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Schriftliche Abiturprüfung 2007 – Sachsen-Anhalt
Physik 13 n
(Leistungskursniveau)
G1: Untersuchungen zur relativistischen Massenzunahme
1
Dynamische Masse m
1.1 Die Grundlage der speziellen Relativitätstheorie (SRT) Einsteins bilden zwei Postulate.
Formulieren Sie diese Postulate.
1.2 Ein wichtiges Ergebnis der speziellen Relativitätstheorie Einsteins ist die relativistische Massenzunahme bewegter Körper.
m
Stellen Sie in einem Diagramm die Abhängigkeit von
vom Verhältnis der Geschwindigm0
v
v
keiten im Intervall 0   0,9 dar.
c
c
2
Experiment von Bucherer
2.1 Im Jahr 1908 entwickelte Bucherer eine Versuchsanordnung mit dem Ziel, die von Einstein
in der SRT abgeleitete relativistische MassenSchirm
zunahme experimentell zu bestätigen.
Blende
Im Bild 1 ist der Aufbau der von Bucherer
verwendeten Anordnung schematisch dargestellt. Zwischen die Platten eines Plattenkon
P
d
densators mit der elektrischen Feldstärke E
wird ein radioaktives Präparat P eingebracht,
das Elektronen mit einer Geschwindigkeit auss
sendet, die wesentlich größer als 0,1c ist.
Bild
Der gesamte Aufbau, der sich im Vakuum befindet, ist in ein homogenes magnetisches Feld
 
der Flussdichte B eingebettet, so dass E  B
gilt. Die Versuchsanordnung garantiert, dass nur solche Elektronen aus dem Kondensator austreten, die sich parallel zu dessen Platten bewegen. Die Elektronen, die die Blende passiert
haben, werden im homogenen Magnetfeld abgelenkt und auf dem Schirm registriert.
Durch Wechsel der Feldrichtungen des elektrischen und magnetischen Feldes entstehen außerhalb des Kondensators spiegelbildliche Bahnen.
2.1 Begründen Sie, dass nur Elektronen einer bestimmten Geschwindigkeit den Kondensator parallel zu dessen Platten verlassen können.
Erklären Sie den Verlauf der jeweiligen Bahn außerhalb des Kondensators.
2.2 Für die beschriebene Versuchsanordnung ergibt sich für die Bestimmung der spezifischen
e
2Ed
Ladung folgende Gleichung:
= 2 2
.
m
B  (s  d 2 )
Berechnen Sie die spezifische Ladung der Elektronen für folgende Messbedingungen:
E = 7,2 . 105 V.m-1; B = 3,0 mT; s = 8,25 cm; d = 4,5 mm.
Ermitteln Sie die Geschwindigkeit der Elektronen und zeigen Sie, dass diese Messung die
Massenzunahme nach der speziellen Relativitätstheorie bestätigt.
2.3 Die Untersuchung der Abhängigkeit der spezifischen Ladung von der Geschwindigkeit der
Elektronen liefert folgende Ergebnisse:
v
0,23
0,46
0,60
0,73
0,81
0,88
c
e
As
in 1011
1,7
1,6
1,4
1,2
1,1
0,8
m
kg
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Bestimmen Sie aus den Messergebnissen das jeweilige Verhältnis
m
in Abhängigkeit von
m0
v
und tragen Sie die Werte in das in Aufgabe 1.2 angefertigte Diagramm ein.
c
Vergleichen Sie die Werte mit der theoretischen Kurve und bewerten Sie das Ergebnis hinsichtlich des Zieles des Experimentes.
3.
3.1
3.2
Ein Präzisionsexperiment
1963 führte eine Schweizer Forschergruppe ein Präzisionsexperiment zur
Messung der relativistischen Massenzunahme durch. Der prinzipielle Aufbau
dieses Experiments ist in Bild 2 dargestellt.
Nach dem Durchlaufen der Beschleunigungsspannung durchfliegen die Elektronen im Bereich I ein homogenes magnetisches Feld, das die Elektronen auf
einen Halbkreis mit dem Radius rB ablenkt.
Im Bereich II des zylindersymmetrischen elektrischen Feldes wirkt die auf
der Kreisbahn konstante Coulombkraft
als Radialkraft und die Elektronen werden auf einen Viertelkreis mit dem Radius rE abgelenkt.
In den anderen, nicht gekennzeichneten
Bereichen der evakuierten Röhre erfolgt
keine Ablenkung, da die Gravitationswirkung als vernachlässigbar anzusehen
ist.
Zeigen Sie, dass für die spezifische Ladung der Elektronen, die den Detektor erreichen, fole
Er
gende Gleichung gelten muss:
 2 E2 .
m B  rB
Bei einer Beschleunigungsspannung U durchfliegen die Elektronen den angegebenen Bahnverlauf, wenn im Bereich I ein Magnetfeld mit der Flussdichte B und im Bereich II ein elektrisches Feld mit der Feldstärke E anliegen.
Daten:
rB = 0,50000 m
rE = 1,00000 m
6
U = 2,53000  10 V
B = 2,00000  10 -2 T
E = 2,95529  10 6 V  m -1
Berechnen Sie für diese Bedingungen die relativistische Masse der Elektronen und die von
ihnen erreichte Geschwindigkeit.
Berechnen Sie die Ruhenergie und die relativistische kinetische Energie der Elektronen und
begründen Sie unter Einbeziehung einer Rechnung, dass diese Messung die Einstein’sche
Gleichung E = m . c2 mit sehr guter Genauigkeit bestätigt.
Hinweis: Nutzen Sie bei der Berechnung die volle Genauigkeit der Naturkonstanten Ihres Tafelwerkes und runden Sie in diesem Fall die Taschenrechnerwerte nicht.
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1.
1.1
Dynamische Masse m
1. Postulat:
Alle Inertialsysteme sind bezüglich physikalischer Gesetze gleichberechtigt. Die fundamentalen Naturgesetze gelten in jedem Inertialsystem in gleicher Weise.
2. Postulat:
Die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum hat in allen Bezugssystemen (Inertialsystemen)
den gleichen Wert und ist unabhängig von der Bewegung des emittierenden Körpers.
1.2
m v
  - Diagramm:
m0  c 
0
0,1
0,2
0,3
v
c
1
1,005 1,023 1,048
m
m0
Beispielrechnung:
m0
m
1
m


2
m0
v
v2
1 2
1 2
c
c
m
1
1


 1, 021
2
2
m 0 0,2c
0, 2 c
1  0, 22
1
c2
2.500
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,091
1,155
1,25
1,40
1,667
2,294
m
m0
2.250
2.000
1.750
1.500
1.250
1.000
0.750
0.500
v
c
0.250
Experiment von Bucherer
Begründung für Geschwindigkeit:
 Elektronen werden durch das elektrische Feld (elektrische
Feldkraft) nach oben abgelenkt
o Fel  E  e
 Elektronen werden durch das magnetische Feld (Lorenzkraft) e
nach unten abgelenkt (Drei – Finger – Regel der linken
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1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0
2.
2.1
0.05
0
+
v
FE
B
FL
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E
Hand)
o FL  e  v  B
o Lorenzkraft ist abhängig von der Geschwindigkeit
 Wenn Fel  FL kann die Bedingung nur für eine Geschwindigkeit gelten
 nur für den Fall bewegen sich die Elektronen geradlinig durch den Kondensator; werden
nicht abgelenkt  geradlinige Flugbahn bei Fel  FL
außerhalb des Plattenkondensators:
 nur Lorenzkraft wirkt entsprechend der Drei – Finger – Regel der linken Hand als Zentripetalkraft FL  FZ  Kreisbahn
 Elektronen werden nach unten abgelenkt
Erklärung der Bahn bei Wechsel der Feldrichtungen:
 Werden E-Feld und B-Feld genau entgegengesetzt orientiert,
so bewegen sich die Elektronen der gleichen GeschwindigB
E
FL
keit geradlinig.
v
 nur die Richtungen von Fel und FL werden vertauscht, die BeFE
träge ändern sich nicht
 außerhalb des Plattenkondensators:
+
o nur Lorenzkraft wirkt entsprechend der Drei – Finger –
Regel der linken Hand
o Elektronen werden nach oben abgelenkt
2.2
Berechnung:
e
2Ed
 2 2
m B  s  d2 
e
2  7, 2 105 V  m 1  4,5 103 m

 1, 055 1011 C  kg 1
2
2
2
m  3 103  T 2   8, 25 102 m    4,5 10 3 m 


1
V
m2 A s
C  m2
 e  Vm m





 C  kg 1
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
 m 
T m
V s  m  m
V  s A s kg  m  s  s
Geschwindigkeit:
FL  Fel
e v B  E e
E
B
7, 2 105 V  m 1
v
 2, 4 108 m  s 1  0,8c
3, 0 V  s  m 2
v
Nachweis, dass die Messung die Massenzunahme nach der speziellen Relativitätstheorie bestätigt:
1. Möglichkeit:
Massenbestimmung aus Experiment:
e
 1, 055C  kg 1
m
e
1, 602 1019 A s
m

 1,518 1030 kg
11
1
11
1
1, 055 10 C  kg
1, 055 10 C  kg
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Massenbestimmung – relativistisch:
m0
m
v2
1 2
c
9,109 1031 kg
m
 1,518 10 30 kg
2
2, 4 108  m 2  s 2

1
2
 3 108  m 2  s2
2. Möglichkeit:
Bestimmung der spezifischen Ladung – relativistisch:
e 1, 602 1019 A s

 1, 055 1011 C  kg 1
30
m 1,518 10 kg
Da die Ladung des Elektrons sich nicht verändert, muss die Massenzunahme die Verringerung
der spezifischen Ladung bewirken, wie es das Experiment nachgewiesen hat.
 Damit braucht man die Masse aus dem experimentellen Daten zum Vergleich nicht berechnen!
3. Möglichkeit:
Berechnen der Radien der Kreise im B-Feld (nach Durchgang durch Kondensator) und des
Auftreffortes
r1 – Radius ohne Berücksichtigung der Massenzunahme
r2 - Radius mit Berücksichtigung der Massenzunahme
FZ  FL
m  v2
 evB
r
mv
r
eB
klassisch:
m v
r1  0
eB
9,109 1031 kg  2, 4 108 m  s 1
r1 
 0, 455 m
1, 602 1019 A s  3 103 V s  m 2
kg  m  s 1
kg  m 2  s 2
V  A s


m
2
1
AsVsm
V A s m
V  A  s  m 1
relativistisch:
r 
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r1 
mR  v
eB
mR 
r1 
m0
v
1  
c
2

m0
1   0,8 
m0
2
0, 36

m0
0, 6
m0  v
0, 6  e  B
9,109 10 31 kg  2, 4 108 m  s 1
r1 
 0, 758 m
0, 6 1, 602 1019 A s  3 103 V s  m 2
Berechnung des zu den Radien gehörenden Abstandes:
r 2  s2   r  d 
Schirm
s
Pythagoras:
2
d
r 2  s2  r 2  2  r  d  d2
0  d 2  2  r  d  s2
d1,2  r  r 2  s 2
s
da d  r
d  r  r 2  s2
r-d
r
r
klassisch:
d1  r1  r12  s 2
d1  0, 455 m  0, 4552 m 2   8, 25 102  m 2  0, 00754 m  7,54 mm
2
Entfernung größer als Anlagenparameter.
relativistisch:
d 2  r2  r2 2  s 2
d 2  0, 758 m  0, 7582 m 2   8, 25 102  m 2  0, 0045 m  4, 5 mm
2
 Abstand d2 entspricht den experimentellen Ergebnissen; also ist damit die relativistische
Massenzunahme bestätigt.
Vergleich:
 Massenbestimmung im Experiment entspricht der relativistischen Masse
2.3
e
m
m
m
 e  0
m
e
m0
0
m
e
m
1, 758 1011 C  kg 1

 1, 035
m 0 0,23 v
1, 7 1011 C  kg 1
c
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v
c
m
m0
0,23
0,46
0,60
0,73
0,81
0,88
1,035
1,10
1,256
1,47
1,60
2,20
Eintragen der Punkte in das
2.500
m v
  - Diagramm: (Punkte müssen nicht verbunden werden)
m0  c 
m
m0
2.250
2.000
1.750
1.500
1.250
1.000
0.750
0.500
v
c
0.250
1.05
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
0.45
0.40
0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0
0
Vergleich:
 bei kleineren Geschwindigkeiten sind die Werte beider Kurven fast identisch
 erst bei höheren Geschwindigkeiten treten Abweichungen auf
Bewertung:
 Experimentell Ergebnis bestätigen die Theorie
 Experiment hat sein Ziel erfüllt.
3.
3.1
Ein Präzisionsexperiment
Herleitung:
FZ  FL
v2
m  evB
rB
e
v
 2 2
m rB  B
Fel  FZ
v2
eE  m
rE
v2 
e  E  rE
m
e2
eEr
 2 2E
2
m
rB  B  m
Er
e
 2 E2
m rB  B
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3.2
Massenberechnung:
Er
e
 2 E2 
m rB  B
e  rB 2  B2
m
E  rE
1, 60217646 1019 A s   0,5 m    2, 0 102 T 
2
m
2
 5, 42139 1030 kg
1
2,95529 10 V  m 1, 0 m
6
 m 
A s  m 2  T 2 A s  m 2  V 2  s 2  m 4

 A s  V  s 2  m 2  kg  m 2  s 2  s 2  m 2  kg
1
Vm m
V
Geschwindigkeit:
1. Möglichkeit: mit 3.1
e  E  rE
v
m
1, 60217646 1019 A s  2,95529 106 V  m 1 1, 0 m
v
 2,95529 10 8 m  s 1  0,9851c
30
5, 42139 10 kg
A s  V  m 1  m
kg  m 2  s 2

 m  s 1
 v 
kg
kg
2. Möglichkeit:
m
1

m0
v2
1 2
c
v2  m0 
1 2  

c
 m 
2
v2
m 
 1  0 
2
c
 m 
2
m 
v  c  1  0 
 m 
2
2
 9,10938288 1031 kg 
8
1
v  3 10 m  s  1  
  2,95528 10 m  s  0,9851c
30
5,
42139

10
kg


8
1
Ruheenergie:
E 0  m0  c2
E 0  9,10938288 1031 kg   3 108 m  s 1   8,1984 10 14 J
2
relativistische kinetische Energie:
E kin  e  U
E kin  1, 60217646 1019 A s  2,53 106 V  4, 0535 1013 J
Energie nach Einstein:
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E  m  c2
E  5, 42139 1030 kg   3 108 m  s 1   4,8793 10 13 J
2
Bestätigung:
E  E kin  E 0
4,8793 10
13
J  4, 0535 1013 J  8,1984 10 14 J
4,8793 1013 J  4,8733 10 13 J
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