Punkt der Leiteroberfläche E ⊥ Flächenelement dA ⇒
G
σ
da auf einer geladenen Oberfläche En eine Unstetigkeit
besitzt und innerhalb des Leiters E =0 ⇒
ε0
elektrisches Feld unmittelbar außerhalb der Leiteroberfläche: Et = 0 und En =
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σ
ε0
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kleiner kreisförmiger Bereich an
der Oberfläche des Leiters um P
Seite 23
Eine positive Punktladung q im Mittelpunkt
einer leitenden Kugelschale endlicher Dicke
Gesamtladung der Oberfläche=
Ladung im Bereich um P plus
Rest der Ladung auf der Fläche
Innerhalb der Gauß'schen Oberfläche (blau) im Leiter ⇒
Gesamtladung null ⇒ auf der inneren Oberfläche der
Kugelschale Oberflächenladung - q influenziert ⇒
da Leiter neutral, Ladung + q auf der äußeren
Oberfläche erzeugt
Rest der Ladung erzeugt Gegenfeld
G
zu E1 im Inneren des Leiters
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Beispiel 22.10: Die Ladung der Erde
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Seite 24
Elektrisches Feld der Erde im Mittel 100 N C-1, senkrecht nach unten ⇒ Gesucht Gesamtladung der Erdoberfläche:
Die Erde ist ein Leiter ⇒ es gilt Gl. (22.25) E n =
σ
,
ε0
G
G
Auf der Erdoberfläche nˆ zeigt nach außen (oben) und E zeigt nach innen (unten) ⇒
G G
G G
G
E n = E ⋅ nˆ = E ⋅ nˆ cos180° = − E = −100 N C-1 ⇒
G
G
G 2
2
q = σ A = ε 0 En A = −ε 0 E A = −ε 0 E 4π rErde
= −4πε 0 E rErde
⇒
(
mit rErde = 6.38 × 106 m ⇒ q = −4π 8.99 × 109 C2 N-1 m-2
)(100 N C ) ( 6.38 × 10
-1
6
m
)
2
= −4.53 × 105 C
Beispiel 22.11: Das elektrische Feld auf den Flächen einer leitenden Kreisscheibe
mögliches Prüfungsbeispiel
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22.6 Ableitung des Gauß'schen Gesetzes aus dem Coulom'schen Gesetz (Derivation of Gauss's law from Coulomb's law)
Seite 25
Das Gauß'sche Gesetz stellt einen Zusammenhang zwischen der Ladung im Inneren der Gauß'schen
Fläche und dem elektrischen Vektorfluß durch diese Fläche nach außen dar.
G
Flächenelement dA, dessen Normale nˆ mit der Verbindungslinie
G G
rˆ = r / r von O zum Mittelpunkt des Elements einen Winkel θ
einschließt. Der Raumwinkel dΩ, der durch dieses Element von
G G
dA nˆ ⋅ rˆ dA cos θ
=
dem Punkt O aufgespannt wird, ist durch dΩ =
r2
r2
definiert.
Der Raumwinkel für die gesamte Kugeloberfläche ist
v∫
dΩ =
Kugel
dA
1
=
v∫ 2 r 2
Kugel r
v∫
dA =
Kugel
1
4π r 2 = 4π
2
r
Ableitung des Gauß'schen Gesetzes für eine beliebig geschlossene
Oberfläche A:
Eine Punktladung q wird von einer beliebig geformten Oberfläche A
G
G
eingeschlossen ⇒ elektrisches Feld E auf Flächenelement dA
G
G G
q
1 q G
1 q G G
q dA cos θ
ˆ
d
d
⇒
Φ
=
⋅
=
=
dΩ
E=
r
E
A
rˆ ⋅ nˆ dA =
el
2
2
2
4πε 0 r
4πε 0 r
4πε 0
4πε 0
r
Integration übed die geschlossene Oberfläche ⇒
G G
q
q
q
Φ el = v
E
∫A ⋅ dA = 4πε 0 v∫A dΩ = 4πε 0 4π = ε 0
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