Rechnen – nicht nur im Zehnersystem

Rechnen – nicht nur im Zehnersystem
Timm Grams, Fulda, 07.04.2010 (aktualisiert: 26.07.10)
Stellenwertsysteme für die natürlichen Zahlen
Sack für Sack tragen die Packleute in das Lager. Erik
zählt mit: Für jeden Sack legt er - aus einem Vorrat von
Steinen - ein Steinchen in ein rechteckiges Feld, das er
sich im Sand aufgemalt hat. Gegen Mittag wird der
Steinchenvorrat allmählich knapp. 202 Säcke sind gezählt. Glücklicherweise ist jetzt Mittagspause und Erik
überlegt, wie er mit weniger Steinen beim Zählen auskommen kann.
(a)
202
(b)
(c)
(d)
1
40
2
8
0
2
3
0
2
Er erinnert sich an einen alten Trick: Zunächst einmal ergänzt er sein Rechteck um einige
weitere Felder (a). Dann teilt er seine „Zählsteine“ gleichmäßig auf ebenso viele Haufen auf,
wie er Finger an einer Hand hat. Dabei bleiben 2 Steine übrig, die lässt er liegen. Von den
fünf Steinhaufen legt er alle bis auf einen wieder zum Vorrat zurück. Einen der Haufen aus 40
Steinen hingegen legt er in das nächste Feld weiter links (b).
Nun wiederholt er diesen Schritt: Er teilt die 40 Steine auf fünf Haufen auf. Diesmal bleibt
nichts übrig. Er lässt das Kästchen leer (wir schreiben eine 0 hinein), übernimmt einen der
fünf Haufen zu je acht Steinen in das nächste Feld und wirft die anderen zum Vorrat (c). Die
acht Steine teilt er erneut auf, wirft vier der fünf „Haufen“ (je ein Stein) zum Vorrat, überträgt
einen in das nächste Feld und lässt den Rest liegen (d).
Jetzt gibt es nichts mehr aufzuteilen. In jedem der vier Felder liegen weniger als 5 Steine.
Erik hat sein Ziel erreicht: Anstelle der ursprünglich 202 Steine benötigt er nur noch sechs.
Wenn Erik wieder für jeden Sack einen Stein haben will, geht er genau umgekehrt vor: Er
muss die Steine nur von links nach rechts transportieren und immer, wenn ein Stein von einem Feld in das rechts daneben liegende Nachbarfeld wechselt, vier weitere Steine aus dem
Vorrat dazulegen.
Was Erik da macht, ist nichts anderes als die Zahlendarstellung im Stellenwertsystem zur Basis fünf. Als Basis kann man jede andere natürliche Zahl größer 1 wählen. Falls eine andere
Basis als 10 gewählt wird und Verwechslung droht, schreiben wir die Basis als tiefgestellte
Dezimalzahl an die Ziffernfolge. Offenbar gilt 202 = (1302)5.
Die Bezeichnung „Stellenwertsystem“ ergibt sich aus der Tatsache, dass den Steinen je nach
Position verschiedene Werte zukommen: Jeder Stein im ganz rechten Kästchen steht für sich
selbst. Jeder Stein im zweiten Feld von rechts steht für fünf Steine. Jeder Stein im dritten Feld
von rechts steht für fünf mal fünf, also fünfundzwanzig Steine usw.
Eriks Vorgehen lässt sich verallgemeinern: Um die Darstellung einer positiven Zahl z in einem Stellenwertsystem zur Basis b zu erhalten, verfährt man so:
(1) Setze x0 = z
(2) Berechne x1 und r0, so dass x0 = bx1 + r0 und r0 < b
Berechne x2 und r1, so dass x1 = bx2 + r1 und r1 < b
Berechne x3 und r2, so dass x2 = bx3 + r2 und r2 < b
...
(3) Beende die Rechnung, sobald für einen Index n gilt xn = 0
-2Es wird also mehrmals hintereinander die ganzzahlige Division mit Rest angewendet. Durch
sukzessives Einsetzen ergibt sich
z
= x0
= b·x1 + r0
= b·(b·x2 + r1) + r0 = b2·x2 + b·r1 + r0
= b2·(b·x3 + r2) + b·r1 + r0 = b3·x3 + b2·r2 + b·r1 + r0
...
= bn-1·rn-1 + ... + b2·r2 + b·r1 + r0
= bn-1·rn-1 + ... + b2·r2 + b1·r1 + b0·r0
= (rn-1...r2r1r0)b
Dabei ist die letzte Zeile nur als abgekürzte Schreibweise der vorhergehenden zu verstehen.
Dass in der kleinen Geschichte von Erik das uns geläufige Stellenwertsystem zur Basis 10 das Dezimalsystem - bereits auftritt, tut nichts zur Sache: Es wird nur zur Vereinfachung der
Darstellung benötigt.
Erik kommt zu seiner Zahlendarstellung durch einen Algorithmus. Ein Algorithmus ist ein
Satz von Regeln bzw. Handlungsanweisungen, deren wiederholte und mechanische Anwendung auf ein Problem dieses von einem Anfangszustand in einen erwünschten Zielzustand überführt. Computer machen genau das: Sie realisieren Algorithmen.
Übung 1: Erläutern Sie, wie Erik wohl am Nachmittag beim Zählen verfahren wird. Was wird
er tun, wenn Säcke aus dem Lager heraus getragen werden? Wie sieht die Zahl 88 im Stellenwertsystem zur Basis 3 aus?
Übung 2: Erweitern Sie Eriks Schema auf zwei Zeilen. Stellen Sie die Zahlen 483 und 163 im
Fünfersystem dar und addieren Sie diese. Machen Sie es wie beim Abakus: Arbeiten Sie sich
Stelle für Stelle von rechts nach links durch.
Übung 3: Gehen Sie auf das Zweiersystem (System der Binärzahlen oder Dualsystem) über
und wiederholen Sie die Rechnung der Übung 5 im Zweiersystem (s. das duale Rechenbrett
im Anhang).
Die Wertetabelle
Der Computer rechnet mit Zahlen im Stellenwertsystem zur Basis zwei. Es gibt nur die Ziffern 0 und 1, die Werte eines Bits. Mit Bitfolgen sind weiter Werte codierbar. Mit Zweierfolgen beispielsweise die Dezimalwerte 0, 1, 2 und 3:
00 ↔ 0
01 ↔ 1
10 ↔ 2
11 ↔ 3
Die rechte Bitstelle hat die Wertigkeit 1 und die linke die Wertigkeit 2. Der Übergang von
dem Bitpaar a1a0 auf die Dezimalzahl ist also gegeben durch 2a1+a0.
Übung 4: Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Addition zweier Zweibit-Zahlen durch stellenweises Addieren von rechts nach links. Auch das Ergebnis ist im binären Stellenwertsystem darzustellen. Allerdings ist jetzt eine dritte Stelle für den zweiten Übertrag nötig.
-3Anhang: Duales Rechenbrett
Die beiden Felder dienen der Darstellung zweier Zahlen im Stellenwertsystem zur Basis zwei.
In jedem Feld ist einer so dargestellten Zahl befindet sich also höchstens ein Stein, beispielsweise eine Halmafigur. Stellen Sie die zwei zu addierenden Zahlen dar. Zur Addition werden
die Steine in übereinander liegenden Feldern einfach zusammengefasst. Führen Sie den Übertrag durch, so dass wieder eine Darstellung der Zahl im Stellenwertsystem zur Basis zwei
entsteht.
512
256
128
64
32
16
8
4
2
1
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