E1 – Mechanik ¨Ubungsblatt 6 - Fakultät für Physik
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Ludwig–Maximilians–Universität München – Fakultät für Physik Abgabe: 22. Okt. 2013 E1 – Mechanik Übungsblatt 6 WS 2013 / 2014 Prof. J. Rädler, Prof. H. Gaub Anmerkung: Lehramtstudierende (LA) und Nebenfachstudierende können Aufgaben, die mit einem * gekennzeichnet sind, weglassen. Präsenzaufgabe 1 Bewegung auf der rotierenden Erde Aufgrund der Erddrehung fällt ein Körper nicht exakt lotrecht zu Boden. Berechnen sie diesen Effekt für einen Ort am Äquator: a) Durch welche Kraft und in welche Richtung wird der fallende Körper abgelenkt? b) Integrieren sie die Geschwindigkeitsänderung für die horizontale Bewegung über den Zeitraum der Fallbewegung. *c) Wie groß ist die Abweichung zum lotrechten Auftreffpunkt bei einer Fallhöhe von 2m? Präsenzaufgabe 2 U.S.S. Enterprise Nach dem sieg über Nero musste Captain Kirk den Warp-Kern abstoßen lassen und so fliegt die U.S.S. Enterprise mit ”Maximal-Impuls”(v = 0.25c) zur nächsten Sternenbasis im Rigel-System. Die Flugzeit bis zur Ankunft in Rigel V in Bordzeit der Enterprise ist dtE = 4h. Wieviel Zeit dtR vergeht währenddessen im Rigel-System? Um diese Frage zu beantworten, führen Sie folgende Schritte durch: i) Schreiben Sie das quadrierte Intervall ds2R zwischen Abflug und Ankunft der Enterprise im Bezugssystem von Rigel V. Hinweis: Das Intertervall ds zwischen zwei Ereignissen P1 = (t1 , ~r1 ) und P2 = (t2 , ~r2 ) ist gegeben durch ds2 = c2 dt2 − d~r2 mit d~r = ~r2 − ~r1 und dt = t2 − t1 . ii) Schreiben Sie das gleiche Intervall ds2E nun im Bezugssystem der Enterprise. Was gilt für d~rE ? iii) Da das Intervall nicht vom Bezugssystem abhängt, gilt ds2R = ds2E . Verwenden Sie die Ergebnisse der vorherigen Teilaufgaben, um aus dieser Beziehung dtR durch dtE und v auszudrücken. 1 Aufgabe 1 Rotationskurven und Dunkle Materie In den 70er Jahren wurden Messungen der Geschwindigkeitsverteilung v(R) von Sternen um das Zentrum der Galaxis in Abhängigkeit von ihrem Abstand R zum galaktischen Zentrum durchgeführt (auch Rotationskurven genannt). Diese Messungen widersprachen den Erwartungen und so wurde die Dunkle Materie als eine mögliche Lösung des Problems postuliert. a) Nehmen Sie an, die Dichte innerhalb einer Galaxis sei konstant: ρ(r) = ρ0 . Wieviel Masse M (R) befindet sich innerhalb einer Sphäre mit Radius R um das galaktische Zentrum? Hinweis: Die Masse einer Dichteverteilung ρ(~r) innerhalb eines Volumens V kann durch R M = V ρ(~r)dV berechnet werden. b) Welche Geschwindigkeit hat ein Stern, der auf einer Kreisbahn mit Radius R um das galaktische Zentrum rotiert? Skizzieren Sie die Rotationskurve v(R). Hinweis: Eine Hohlkugel erzeugt in ihrem Inneren keine Gravitationskraft; eine rotationssymmetrische Massenverteilung kann als Punktmasse angenommen werden. c) Wie verhält sich die Rotationskurve qualitativ, wenn man zusätzlich annimmt, dass ρ(r) = 0 für r > rmax , wobei rmax die Ausdehnung der Galaxis ist? Skizzieren Sie v(R) für eine Galaxis der Ausdehnung rmax . *d) Tatsächlich wurden Rotationskurven gemessen, bei denen die Geschwindigkeiten für große R nahezu konstant sind. Wiederholen Sie die Teilaufgaben a) und b) nun für die folgende Dichteverteilung: ρ0 ρ(r) = r Rs 1+ r Rs 2 wobei ρ0 und Rs Parameter sind, die von der Galaxis abhängen. Diese Dichte-Verteilung wurde 1996 von Julio Navarro, Carlos Frenk and Simon White vorgeschlagen und heißt zu Ehren ihrer Schöpfer NFW-Profil. Zwischenergebnis: M (R) = 4πρ0 Rs3 Rs + R ln Rs R − Rs + R Kann das NFW-Profil die gemessenen Rotationskurven erklären? Hinweis: Substituieren Sie bei der Integration u = 1 + Rrs . Beim Skizzieren der Rotationskurve ist die Verwendung eines Computers hilfreich. Aufgabe 2 Seegefecht im beschleunigten Bezugssystem Im ersten Weltkrieg bekämpften sich die deutsche und die britische Kriegsflotte bei den Falklandinseln. Es ist überliefert, dass zu Beginn des Gefechts die Engländer die deutschen Schiffe verfehlten. Die Geschosse landeten trotz sorgfältiger Zielvorrichtung etwa hundert Meter links vom Ziel. Die Richtschützen der Engländer hatten die Geschützvisiere der Schiffskanonen in England (ca. 50. nördlichen Breitengrad) kalibriert. Die Falklandinseln liegen dagegen etwa auf 50◦ südlicher Breite. *a) Warum trafen die englischen Geschütze bei den Falklandinseln nicht? Macht es einen Unterschied ob vom Süden nach Norden oder umgekehrt geschossen wurde? 2 b) Drücken Sie die Winkelgeschwindigkeit ω ~ der Erde in einem Koordinatensystem, welches sich mit der Erde mitdreht, in Abhängigkeit von der südlichen Breite ϕ aus. Die x-Achse zeige nach Osten, die y-Achse nach Norden und die z-Achse nach oben. Hinweis: Die Basisvektoren êy und êz sowie die Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation ω ~ liegen stets in einer Ebene, die senkrecht auf den dritten Basisvektor êx steht (siehe Grafik). ω φ y x z c) Ein Geschoss habe die Anfangsgeschwindigkeit ~v = (vx , vy , vz ). Berechnen Sie die auf das Geschoss wirkende Kraft F~ . Berücksichtigen Sie sowohl die Erdbeschleunigung als auch die Corioliskraft F~c = −2m~ ω × ~v d) Das Geschoss starte mit einer Anfangsgeschwindigkeit von v = 700 ms in Richtung Süden in einem Winkel von α = 45◦ gegenüber der Erdoberfläche. Berechnen Sie den Betrag der Coriolisbeschleunigung zu Beginn der Flugbahn. *e) Schätzen Sie Ablenkung des Geschosses ab, indem Sie die in (d) berechnete Corioliskraft über die Flugzeit als konstant annehmen. Aufgabe 3 Die Leiter und die Scheune Ein Landwirt hat sich eine neue, große Leiter gekauft, damit er auch die Äpfel pflücken kann, die ganz oben am Baum hängen. Leider muss er feststellen, dass seine neue Leiter (Länge 7m) eigentlich zu lang für seine Scheune (Länge 5m) ist. Da fällt ihm wieder die Sache mit der Relativitätstheorie ein und ihm kommt eine Idee, wie er sein Problem lösen könnte (ohne dass er die Leiter irgendwie quer oder diagonal in seiner Scheune lagern muss, das würde ihn doch auf die Dauer sehr stören). a) Mit welcher Geschwindigkeit relativ zu der Scheune muss sich die Leiter bewegen, damit die Leiter in die Scheune passt? b) Betrachten Sie nun das Problem im Ruhesystem der Leiter und bestimmen Sie in diesem Bezugssystem die Länge der Leiter sowie die Länge der Scheune. *c) Vergleichen Sie die Fälle aus den Teilaufgaben a) und b) . Was fällt Ihnen auf? Machen Sie sich ein paar Gedanken, wie man diesen scheinbaren Widerspruch auflösen könnte. (Hier ist es für ein Ä”nicht notwendig die Aufgabe komplett richtig gelöst zu haben, man sollte jedoch aus Ihrer Antwort erkennen, dass Sie sich ernsthafte Gedanken gemacht haben.) 3
