Blatt 9

Prof. Dr. Duco van Straten
L. Biroth
9. Übung zur Vorlesung
„Elementarmathematik“
im Wintersemester 14/15
Aufgabe 9.1:
Eine Eisdiele verkauft Eiskugeln mit Radius 2,5cm in kegelförmigen Waffeln mit Radius 3cm
und Höhe 12cm. In einer Waffel mit 2 Kugeln schmilzt das Eis und sammelt sich unten in der
Waffel. Wir nehmen an, dass das Eis sein Volumen beim Schmelzen nicht verändert. Läuft die
Waffel über, oder nicht? Wenn nicht, wie hoch steht das geschmolzene Eis in der Waffel?
Aufgabe 9.2:
(a) Leiten Sie durch Vergleich mit einem geeigneten Kegelstumpf die Formel
1
V = π(R − h)h2
3
für eine Kappe der Höhe h von einer Kugel mit Radius R her.
(b) Eine Kugel vom Radius 1 soll in drei Scheiben des gleichen Volumens geschnitten werden.
Stellen sie eine kubische Gleichung für die Dicke h der äußeren Scheiben auf. Bestimmen
Sie mit Hilfe eines Taschenrechners oder Computers näherungsweise die Lösungen dieser
Gleichung. Welche ist hier relevant?
Aufgabe 9.3:
Wir beginnen mit einem Halbkreis vom Radius 1 über der Strecke OC der Länge 2 und einem
Strahl durch O, der den Winkel α mit OC einschließt und den Halbkreis im Punkt A schneidet.
Außerdem liege der Punkt B senkrecht über O. Nun zeichnen wir die Winkelhalbierende des
Winkels ∠AOB und eine Senkrechte zu OA durch A. Sei A0 ihr Schnittpunkt.
(a) Konstruieren Sie A0 für α = 0◦ , 10◦ , 20◦ , 30◦ und 45◦ (in einer gemeinsamen Zeichnung).
(b) Zeigen Sie, die Punkte A0 liegen für alle α auf einem Kreis mit Radius 2 um C.
Hinweis: Betrachten Sie das Dreieck OA0 C.
Aufgabe 9.4:
Vereinfachen Sie soweit wie möglich:
3)
(a)
3(3
(33 )3
(b) log2 (10) log10 (2)
(c) Zeigen Sie: loga (b) = logan (bn ) für alle n ∈ N
5
(d) log3 ( 54 ) + log9 ( 24
5 ) − log9 ( 6 )
2
(e)
ln(10ln(e ) )
ln(5) + ln(2)
Aufgabe 9.5:
(a) ln(10) ist die Fläche zwischen der Hyperbel y = x1 und der x-Achse im Intervall [1,10].
Nähern Sie ln(10) durch die Fläche von 3 gleich breiten Trapezen an.
(b) Zeigen Sie, dass ln(10) ≈
10
3
ln(2) −
1
125 .
10
2
Hinweis: Schreiben Sie ln( 10
3 ) auf zwei verschiedene Arten und benutzen Sie die Näherung ln(1 + x) ≈ x für kleine x.
(c) Setzen Sie in die Formel aus (b) die Näherung ln(2) ≈
Trapezen) ein.
7
10
(erhält man ebenfalls mit drei
(d) Berechnen sie den Wert von ln(10) mit einem Taschenrechner. Welche Näherung aus (a)
oder (c) ist besser?
Abgabe am Donnerstag, den 15.1. um 16 Uhr.