Theorie

Kantonsschule Solothurn
Gleichungen/Ungleichungen 1. Grades
RYS
Gleichungen / Ungleichungen ersten Grades
Gleichungen 1. Grades
Das Ziel einer Gleichung ist das Definieren einer Lösungsmenge. Was ist eine
Lösungsmenge? Zuerst müssen wir immer eine Grundmenge definieren, z.B. die
natürlichen, die ganzen, die rationalen oder die reellen Zahlen. Dann suchen wir darin
diejenigen Elemente, die unsere Gleichung erfüllen. Alle diese Elemente zusammengefasst ergeben unsere Lösungsmenge.
Wir unterscheiden drei Arten von Lösungsmengen:
 die Lösungsmenge enthält genau ein Element (genau eine Lösung)
 die Lösungsmenge enthält die ganze Grundmenge (beliebig viele Lösungen)
 die Lösungsmenge ist gleich der leeren Menge (keine Lösung)
Oft variiert die Anzahl der Lösungen mit Definition der Grundmenge.
Def.: ax = b lineare Gleichung
(x in erster Potenz, x ist Lösungsvariable)
Wenn wir bei einer Gleichung sehen, dass x nur in der ersten Potenz vorkommt, bringen
wir alle x auf eine Seite und die übrigen Terme auf die andere Seite.
Dabei ist zu beachten:



Was wir links tun, müssen wir rechts tun (Aequivalenzumformungen: Vereinfachen,
addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren)
Durch Null darf nicht dividiert werden
Beide Seiten der Gleichung dürfen vertauscht werden.
Die Lösung für x lautet dann:
- genau eine Lösung: a  0
- keine Lösung: a = 0 ^ b  0
- beliebige Anzahl: b = 0 ^ a  0
x=
b
a
Gleichungen mit Parametern
Manchmal kommen in einer Gleichung mehrere Variablen vor. Mit x bezeichnen wir immer
unsere Lösungsvariable, die anderen Variablen nennt man Parameter (gr.: Nebenmass).
Wir haben zwei Möglichkeiten, entweder wir lassen die Parameter ohne Wert, oder aber
wir weisen ihnen einen Wert zu.
Bsp:
ax + bx = 1 – cx
ax + bx – cx = 1
x(a + b + c = 1
x=
| sortieren
| ausklammern
| durch Klammer dividieren
Ungleichungen 1. Grades
Für Ungleichungen gilt genau dasselbe wie für Gleichungen: Was wir links tun, müssen wir
auch rechts tun. Nur etwas ist zu beachten: Bei der Multiplikation oder der Division mit
einer negativen Zahl, muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden.
Die Lösungsmenge bei Ungleichungen geben wir in der Intervallschreibweise an.
Intervallschreibweise
[-3 , 1]
-3  x  1
]-3 , 1[
-3 < x < 1
[-3 , 1 [
-3  x < 1
]-3 , 1]
-3 < x  1
Bsp.:
2x + 3 < -4
2x
< -7
x
< - 3.5
L = ] -  , -3.5 [