PDF-File
Werbung
Universität Hannover Institut für Atom- und Molekülphysik Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik (Albert-Einstein-Institut) Spektrale Rauschdichten optomechanisch gekoppelter Oszillatoren Diplomarbeit von Gudrun Diederichs ([email protected]) 26. Mai 2005 Ausgeführt unter der Anleitung von Juniorprof. Dr. Roman Schnabel Institut für Atom- und Molekülphysik Universität Hannover Prof. Dr. Karsten Danzmann Institut für Atom- und Molekülphysik Universität Hannover Referent: Juniorprof. Dr. Roman Schnabel Korreferent: Prof. Dr. Karsten Danzmann Inhaltsverzeichnis 1 Symbole, Abkürzungen und Zeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii I 1 Einleitung II Grundlagen 2 Quadraturamplituden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Der 1-Photon-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Der 2-Photonen-Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Die Bedeutung von Êk (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Der Quadraturenraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Kennzeichnung verschiedener Vektoren . . . . . . . . . . . . . 2.6 Linearisierung der Feldoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Die Propagation eines Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Makroskopische Länge und Verstimmungswinkel eines Resonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Spektrale Rauschdichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 7 8 10 10 11 13 14 III Theorie 15 3 Resonatoren ohne Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1 Das Verhalten von Feldern an einem Spiegel (Strahlteiler) . . . 15 3.2 Ein Fabry-Perot-Resonator ohne Strahlungsdruck . . . . . . . 17 4 Resonatoren mit Strahlungsdruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1 Signal und Quantenrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.1 Spiegelauslenkung durch Strahlungsdruck . . . . . . . . 19 4.1.2 Das Zwei-Felder-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.3 Das Vier-Felder-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.2 Berücksichtigung eines Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.3 Eingangs-Ausgangs-Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.4 Vergleich zwischen Zwei- und Vier-Felder-Verfahren . . . . . . 29 4.4.1 Die Felder an einem Endspiegel . . . . . . . . . . . . . 29 4.4.2 Eingangs-Ausgangs-Relation eines Fabry-PerotResonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 i ii INHALTSVERZEICHNIS IV Ergebnisse 33 5 Vier-Spiegel-Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1 Wahl der Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.1.1 Numerische Bestimmung des Standardquantenlimits . . 34 5.1.2 Leistungen in den einzelnen Resonatoren . . . . . . . . 36 5.1.3 Ein linearer Vier-Spiegel-Resonator bei Variation der Eingangsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 Lineare und gefaltete Vier-Spiegel-Resonatoren . . . . . . . . . 38 5.2.1 Aufbau eines gefalteten Vier-Spiegel-Resonators . . . . 38 5.2.2 Das Signal in einem linearen Vier-Spiegel-Resonator . . 39 5.2.3 Das Signal in einem gefalteten Vier-Spiegel-Resonator . 39 5.2.4 Vergleich zwischen linearen und gefalteten Vier-SpiegelResonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3 Optomechanische Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.3.1 Analytische Berechnung optomechanischer Resonanzen 40 5.3.2 Resultate zu optomechanischen Resonanzen eines VierSpiegel-Resonators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 5.3.3 Ein Vier-Spiegel-Resonator bei Variation der Spiegelmassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6 Interferometertopologien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.1Michelson-Interferometer mit Vier-Spiegel-Armresonator . . . . . 48 6.2 GEO 600 mit Vier-Spiegel-Armresonatoren . . . . . . . . . . . 51 6.2.1 Powerrecycling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.2.2 Signalrecycling und Resonant Sideband Extraction . . . 52 V Schlussfolgerungen und Ausblick 57 VI Anhang 59 A Eigenschaften von Strahlungsdruckmatrizen . . . . . . . . . . . . . 59 B Wertetabellen für verwendete Interferometer . . . . . . . . . . . . . 61 B.1 Wertetabelle für GEO 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 B.2 Wertetabelle für einen Vier-Spiegel-Resonator . . . . . . . . . 61 B.3 Wertetabelle des Fabry-Perot-Resonators aus Abschnitt 4.4.2 . 62 B.4 Tabelle der Resonanzfrequenzen des Vier-Spiegel-Resonators aus Abschnitt 5.3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 1. SYMBOLE, ABKÜRZUNGEN UND ZEICHEN 1 Seite iii Symbole, Abkürzungen und Zeichen Liste der verwendeten Symbole Parameter Symbol Beispiel Hinweis Operatoren v̂ Erzeuger ↠Abschnitt 2.1 Vektoren als Elemente des R3 ~v Ortsvektor ~r Abschnitt 2.5 Vektoren als Elemente des Quadraturenraumes v das elektrische Feld E Abschnitt 2.5 Quadraturamplitudenvektor v̄ ā Gl.(2.7) Liste der verwendeten Abkürzungen Bedeutung Abkürzung Ohne Beschränkung der Allgemeinheit o.B.d.A. Hoch reflektierend HR Photodetektor PD Signalrecycling SR Powerrecycling PR Relative Einheit r.E. Standard-Quanten-Limit SQL Vier-Spiegel-Resonator („4 mirror cavity“) 4mc Interferometer IFO Modulo mod Drehmatrix Rot Strahlungsdruckmatrix „radiation pressure force“ RPF Propagationsmatrix für eine Strecke l Pl Liste der verwendeten Konstanten Parameter Symbol Wert Masse der Spiegel m 5,6 kg Wellenlänge des Trägerfeldes λ 1064 nm Trägerfrequenz ω0 Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c 1,77 ·1015 Hz Plancksches Wirkungsquantum /(2π) ~ 299792458 m/s 1,054 ·10−34 Js iv INHALTSVERZEICHNIS Liste der verwendeten Zeichen Bedeutung Symbol 2x2-Einheitsmatrix 1l Spiegelauslenkung durch eine Gravitationswelle ∆x Reeler Teil einer komplexen Zahl α ℜ(α) Imaginer Teil einer komplexen Zahl α ℑ(α) Partielle Ableitung nach x ∂x = ~a ⊥ ~b Vektor ~a ist senkrecht zu Vektor ~b Identisch gleich Definition der Variable auf der rechten Seite ∂ ∂x ≡ =: Definition der Variable auf der linken Seite := Näherungsweise gleich ≈ Liste der verwendeten Variablen Parameter Symbol Hinweis Seitenbandfrequenz Ω Querschnittsfläche des Lasers A Leistung P, I Gl.(4.20) Makroskopische Länge eines Resonators L Abschnitt 2.8 Verstimmungswinkel eines Resonators ψ Abschnitt 2.8 Amplitudenreflektivität ρ Amplitudentransmissivität τ Homodynwinkel ζ Kopplungskonstante K0 Gl.(4.21) Amplitude einer Gravitationswelle (engl. strain) Skaliertes elektrisches Feld h f¯ Träger (zeitlich konstanter Anteil von f¯) Quantenrauschen (Schwankung von f¯) Λ̄ d¯ Signaltransferfunktion s̄ Spektrale Rauschdichte Sh Gl.(2.50) Lineare spektrale Rauschdichte Slh Gl.(2.52) Spiegel- bzw. Strahlteilermatrix S Gl.(3.1), Gl.(3.12) Gl.(2.26) Gl.(2.30) Kapitel I Einleitung Beschleunigte Massen senden Gravitationswellen aus, die sich dann mit Lichtgeschwindigkeit durch die vierdimensionale Raumzeit bewegen. Der direkte Nachweis dieser Schlussfolgerung aus der Allgemeinen Relativitätstheorie konnte bisher nicht erbracht werden. Ein indirekter Nachweis gelang jedoch 1981 Taylor und Weisberg, die zeigten, dass der Energieverlust des Doppelpulsars PSR 1913+16 sich durch die Abstrahlung von Gravitationswellen beschreiben lässt. Nach Aussage der Allgemeinen Relativitätstheorie sind alle beschleunigten Körper Quellen von Gravitationswellen. Die Amplitude einer solchen Welle steigt linear mit der Masse der beteiligten Körper und sinkt ebenso linear mit dem Abstand zum Detektor. Die Detektionsgrenze heutiger Messapparaturen ist jedoch so hoch, dass nur schwere stellare Objekte nachweisbare Gravitationswellen erzeugen. Beispiele dafür sind seltene Ereignisse wie Supernovae oder die finale Spiralbewegung eines Sternes in einen schweren binären Partner wie ein Neutronenstern oder ein schwarzes Loch [2], [8]. Bereits in den sechziger Jahren wurden die ersten Versuche unternommen, Gravitationswellen experimentell nachzuweisen. Zu dieser Zeit wurden massive Aluminiumblöcke verwendet, deren Resonanz zur Optimierung des Signal-zu-Rausch-Verhältnisses genutzt wurde. Diese so genannten „Resonant Bar“ Detektoren wurden in den vergangenen Jahren weiterentwickelt und sind nun meist ultrakalte sphärische Detektoren. Sie erreichen hohe Sensitivität für Gravitationswellen in einem schmalen Frequenzband um ihre Resonanzfrequenz [1]. Alternativ zu „Resonant Bar“ Detektoren wurden zu Beginn der siebziger Jahre die ersten Prototypen für laserinterferometrische Gravitationswellendetektoren gebaut. Diese haben den Vorteil, Gravitationswellen in einem breiten Frequenzband von ca. 10 Hz bis einige kHz messen zu können. Heute gibt es weltweit sechs erdgebundene laserinterferometrische Detektoren: LIGO mit drei Detektoren (USA), Virgo (Frankreich, Italien), GEO 600 1 2 KAPITEL I. EINLEITUNG (England, Deutschland) und TAMA 300 (Japan). Weiterhin wird in Australien ein 80-m-Prototyp (ACIGA) gebaut [3] und eine Weltraummission (LISA) ist in Planung. Die sechs erdgebundenen Gravitationswellendetektoren besitzen jedoch keinen einheitlichen optischen Aufbau. Dies liegt an der Tatsache, dass noch keine optimale Topologie eines laserinterferometrischen Gravitationswellendetektors gefunden wurde. Aus diesem Grund werden weltweit neue Topologien wie z.B. das Sagnac-Interferometer [6], SpeedMeter[16], „Optical Lever“ [12] oder auch die Verwendung von Kerr-Medien in Interferometern [17] erforscht. In dieser Arbeit wird untersucht, ob sich speziell die Sensitivität von GEO 600 durch die Verwendung von Vier-Spiegel-Armresonatoren verbessern lässt. Durch den Einsatz eines Spiegels im hellen Eingang des Interferometers, des so genannten Powerrecycling-Spiegels, wird die Lichtleistung in den Armen von GEO 600 erhöht. Diese Methode hat den Nachteil, dass Felder hoher Intensität durch den Strahlteiler transmittieren. Dadurch wird der Strahlteiler erhitzt, was zu unerwünschten Effekten, wie Erhöhung der optischen Weglänge und einer thermischen Änderung des Brechungsindexes (Thermische Linse) führt. Das hat eine Verformung des Strahlprofils zur Folge, wodurch der Kontrast des Detektors sinkt, oder bei sehr starker Verformung der Detektor selbst instabil werden kann [18]. Diese Effekte können durch Einsatz von Armresonatoren minimiert werden. So kann bei verhältnismäßig geringen Leistungen auf dem Strahlteiler (die Eingangsleistung beträgt einige 10 bis 100 W) dieselbe Leistung in den Armen erreicht werden wie durch Powerrecycling. Der einfachste Armresonator ist ein Fabry-Perot-Resonator, wie er bei LIGO eingesetzt wird. Da diese Topologie jedoch in den vergangenen Jahren intensiv untersucht wurde und heute als gut verstanden gilt, sollen nun andere Topologien untersucht werden. Nach einem Fabry-Perot-Armresonator ist die Verwendung eines Drei-Spiegel-Armresonators der nächste Schritt [20]. Ein solches Spiegelsystem besteht aus zwei gekoppelten Resonatoren. In einem der beiden müsste die hochreflektierende (HR-) Beschichtung der Spiegel nach außen zeigen. In diesem Resonator dürfte daher nur wenig Leistung gespeichert werden, wenn Thermische Linsen vermieden werden sollen. Die Umsetzung eines Drei-Spiegel-Resonators mit hohen Leistungen in beiden gekoppelten Resonatoren kann folgendermaßen geschehen: Wird ein Vier-Spiegel-Resonator so gebaut, dass der mittlere Resonator das Spiegelsubstrat einschließt, so würde in beiden äußeren Resonatoren die HR-Beschichtung nach innen zeigen. Für ein solches Spiegelsystem können Parameter gefunden werden, so dass beide äußeren Resonatoren hohe Leistungen speichern, obwohl die Leistung im mittleren Resonator gering ist. Wird dann auch die geometrische Länge des mittleren Resonators klein gegen die der äußeren Resonatoren gewählt, so entsteht effektiv ein Seite 3 Drei-Spiegel-Resonator, der hohe Leistungen speichern kann, ohne dabei starke Thermische Linsen auszubilden. Diese Resonatoren sowie ihre Verwendung in GEO 600 werden in dieser Arbeit untersucht. Dabei wird zunächst die Sensitivität linearer und gefalteter Vier-Spiegel-Resonatoren untersucht, wobei hier Strahlungsdruck explizit berücksichtigt wird. Dies konnte in den älteren Arbeiten zu Drei- und VierSpiegel-Resonatoren [15] [20] noch nicht gezeigt werden. Anschließend wird eine Erweiterung auf ein Interferometer mit Vier-Spiegel-Armresonatoren (mit Dualrecycling) durchgeführt und die Empfindlichkeit mit GEO 600 verglichen. Zu diesem Zweck wurde ein Programm geschrieben, das zur Berechnung von linearen gekoppelten Oszillatoren mit maximal vier Spiegeln geeignet ist. Aufbauend auf diesem Programm wurde ein weiteres Programm geschrieben, das die Eingangs-Ausgangs-Relation des ersten Programmes verwendet, um die Sensitivität eines Interferometers mit Signalrecycling zu berechnen. Beide Programme basieren auf einem neuen Verfahren zur Berücksichtigung von Strahlungsdruck. Dieses neue Verfahren („Vier-Felder-Verfahren“) wird vorgestellt und mit dem älteren (genäherten) „Zwei-Felder-Verfahren“ explizit am Beispiel eines Endspiegels sowie eines Fabry-Perot-Resonators verglichen. Die zwei für diese Arbeit verwendeten Programme wurden für den strahlungsdruckfreien Fall mit den Ergebnissen von André Thüring und für den Fall mit Strahlungsdruck mit den Programmen von Yanbei Chen und Thomas Corbitt vom MIT (vgl. [7]) verglichen, wobei perfekte Übereinstimmung erreicht werden konnte. 4 KAPITEL I. EINLEITUNG Kapitel II Grundlagen 2 Quadraturamplituden im Frequenzraum Diese Arbeit basiert auf einem Formalismus, den Caves und Schumaker [4], [5] 1985 einführten. Die folgenden Abschnitte stellen den aus der Quantenfeldtheorie bekannten 1-Photon-Formalismus (vgl. z.B. [13]) und den von Caves und Schumaker entwickelten 2-Photonen-Formalismus vor. 2.1 Der 1-Photon-Formalismus Der 1-Photon-Formalismus basiert auf der quantenmechanischen Beschrei~ r, t) und des Magnetfeldes B(~ ~ r, t). Dabei bung des elektrischen Feldes E(~ ~ ~ werden die klassischen Felder E(~r, t) und B(~r, t) durch Observablen (hermitesche Operatoren, die Messgrößen beschreiben) Ê(~r, t) und B̂(~r, t) ersetzt, die die Maxwellgleichungen erfüllen. Da für alle folgenden Rechnungen ausschließlich das Feld an einem festen Ort ~r und mit einer bestimmten Polarisation benötigt wird, kann die ~r-Abhängigkeit unterdrückt werden. Das elektrische Feld lässt sich dann folgendermaßen darstellen: Ê(t) = r 2π Ac Z ∞ 0 i dω √ h ~ω âω e−iωt + â†ω eiωt 2π . (2.1) Dabei bezeichnet âω den Vernichtungsoperator eines Photons der Frequenz ω und analog â†ω den Erzeuger eines Photons derselben Frequenz. Diese Operatoren erfüllen die bekannten Kommutatorrellationen: [âω , âω′ ] = 0 [âω , â†ω′ ] = 2πδ(ω − ω ′ ) . [â†ω , â†ω′ ] = 0 (2.2) Das elektrische Feld kann somit durch die Erzeugung bzw. Vernichtung eines Photons bei genau einer Frequenz dargestellt werden. Daher bezeichneten Caves und Schumaker diese quantenmechanische Beschreibung eines elektrischen Feldes als 1-Photon-Formalismus. 5 6 2.2 KAPITEL II. GRUNDLAGEN Der 2-Photonen-Formalismus In einem Interferometer werden durch Signal und Rauschen Seitenbänder aufmoduliert. Ihre Frequenzen liegen bei ±Ω bezüglich eines Trägers der Frequenz ω0 . Um diesen Sachverhalt besser beschreiben zu können, führten Caves und Schumaker [4],[5] 1985 einen neuen Formalismus ein, der elektromagnetische Felder durch simultane Erzeugung bzw. Vernichtung zweier Photonen bei den Frequenzen ω0 ± Ω beschreibt. Diesen Formalismus bezeichnet man heute auch als 2-Photonen-Formalismus. Um das elektrische Feld auf diese Weise ausdrücken zu können, müssen zunächst Erzeuger und Vernichter für die Frequenzen ω0 ± Ω definiert werden. Damit das elektrische Feld (ausgedrückt durch die neuen Erzeuger und Vernichter) seine ursprüngliche Form beibehält, insbesondere den Faktor ’Wurzel aus Photonenenergie’, erhalten die neuen Erzeuger und Vernichter die folgende Form: r r Ω Ω â+ := âω0 +Ω 1 + â− := âω0 −Ω 1 − . (2.3) ω0 ω0 Zunächst kann aus Gl.(2.2) die Kommutatorrellation für die neuen Erzeuger und Vernichter abgeleitet werden. Die einzigen nicht verschwindenden Kommutatoren sind dabei µ ¶ µ ¶ Ω Ω † † ′ ′ [â+ , â+′ ] = 2πδ(Ω−Ω ) 1 + [â− , â−′ ] = 2πδ(Ω−Ω ) 1 − . ω0 ω0 (2.4) Dabei steht a±′ als Bezeichnung für a± (Ω ′ ). Nun wird das elektrische Feld in die gewünschte Form überführt, bei der simultan zwei Photonen erzeugt oder vernichtet werden. r Z h i 2π −iω0 t ∞ dΩ p ~ω0 â+ e−iΩt + â†− eiΩt + h.c. , (2.5) e Ê(t) = Ac 2π 0 wobei h.c. für „hermitesch konjugiert“ steht. Nun führten Caves und Schumaker zwei weitere Operatoren ein, die sie als Quadraturamplituden bezeichneten â+ + â†− â+ − ↠√ â1 = und â2 = √ − . (2.6) 2 2i Dabei ist zu beachten, dass die Quadraturamplituden selbst keine Erzeuger oder Vernichter sind. Durch Definition des so genannten Quadraturamplitudenvektors kann der Zusammenhang zwischen â1 /â2 und â+ /â− auch in der folgenden Form ausgedrückt werden: à ! à !à ! 1 â1 1 1 â+ =√ ā := . (2.7) 2 −i i â2 â†− 2. QUADRATURAMPLITUDEN Die nicht verschwindenden Kommutatoren sind hier: h i h i â1 , â†2′ = − â2 , â†1′ = 2πiδ(Ω − Ω ′ ) , h i h i Ω . â1 , â†1′ = â2 , â†2′ = 2πδ(Ω − Ω ′ ) ω0 Seite 7 (2.8) Dabei stellt â1′ analog zu â±′ den Operator â1 (Ω ′ ) dar. Nun kann Gl.(2.5) mit Hilfe der Definition von â1 und â2 direkt in folgende Form überführt werden: r Z h i 4π ∞ dΩ p Ê(t) = cos(ω0 t) ~ω0 â1 e−iΩt + â†1 eiΩt + Ac 0 2π r Z h i 4π ∞ dΩ p . (2.9) sin(ω0 t) ~ω0 â2 e−iΩt + â†2 eiΩt Ac 0 2π Mit der Einführung der Abkürzung r Z h i 4π ∞ dΩ p Êk (t) := ~ω0 âk e−iΩt + â†k eiΩt Ac 0 2π (2.10) lässt sich das elektrische Feld im 2-Photonen-Formalismus auf eine äußere Form bringen, die aus der klassischen Feldtheorie bekannt ist. Ê(t) = Ê1 cos(ω0 t) + Ê2 sin(ω0 t) . (2.11) Diese Zerlegung im Zeitbild wird auch als Zerlegung des elektrischen Feldes in die Quadraturen bezeichnet (vgl. Abschnitt 2.4). Bemerkung In Gl.(2.5) wurde die Integration über die Modulationsfrequenzen von 0 Hz bis ins Unendliche ausgedehnt. Diese Entwicklung in Seitenbänder ist jedoch streng genommen nur für Ω < ω0 möglich. Dies liegt an der symmetrischen Lage der Seitenbänder um den Träger. Erreicht das obere Seitenband eine Frequenz von 2ω0 , so liegt das untere bei einer Frequenz von 0 Hz. Eine Ausdehnung der Frequenz des oberen Seitenbandes auf Frequenzen größer als die Trägerfrequenz würde das untere Seitenband in negative Frequenzen schieben. Da jedoch ω0 üblicherweise in einer Größenordnung von 1015 Hz liegt, ist die weitere Ausdehnung der Integrationsgrenzen auf ∞ nur als mathematische Näherung zu verstehen. 2.3 Die Bedeutung von Êk (t) Die Form der Ek (t) erinnert an Fouriertransformation der Quadraturamplituden. Jedoch sind Fouriertransformationen üblicherweise in der folgenden Form definiert: Z ∞ Z ∞ dω ˜ −iωt ˜ dtf (t)eiωt . (2.12) f (ω)e bzw. f (ω) = f (t) = 2π −∞ −∞ 8 KAPITEL II. GRUNDLAGEN Die Definition der Ek (t) ist so gewählt, dass lediglich über positive Frequenzen integriert wird, was physikalisch sinnvoll ist. Es kann jedoch die folgende Identität verwendet werden: Z −a Z b dxf (−x) , (2.13) dxf (x) = a −b um Gl.(2.10) umzuformen: r ¶ µZ ∞ Z 0 dΩ † 4π~ω0 dΩ −iΩt −iΩt Êk (t) = âk (Ω)e + âk (−Ω) e Ac 2π −∞ 2π 0 . (2.14) Aus der Definition der Quadraturamplituden (Gl.(2.6) und Gl.(2.3)) ergibt sich der Zusammenhang: â†k (−Ω) ≡ âk (Ω) , so dass Ek (t) schließlich die folgende Form erhält: r Z 4π~ω0 ∞ dΩ Êk (t) = âk (Ω)e−iΩt Ac 2π −∞ (2.15) . (2.16) Somit ist gezeigt, dass die Ek (t) eine skalierte Darstellung der Quadraturamplituden ak (Ω) im Zeitbild sind: r r 4π~ω0 4π~ω0 FT (â1 (Ω)) und Ê2 (t) = FT (â2 (Ω)) , Ê1 (t) = Ac Ac (2.17) wobei FT eine Kurzschrift für „Fouriertransformierte“ ist. Bemerkung Vereinigt man Gl.(2.11) und Gl.(2.17), so ergibt sich daraus nicht direkt das elektrische Feld im Frequenzraum: r 4π~ω0 E(Ω) 6= (cos(ω0 t) â1 (Ω) + sin(ω0 t) â2 (Ω)) . (2.18) Ac Wenn das elektrische Feld im Frequenzraum berechnet werden soll, muss eine Fouriertransformation von Gl.(2.11) durchgeführt werden, wobei cos(ω0 t) und sin(ω0 t) mittransformiert werden müssen. 2.4 Der Quadraturenraum In der Literatur [17], [10] wird der Betrag des elektrischen Feldes teilweise als zweikomponentiger Vektor dargestellt. Was diese Darstellung bedeutet, wird im folgenden Abschnitt gezeigt. Ungeachtet der Beschreibung durch quantenmechanische Operatoren oder 2. QUADRATURAMPLITUDEN Seite 9 klassische komplexe Funktionen, kann das elektrische Feld im Zeitbild immer auf die folgende Form gebracht werden: ~ = ~e · (E1 · cos (ω0 t) + E2 · sin (ω0 t)) . E (2.19) Dabei bezeichnet ~e einen Einheitsvektor, der somit die Polarisationsrichtung des elektrischen Feldes beschreibt. Vom mathematischen Standpunkt aus ~ und ~e um Vektoren als Elemente des R3 . Da gesehen handelt es sich bei E aber cos (ω0 t) und sin (ω0 t) linear unabhängige Funktionen sind, können sie als Basis eines neuen Vektorraumes, des so genannten Quadraturenraumes gewählt werden. à ! à ! 1 0 cos (ω0 t) → , sin (ω0 t) → (2.20) 0 1 Der Betrag des elektrischen Feldes geht dann über in ! à E1 =: E . E→ E2 (2.21) Eine weitere Möglichkeit, den Quadraturenraum einzuführen, geschieht über den Exponentialansatz für Wellen. © ª ~ = ~e · αeiω0 t + α∗ e−iω0 t E = ~e · {α(cos(ω0 t) + i sin(ω0 t)) + α∗ (cos(ω0 t) − i sin(ω0 t)} = ~e · {α + α∗ ) cos(ω0 t) + (α − α∗ )i sin(ω0 t)} = ~e · {2ℜ(α) cos(ω0 t) + 2ℑ(α) sin(ω0 t)} , (2.22) dabei ist α eine komplexe Zahl, die so genannte Komplexe Amplitude. Ein Vergleich von Gl.(2.20) und Gl.(2.21) zeigt folgenden Zusammenhang: ! à ! à ℜ(α) E1 =E . (2.23) 2· = E2 ℑ(α) Nun sind die Elemente des Quadraturenraums gewöhnliche Vektoren und es können die bekannten Operationen damit durchgeführt werden. Dabei muss jedoch beachtet werden, dass die Basis des Quadraturenraums nicht normiert ist. Es muss also bei der Bildung von Skalarprodukten immer die Basis berücksichtigt werden: ! à E1 ≡ E1 cos(ω0 t) + E2 sin(ω0 t) E= (2.24) E2 ⇒ E 2 = E12 cos2 (ω0 t) + 2E1 E2 sin(ω0 t) cos(ω0 t) + E22 sin2 (ω0 t) . Bei GEO 600 wird ein Nd:Yag-Laser verwendet, dessen Wellenlänge 1064 nm beträgt. Der Träger hat somit einer Frequenz von 1,77 ·1015 Hz. Beachtet 10 KAPITEL II. GRUNDLAGEN man weiterhin, dass über die Messzeit ∆t ≈ Ω −1 gemittelt werden muss, und Ω bei erdgebundenen Interferometern lediglich zwischen 10 Hz und einigen Kilohertz liegt, so verschwindet der Mischterm und cos2 (ω0 t) und sin2 (ω0 t) können jeweils durch ihren Mittelwert 1/2 ersetzen werden. Damit geht Gl.(2.24) über in: E2 = 2.5 E12 E22 + 2 2 (2.25) . Kennzeichnung verschiedener Vektoren Da in dieser Arbeit mit den Elementen verschiedener Vektorräume gerechnet wird, ist es notwendig, mehrere Kennzeichen für diese Vektoren zu verwenden. Hier werden die folgenden Bezeichnungen verwendet: ~v , v̄, v . Elemente des R3 werden mit einem Pfeil markiert (z.B. das elektrische Feld ~ ~ E(t) oder E(Ω)), die Elemente des Quadraturenraumes dagegen werden durch Fettdruck gekennzeichnet (z.B. E(t)). Vektoren, deren Komponenten die Quadraturamplituden sind, werden durch einen Balken markiert (z.B. ā in Gl.(2.7)). Es sollte dabei beachtet werden, dass als Basis für ā nicht die Basis des Quadraturenraums gewählt werden kann. Diese Wahl ist nicht möglich, da zum Quadraturenraum kein Dualraum existiert, so dass eine Beschreibung von Matrizen nicht möglich ist. Die Propagation eines elektrischen Feldes wird nach Gl.(2.39) jedoch durch Anwendung einer Matrix auf ā beschrieben. 2.6 Linearisierung der Feldoperatoren Das elektrische Feld Ê ist dimensionsbehaftet. Für Rechnungen ist es daher zweckmäßig, ein dimensionsloses Feld f in der folgenden Form einzuführen: à ! à ! r r 4π~ω0 4π~ω0 f1 Ê1 . (2.26) f= =: Ê = Ac Ac f2 Ê2 Somit ist nach Gl.(2.17) f (t) = à ! FT (â1 ) FT (â2 ) Dabei bleibt f (Ω) unbestimmt, wogegen à ! â1 f¯(Ω) = â2 . (2.27) (2.28) 2. QUADRATURAMPLITUDEN Seite 11 definiert werden kann. Es ist üblich, die Basisvektoren des Quadraturenraums auch Amplituden- bzw. Phasenquadratur zu nennen. Diese Bezeichnung stammt von der folgenden Eigenschaft: Überlagert man ein starkes Feld Λ = Λ cos(ω0 t) mit einem schwachen Feld d, so erhält das Gesamtfeld die Form f = [Λ + d1 ] cos(ω0 t) + d2 sin(ω0 t) µ ¶ µ ¶ d1 d2 ≈ Λ 1+ cos ω0 t − . Λ Λ (2.29) Damit zeigt sich, dass d1 die Amplitude, d2 dagegen die Phase des Trägers verändert. Aus diesem Grund wird cos(ω0 t) auch als Amplitudenquadratur, sin(ω0 t) dagegen als Phasenquadratur bezeichnet. Die Namen der Koeffizienten sind bereits aus dem 2-Photonen-Formalismus bekannt: Es sind die Quadraturamplituden, wobei f1 auch Amplitudenquadraturamplitude, f2 Phasenquadraturamplitude genannt wird. Es ist weiterhin üblich, den Quadraturamplitudenvektor f¯ in einen zeitunabhängigen Teil Λ̄ und einen zeitabhängigen Teil d¯ + s̄h zu teilen: f¯ = Λ̄ + (d¯ + s̄h) . (2.30) Der zeitunabhängige Teil Λ̄ repräsentiert das Trägerfeld E(Λ̄), das, abgesehen vom Signal, die gesamte Leistung des Feldes trägt. Der zeitabhängige Anteil von f¯ wird dagegen in das Quantenrauschen d¯ und das Signal s̄h zerlegt. Es ist üblich, d¯ auch als Vakuumsfluktuation oder Vakuum zu be¯ t) eine mittlere Leistung von 0 W trägt. Alternativ zu zeichnen, da E(d, dieser Zerlegung kann der Feldoperator f¯ auch linearisiert werden, wodurch er in seinen Erwartungswert hf¯i = (Λ̄ + s̄h) und seine Schwankung δ f¯ = d¯ zerfällt: f¯ = hf¯i + δ f¯ = (Λ̄ + s̄h) + d¯ . 2.7 (2.31) Die Propagation eines Feldes Die Beschreibung beliebiger Interferometertopologien im 2-PhotonenFormalismus erfordert eine neue mathematische Darstellung der Propagation eines Feldes. Es ist heute jedoch üblich, die Input-Output-Relation nicht für die elektrischen Felder selbst zu berechnen. Stattdessen werden stellvertretend die Quadraturamplitudenvektoren zu den Feldern an den verschiedenen Punkten eines Interferometers aufgestellt. Es wird somit eine Bedingung benötigt, die den Zusammenhang dieser Vektoren für propagierte Felder angibt. Diese Darstellung kann aus der folgenden Überlegung gewonnen werden: In einem Labor auf Tisch 1 (Ort x = 0) befinde sich ein Laser, der zum 12 KAPITEL II. GRUNDLAGEN Zeitpunkt t = t1 das folgende Feld abstrahle: ~ = E(â ~ + , â− , t = t1 , x = 0) E r Z 2π −iω0 t1 dΩ p ~ω0 (â+ e−iΩt1 + â− eiΩt1 ) + h.c. . e = Ac 2π (2.32) Dieses Feld propagiere zu Tisch 2 (Ort x = l) und erreiche diesen zum Zeitpunkt t = t1 + l/c. Dort habe das Feld die Form: ~ = E( ~ b̂+ , b̂− , t = t1 + l , x = l) E c r Z l l 2π −iω0 (t1 + l ) dΩ p c ~ω0 (b̂+ e−iΩ(t1 + c ) + b̂− eiΩ(t1 + c ) ) + h.c. . e = Ac 2π (2.33) Unter der Annahme, dass während der Propagation keine Verluste durch z.B. Streuung an Staubteilchen in der Luft aufgetreten sind, sind die Felder aus Gl.(2.32) und Gl.(2.33) identisch. In vereinfachter Notation gilt somit: l Ē(ā, t) = Ē(b̄, t + ) . c (2.34) Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich dann folgender Zusammenhang für die Feldoperatoren: ! à à ! l ei(ω0 +Ω) c · â+ (Ω) b̂+ = . (2.35) l b̂†− e−i(ω0 −Ω) c · â†− (Ω) Nun kann die folgende Substitution durchgeführt werden: l ei(ω0 ±Ω) c = ϕ± , (2.36) wodurch ein linearer Zusammenhang zwischen den Operatoren erkennbar wird: à ! à ! à ! ϕ+ 0 b̂+ â+ = · . (2.37) b̂†− 0 ϕ∗− â†− Unter Verwendung von Gl.(2.7) kann weiter umgeformt werden und es ergibt sich: à ! ϕ+ + ϕ∗− i(ϕ+ − ϕ∗− ) b̄ = · ā . (2.38) −i(ϕ+ − ϕ∗− ) ϕ+ + ϕ∗− Durch Rücksubstitution ergibt sich schließlich die gesuchte Beziehung zwischen den Quadraturamplitudenvektoren: ! à ω0 l ω0 l cos( ) − sin( ) c c · ā =: Pl ā , (2.39) b̄ = e(iΩl/c) sin( ωc0 l ) cos( ωc0 l ) 2. QUADRATURAMPLITUDEN Seite 13 wobei Pl die Propagationsmatrix um eine Strecke l bezeichnet. Da die Propagation eines Feldes somit durch Multiplikation mit einer komplexen Phase und Drehung des Quadraturamplitudenvektors beschrieben wird, kann die folgende Eigenschaft von Rotationsmatrizen verwendet werden Rot(ψ) · Rot(φ) = Rot(ψ + φ) , (2.40) um die Hintereinanderausführung von Propagationen zu erklären: PL1 · PL2 = PL1+L2 . (2.41) Bemerkung Es sollte beachtet werden, dass die Propagationsmatrix auf einen Vektor ā = f¯ angewendet wird, also auf einen Quadraturamplitudenvektor. Es ist nicht möglich, PL auf f und somit auf das elektrische Feld im Quadraturenraum anzuwenden, was teilweise in [10] (z.B. Seite 25), [17] (z.B. Seite 11) nicht beachtet wurde. 2.8 Makroskopische Länge und Verstimmungswinkel eines Resonators Zur Beschreibung der Länge eines Resonators werden üblicherweise zwei Größen verwendet: die makroskopische Länge L und der Verstimmungswinkel Ψ . Die makroskopische Länge wird in Metern angegeben, eine exakte (nanometer genaue) Angabe ist nicht notwendig. Es wird angenommen, dass L resonant für das Trägerlicht ist: µ ¶ Lω0 Rot = 1l . (2.42) c Der Verstimmungswinkel Ψ des Resonators gibt an, um welche mikroskopische Länge lmik der Resonator gegen die Resonanzlänge L verlängert wurde: lmik ω0 . c eines Resonators zerfällt somit in Ψ= Die tatsächliche Länge Lreal (2.43) Lreal = L + lmik + nλ , (2.44) nλ << 1 m . (2.45) mit Somit wird die Propagation in einem Resonator der Länge L und des Verstimmungswinkels Ψ in der folgenden Form berücksichtigt: ! à ω0 Lreal ω0 Lreal cos( ) − sin( ) c c (2.46) PResonator = eiΩLreal /c ω0 Lreal ω0 Lreal sin( c ) cos( c ) à ! iΩL/c cos(Ψ ) − sin(Ψ ) = e . (2.47) sin(Ψ ) cos(Ψ ) 14 2.9 KAPITEL II. GRUNDLAGEN Spektrale Rauschdichten Die Herleitung für die spektrale Rauschdichte basiert auf der Annahme, dass sich die Eingangs-Ausgangs-Relation jedes Interferometers auf die folgende Form bringen lässt [11]: 1 d¯out = [T d¯in + s̄h] . (2.48) M In dieser Darstellung steht T für die Transfermatrix des Rauschens, s̄ dagegen für die Transferfunktion des Signals, das durch eine Gravitationswelle der Stärke h in den Armen erzeugt wurde. Für den Fall, dass die Auslesung des Signals durch Homodyn-Detektion geschieht, ist es möglich eine beliebige ζ Quadratur dout des ausgehenden Feldes zu messen: ³ ´ ζ dout = cos(ζ) sin(ζ) · d¯out , (2.49) dabei wird ζ auch Homodyn-Winkel genannt. Für ζ = 0 wird also gerade die Amplitudenquadratur, für ζ = π/2 die Phasenquadratur des Feldes d¯out gemessen. Die spektrale Rauschdichte Sh ergibt sich dann zu: à ! ³ ´­ ® cos(ζ) cos(ζ) sin(ζ) T T † sym sin(ζ) à ! , Sh = (2.50) ³ ´ cos(ζ) cos(ζ) sin(ζ) hs̄s̄† isym sin(ζ) wobei h isym ein symmetrisches Produkt kennzeichnet: D E 1 āā† := (āā† + ā⋆ āT ) . 2 sym (2.51) Die lineare spektrale Rauschdichte Slh ist definiert über die Wurzel der spektralen Rauschdichte: p (2.52) Slh = Sh . Zum Verständnis der linearen spektralen Rauschdichte einer bestimmten Interferometertopologie ist es unter Umständen notwendig, Zähler und Nenner einzeln zu betrachten. Der Zähler wird dann auch als Rauschfunktion bezeichnet und ist dimensionslos. Der Nenner dagegen, die so genannte Signalfunktion, hat die Einheit √ [Signalfunktion] = Hz . (2.53) Dadurch ist die Dimension der linearen spektralen Rauschdichte 1 [Slh ] = √ Hz . (2.54) Rausch- und Signalfunktion sind proportional zu den in der Literatur üblichen Rausch- und Signaltransferfunktionen. Kapitel III Theorie 3 3.1 Beschreibung von Resonatoren unter Vernachlässigung des Strahlungsdrucks Das Verhalten von Feldern an einem Spiegel (Strahlteiler) In diesem Abschnitt werden die Konventionen zur Beschreibung des Verhaltens von Feldern an einem verlustfreien Spiegel vorgestellt. Diese Beschreibung wird ohne die Berücksichtigung von Strahlungsdruck geschehen. An Abbildung 3.1: Felder an einem Spiegel jedem Spiegel kann der Zusammenhang zwischen den eingehenden Feldern (f¯1in , f¯2in ) und ausgehenden Feldern (f¯1out , f¯2out ) in der folgenden Form geschrieben werden: à ! à !à ! A B f¯1out f¯1in = . (3.1) f¯2out C D f¯2in | {z } S 15 16 KAPITEL III. THEORIE Es kann gezeigt werden, dass diese Berechnungen gleichermaßen für Felder in der Darstellung aus Gl.(2.11) als auch für die Darstellung durch Quadraturamlitudenvektoren gilt. Sollte letztere Darstellung genutzt werden, so sind f¯1in , f¯2in , f¯1out , f¯2out zweikomponentige Quadraturamplitudenvektoren. In diesem Fall kann der folgende Ansatz für S gewählt werden: à ! A1l B1l S= , (3.2) C1l D1l wobei 1l für die 2x2-Einheitsmatrix steht. Diese 1l kann in der Schreibweise unterdrückt werden, so dass die oben genannte Wahl der Darstellung unbedeutend wird. Nach dem Prinzip der Zeitumkehrbarkeit (engl: „reciprocity“) muss dieser Zusammenhang bei Umkehrung der Zeitrichtung erhalten bleiben. Bei Zeitinversion werden alle eingehenden Felder zu ausgehenden und umgekehrt. Weiterhin gilt nach Gl.(2.1) bzw. Gl.(2.5), dass Zeitinversion identisch ist mit hermitescher Konjugation des Feldes. Ê(−t) ≡ Ê † (t) . (3.3) Dies liegt an der Tatsache, dass die Zeitinversion in einer komplexen Exponentialfunktion identisch ist mit der komplexen Konjugation der Funktion. Ebenso muss aber auch die Funktion der Erzeuger und Vernichter berücksichtigt werden. Wurden bei positivem Zeitverlauf Photonen erzeugt, muss bei Zeitinversion das Gegenteil geschehen. Es müssen also Erzeuger in Vernichter und Vernichter in Erzeuger übergehen. Somit ergibt sich für den zeitinvertierten Fall: à !† à !† à ! à ! ¯in f¯1in f¯1out f¯1out †−1 f1 =S ⇔ =S . (3.4) f¯in f¯out f¯out f¯in 2 2 2 2 Damit nun Gl.(3.1) und Gl.(3.4) gleichermaßen erfüllt sind, muss S unitär sein. Es gilt also: ! à ! à 1 D −B ! A∗ C ∗ , (3.5) = AD − BC −C A B ∗ D∗ und es können Bedingungen für die Elemente von S abgelesen werden: ! AD − BC = 1 ∧ ! A∗ = D ∧ ! C ∗ = −B Nun kann ein Ansatz für die Matrix S gemacht werden: ! à ρeiΦ1 τ eiΦ2 , S= τ eiΦ3 ρeiΦ4 . (3.6) (3.7) 3. RESONATOREN OHNE STRAHLUNGSDRUCK Seite 17 wobei ρ für die Amplitudenreflektivität und τ für die Amplitudentransmissivität stehen. Durch Einsetzen in Gl.(3.5) ergibt sich aus den Nebendiagonalenelementen folgender Zusammenhang: ! ei(Φ2 −Φ1 ) = −ei(Φ4 −Φ3 ) . (3.8) Diese Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn gilt: Φ1 − Φ2 + Φ4 − Φ3 = π mod(2π) . (3.9) Für einen normalen Spiegel mit einer HR-Beschichtung auf einer Seite ergibt sich eine Symmetrieachse. Auf Grund dieser Symmetrieachse sollten die Nebendiagonalenelemente von S gleich sein, es sollte also φ2 = φ3 gelten. Diese Gleichungen geben alle Bedingungen an, die bei einer Wahl von S berücksichtigt werden müssen. Es gibt also verschiedene Konventionen zur Beschreibung des Verhaltens von Feldern an einem Spiegel. Zwei bekannte Beispiele sind: à ! π ρ iτ Φ1 = Φ4 = 0 ∧ Φ2 = Φ3 = ⇒ S= , (3.10) 2 iτ ρ à ! π ρ τ ⇒ S= .(3.11) Φ1 = Φ2 = Φ3 = 0 ∧ Φ4 = 2 τ −ρ In dieser Arbeit wird die Konvention aus Gl.(3.11) verwendet werden. Diese Gleichung bedeutet, dass Felder, die durch einen Spiegel transmittieren, keine Phasenänderung erhalten. Dagegen erhalten Felder, die an einem Spiegel reflektiert werden, abhängig von der Seite, an der sie reflektiert werden, einen Phasensprung von 180◦ . Zur Verdeutlichung, an welcher Seite dieser Phasensprung berücksichtigt wird, werden Spiegel in Zeichnungen auf der einen Seite durch ein „+“ (kein Phasensprung), auf der anderen Seite durch ein „-“ (Phasensprung) gekennzeichnet. Ein Spezialfall ist dabei ein 50/50Strahlteiler. Für diesen wird die Matrix S auch Strahlteilermatrix genannt und ist hier gegeben durch: à ! 1 1 1 S=√ . (3.12) 2 1 −1 3.2 Ein Fabry-Perot-Resonator ohne Strahlungsdruck Ein Fabry-Perot-Resonator ist ein einfacher optischer Resonator bestehend aus zwei teilweise reflektierenden Spiegeln. Ein solches System wird im Englischen auch „cavity“ genannt. In diesem Abschnitt wird die „EingangsAusgangs-Relation“ eines Fabry-Perot-Resonators für den strahlungsdruckfreien Fall hergeleitet. Diese Beziehung wird nicht direkt für das elektrische 18 KAPITEL III. THEORIE Λ̄(1) Λ̄in Λ̄(2) Λ̄out Λ̄(4) - + ρ1 τ1 Λ̄out′ Λ̄(3) + ρ2 τ2 Abbildung 3.2: Reflexion am Spiegel Feld berechnet, sondern für die Quadraturamplitudenvektoren f¯. Für den vereinfachten Fall ohne Strahlungsdruck wird angenommen, dass beide Spiegel sehr massiv seien und dass die Leistung sowohl des Eingangsfeldes als auch die in dem Resonator gespeicherte Leistung gering sei. Diese Aussage ist äquivalent zu der Behauptung, dass alle Spiegelpositionen fest seien. Unter dieser Annahme und der Annahme, dass es kein Signal gibt, geht der Vektor f¯ nach Gl.(2.30) über in Λ̄. Mit den Bezeichnungen aus Abb.(3.2) und der Festlegung, dass der Abstand der beiden Spiegel L betrage, gelten die folgenden Zusammenhänge: Λ̄(1) = τ1 Λ̄in + ρ1 Λ̄(4) (3.13) , mit Λ̄(4) = PL ρ2 Λ̄(2) = PL ρ2 PL Λ̄(1) =: RT · Λ̄(1) Λ̄(1) = τ1 Λ̄in =: Tau · Λ̄in 1 − ρ1 · RT . , (3.14) (3.15) Nachdem die Beziehung zwischen Λ̄in und Λ̄(1) bekannt ist, kann sofort die „Eingangs-Ausgangs-Relation“ für ein Zwei-Spiegelsystem berechnet werden: Λ̄out = = −ρ1 Λ̄in + τ1 Λ̄(4) −ρ1 Λ̄in + τ1 · RT · Tau · Λ̄in =: Rho · Λ̄in . (3.16) Für ein starres zwei Spiegelsystem erhält man somit auf kürzestem Wege die gesuchte „Eingangs-Ausgangs-Relation“. Die Annahme eines strahlungsdruckfreien Spiegelsystems kann für geringe Leistungen und hohe Spiegelmassen gemacht werden. Für Leistungen von einigen Kilowatt und Spiegelmassen von 5,6 kg weicht die lineare spektrale Rauschdichte für Frequenzen kleiner als einige 10 Hz, stark von der exakten Kurve ab. Ein konkreter Vergleich wird in Abschnitt 5.3.3 diskutiert. 4. RESONATOREN MIT STRAHLUNGSDRUCK 4 Seite 19 Beschreibung von Resonatoren unter Berücksichtigung des Strahlungsdrucks 4.1 Signal und Quantenrauschen Im letzten Abschnitt wurde der Zusammenhang der Quadraturamplitudenvektoren für ein starres Spiegelsystem gezeigt. Doch selbst unter Vernachlässigung aller äußeren Einflüsse wie Moden der Spiegelaufhängung oder auch Seismik, ist mit einer Schwingung der Spiegel zu rechnen. Diese Schwingung entsteht durch Leistungsfluktuationen des Lasers, deren Ursache in der quantenmechanischen Natur des Lichtes liegt. Diese Fluktuationen verursachen durch Impulsübertrag bei Reflexion des Feldes eine Schwingung des Spiegels. Der Effekt der Spiegelauslenkung durch quantenmechanische Fluktuationen der Laserleistung wird auch Strahlungsdruckrauschen genannt. Da dieser Effekt quantenmechanischer Natur ist, wird auch von Quantenrauschen gesprochen. 4.1.1 Spiegelauslenkung durch Strahlungsdruck Für eine exakte Beschreibung eines Spiegelsystems muss die variierende Position der Spiegel berücksichtigt werden. Es ist daher notwendig, die Auslenkung der Spiegel gegen die Ruhelage zu berechnen. Dazu erfolgt der Ansatz nach Newton: F (t) = mẍ ⇔ F (Ω) = −Ω 2 mx(Ω) . (4.1) Da die Auslenkung x(Ω) durch das Laserlicht verursacht wird, muss ein Zusammenhang zwischen der Kraft F (Ω) und dem Licht hergestellt werden. Für elektromagnetische Wellen definiert man üblicherweise Leistung, Energiedichte und auch Impulsdichten. Die Leistung ist dabei die am leichtesten zu messende Größe und meist für jeden Laser in einem Versuchsaufbau bekannt. Daher ist es sinnvoll, einen Zusammenhang zwischen der Leistung P und der Kraft F anzugeben: F = P c (4.2) , wobei c für die Vakuumslichtgeschwindigkeit steht. Analog zu Gl.(2.30) kann auch die Leistung des Feldes in eine zeitlich konstante mittlere Leistung P0 und einen fluktuierenden Anteil δP zerlegt werden: P = Pgesamt = P0 + δP . (4.3) Zusammen mit Gl.(4.2) und Gl.(4.1) ergibt sich daraus: xgesamt = − Pgesamt cΩ 2 m , (4.4) 20 KAPITEL III. THEORIE dabei ist (4.5) xgesamt = x0 + x(Ω) . Die Auslenkung des Spiegels lässt sich also zerlegen in eine zeitlich konstante Auslenkung x0 und eine variierende Auslenkung x(Ω). Die zeitlich konstante Auslenkung spielt dabei physikalisch keine ausgeprägte Rolle, sie kann als „Nullauslenkung“ definiert werden, da sie im Experiment durch eine konstante Gegenkraft kompensiert wird. Relevant ist somit lediglich das Schwanken der Testmassen (Spiegel, die durch Gravitationswellen ausgelenkt werden sollen) um ihre Nullauslenkung. Berücksichtigt man dies und verwendet Gl.(4.5) und Gl.(4.3), so folgt aus Gl.(4.4): δP . (4.6) cΩ 2 m Im nächsten Schritt muss die Schwankung der Leistung δP bestimmt werden. Dazu können einige bekannte Formeln aus der Elektrodynamik verwendet werden, die hier im Gauß-System geschrieben werden: ~= c E ~ ×B ~ , S (4.7) 4π ~ für den Poynting-Vektor , also die Energiestromdichte, steht. Weiwobei S terhin wird die Intensität I benötigt, die definiert ist über den Quotienten aus (räumlich) mittlerer Leistung hP i auf einer Fläche A: x(Ω) = − hP i ~ |i . = h| S (4.8) A Dass die Leistung nur als Mittel über eine Fläche bekannt sein kann, ist anschaulich klar. Aus diesem Grund wird in den folgenden Gleichungen das Mittelwertsymbol h.i unterdrückt. Für elektromagnetischen Wellen im Vakuum gilt weiterhin bekanntlich: I= ~ ⊥B ~ E und: E=B . (4.9) Aus diesen Gleichungen ergibt sich schließlich die Leistung auf der Fläche A zu Ac ~ 2 · hE i . (4.10) hP i = 4π Nach Gl.(2.26) und Gl.(2.30) ist der Betrag des elektrischen Feldes im Zeitbild gegeben durch: r 4π~ω0 E(t) = ((Λ1 + d1 ) cos(ω0 t) + (Λ2 + d2 ) sin(ω0 t)) , (4.11) Ac oder ausgedrückt im Quadraturenraum: !# ! à "à r 4π~ω0 d1 Λ1 + E(t) = Ac d2 Λ2 (4.12) r 4π~ω0 = [Λ + d] . Ac 4. RESONATOREN MIT STRAHLUNGSDRUCK Seite 21 Somit ergibt sich für die Leistung P (Ω) schließlich die folgende Gleichung: £ ¤ P (t) = P (t)gesamt = ~ω0 Λ2 + 2Λd + d2 . (4.13) Wie bereits oben erläutert, ist die Gesamtleistung physikalisch hier nicht von Interesse. Für die Auslenkung x(Ω) wird lediglich die Fluktuation der Leistung benötigt. Aus der Definition von Λ und d (vgl. Gl.2.30) ist bereits bekannt, dass Λ2 konstant ist und somit nicht zur Leistungsfluktuation beiträgt. Außerdem ist d2 das Quadrat einer Schwankung um den Nullpunkt und somit bereits im Vergleich zu Λ · d vernachlässigbar klein. Unter Verwendung von Gl.(4.3) und Berücksichtigung der Konventionen des Quadraturenraumes (Gl.(2.25)) ergeben sich die folgenden Zusammenhänge: Λ̄2 ~ω0 Λ2 = ~ω0 · 2 r ¯ ¯ 2P 0 Λ := ¯Λ̄¯ = , ~ω0 P0 ⇔ = (4.14) (4.15) und für die Fluktuation der Leistung: δP ⇔ δP ¯ ¯ = 2~ω0 · Λd = ~ω0 · ¯Λ̄d¯¯ = ~ω0 · Λd1′ p 2P0 ~ω0 d1′ . = (4.16) α ϕ Amplitudenquadratur Phasenquadratur Phasenquadratur Dabei ist d1′ die Projektion von d¯ auf Λ̄, also d1′ = d · cos(α) (vgl. Abb.(4.1)). Diese Schreibweise ist allerdings ungünstig, da α als relativer Winkel von d¯ zu Λ̄ das Wissen über die absolute Lage eben beider Vektoren verlangt. Wie α d1′ Amplitudenquadratur ¯ Grün: Träger Λ̄, Schwarz: Vakuum d. ¯ Aus Gründen der Abbildung 4.1: Λ̄ und d. Visualisierbarkeit ist das Verhältnis der Stärke der beiden Felder übertrieben klein dargestellt. in Abschnitt 4.3 gezeigt werden wird, lässt sich der Träger Λ̄ unabhängig von d¯ berechnen. Dabei wird die Transfermatrix des Trägers analog zu der Transfermatrix eines Quadraturamplitudenvektors durch ein fixiertes Spiegelsystem berechnet (vgl. Abschnitt 3.2). Da der Träger somit durch einfache 22 KAPITEL III. THEORIE Gleichungen an jedem Punkt des Spiegelsystems gegeben ist, ist es von Vorteil, die Leistungsfluktuation durch den Winkel ϕ auszudrücken. Der Wert von ϕ kann direkt aus Abb.(4.1) abgelesen werden: ϕ = arctan(Λ2 /Λ1 ) . (4.17) In Abb.(4.1) kann ebenso abgelesen werden, dass d1′ gleich der ersten Komponente des um −ϕ rotierten d¯ ist. Es gilt somit: ³ ´ d1′ = 1 0 Rot[−ϕ] · d¯ . (4.18) Wird nun Gl.(4.16) in Gl(4.6) eingesetzt, so findet sich schließlich die gesuchte Gleichung für die Auslenkung x(Ω): √ 2P0 ~ω0 ′ d . (4.19) x(Ω) = − Ω 2 mc 1 In der Vergangenheit wurde oft eine weitere Leistung I0 in der folgenden Form definiert: I0 = 2P0 . (4.20) Diese Größe kann in einfachen Interferometern verwendet werden, in denen der Strahlungsdruck in jedem Arm an lediglich einem einzigen Spiegel berücksichtigt wird. Dann gibt I0 die Leistung vor dem 50/50-Strahlteiler an, wogegen P0 die Leistung in den Armen bezeichnet. Eine weitere bekannte Größe ist die Kopplungskonstante K, die je nach Interferometertyp einen anderen Wert besitzt. Allgemein kann aber eine „Grundkopplungskonstante“ K0 eingeführt werden, von der die meisten bekannten Kopplungskonstanten nur durch Faktoren abweichen. Dieses K0 ist gegeben durch: 8P0 ω0 . (4.21) K0 := mΩ 2 c2 Für GEO 600 wird üblicherweise die folgende Kopplungskonstante [11],[10] verwendet: KGeo = 5K0 , (4.22) wodurch es möglich wird, die Umlenkspiegel in Rechnungen zu vernachlässigen. Es sollte beachtet werden, dass die Kopplungskonstante linear von der Leistung P0 abhängt. Mit Hilfe dieser Gleichungen kann nun die Auslenkung x(Ω) folgendermaßen ausgedrückt werden: x(Ω) = − cK0 ′ d 4ω0 Λ 1 . (4.23) Die Auslenkung eines Spiegels ist also proportional zu Ω −2 , was bedeutet, dass die Spiegel für hohe Frequenzen praktisch keine Auslenkung mehr erfahren. Dieser Effekt kann mit einer hochfrequenten Anregung eines Fadenpendels verglichen werden: Wird ein Fadenpendel zu einer Schwingung 4. RESONATOREN MIT STRAHLUNGSDRUCK Seite 23 angeregt, so existiert eine kritische Anregungsfrequenz fkr , die größer als die Eigenfrequenz des Pendels ist: fkr >> feigen . Ab dieser kritischen Anregungsfrequenz führt das Pendel selbst keine Bewegung mehr aus. Wenn also die Sensitivität eines Detektors lediglich für große Frequenzen untersucht werden soll, so muss Strahlungsdruck nicht berücksichtigt werden. Wie groß die Frequenz genau sein muss ist detektorabhängig (d.h. spiegelmassen- und leistungsabhängig). Für den Vier-Spiegel-Resonator aus Abschnitt 5.3.3 mit einer Spiegelmasse von 5,6 kg ist eine Vernachlässigung von Strahlundsdruck für alle Frequenzen größer als 200 Hz möglich. Die Bedeutung von Gl.(4.23) sollte genau beachtet werden. Die Herleitung dieser Gleichung geschah dadurch, dass der Impulsübertrag genau eines Feldes bestimmt wurde. Somit ist diese Auslenkung auch nur diejenige, die durch ein einziges Feld entsteht. Das allein genügt nicht, um die tatsächliche Auslenkung des Spiegels anzugeben. Um diese Gesamtauslenkung zu berechnen, müssen alle am Spiegel angreifenden Felder berücksichtigt werden. Es existieren jedoch zwei unterschiedliche Methoden zur Berechnung dieser tatsächlichen Auslenkung der Spiegel durch Strahlungsdruck: das genäherte „Zwei-Felder-Verfahren“ und das exakte „Vier-Felder-Verfahren“. Diese Methoden werden in den folgenden Abschnitten vorgestellt. Ein Vergleich der beiden Verfahren wird in Abschnitt 4.4 gezeigt. 4.1.2 Das Zwei-Felder-Verfahren In diesem Verfahren werden die einfallenden Felder (in Abbildung 4.2 schwarz) in transmittierte (rot) und reflektierte Anteile (blau) zerlegt. Es wird angenommen, dass die transmittierten Anteile das Spiegelsubstrat ohne resultierenden Impulsübertrag durchqueren und somit keinen Einfluss auf den Spiegel ausüben. Die reflektierten Anteile der einfallenden Felder sind somit die einzigen Verursacher der Spiegelbewegung. Bezogen auf Gl.(4.19) Abbildung 4.2: Annahme im Zwei-Felder-Verfahren: Zwei Felder (schwarz) treffen auf einen Spiegel. Der reflektierte Anteil (blau) verursacht einen Impulsübertrag auf den Spiegel, woraufhin dieser in Schwingung gerät. Der transmittierte Anteil (rot) durchdringt das Spiegelsubstrat ohne Impulsübertrag. 24 KAPITEL III. THEORIE bedeutet dies: P0 → ρ2 P0 (4.24) . Aus der Impulserhaltung folgt, dass beliebige Teilchen bei Reflexion ihren Impuls doppelt übertragen, nämlich einmal, wenn sie als einfallende Teilchen auf den Spiegel treffen, und ein zweites Mal, wenn sie als reflektierte Teilchen den Spiegel verlassen. Dies gilt natürlich auch für die Photonen des reflektierten Lichtes, was bedeutet, dass sich nach Gl.(4.6) auch die Auslenkung verdoppelt. In Gl.(4.19) muss also folgende Anpassung vorgenommen werden: x(Ω) → 2x(Ω) . (4.25) Nun müssen noch alle am Spiegel einfallenden Felder berücksichtigt werden. Wenn alle Auslenkungen nach rechts als positiv definiert werden, dann verursachen Felder, die von links einfallen, eine positive Auslenkung, von rechts einfallende Felder jedoch eine negative Auslenkung der Spiegel. Somit ergibt sich eine Gesamtauslenkung von: q q 2ρ2 P1in ~ω0 2ρ2 P2in ~ω0 ′in x2F (Ω) = −2 d1 + 2 d2′in , (4.26) Ω 2 mc Ω 2 mc bzw: µ 2 in ¶ ρ K1 ′in ρ2 K2in ′in c d − d , (4.27) x2F (Ω) = − 2ω0 Λ1in 1 Λ2in 2 dabei sind K1in und K2in Kopplungskonstanten nach Gl.(4.21) mit P0 → P1in bzw. P0 → P2in . 4.1.3 Das Vier-Felder-Verfahren Wie oben beschrieben, basiert das Zwei-Felder-Verfahren auf Annahmen und nicht direkt auf physikalischen Gesetzen. Daher wird in aktuellen Veröffentlichungen [9], [7] oft ein alternatives Verfahren verwendet, das auf dem Gesetz f¯(2) f¯(1) f¯(3) f¯(4) x Abbildung 4.3: Felder an einem beliebigen Spiegel der Impulserhaltung basiert und somit eine exakte Beschreibung der Wirkung von Strahlungsdruck gewährleisten kann. Impulserhaltung bedeutet, dass die Summe aller eingehenden Impulse gleich der Summe aller ausgehenden Impulse ist. Bezogen auf Abbildung 4.3 gilt: p~in = p~(f¯(2) ) + p~(f¯(4) ) ∧ p~out = p~(f¯(1) ) + p~(f¯(3) ) + p~Spiegel (4.28) . (4.29) 4. RESONATOREN MIT STRAHLUNGSDRUCK Seite 25 Dabei bezeichnet p~(f¯(i) ) den Impuls des Feldes E(f¯(i) ). Da alle Impulse direkt in ±x-Richtung wirken, kann die vektorielle Schreibweise zu einer skalaren Schreibweise vereinfacht werden: pin = p(f¯(2) ) − p(f¯(4) ) ∧ pout = p(f¯(1) ) − p(f¯(3) ) + pSpiegel (4.30) . (4.31) Durch Gleichsetzen erhält man dann den Impuls, den der Spiegel aufnimmt: pSpiegel = p(f¯(2) ) + p(f¯(3) ) − p(f¯(1) ) − p(f¯(4) ) . (4.32) x4F = x(f¯(2) ) + x(f¯(3) ) − x(f¯(1) ) − x(f¯(4) ) , (4.33) Daraus folgt direkt die Gesamtauslenkung des Spiegels, da der Impuls p(Ω) im Fourierraum direkt proportional zur Auslenkung x(Ω) ist: bzw.: c x4F (Ω) = − 4ω0 à ! K0 (P (3) ) ′ K0 (P (1) ) ′ K0 (P (4) ) ′ K0 (P (2) ) ′ d2 + d3 − d1 − d4 . Λ(2) Λ(3) Λ(1) Λ(4) (4.34) An dieser Stelle ist es noch nicht möglich, einen absoluten Vergleich der beiden Verfahren zu zeigen, da der Unterschied nicht direkt an der Abweichung der Auslenkung x(Ω) abzulesen ist. Ob tatsächlich Unterschiede vorhanden sind, lässt sich erst an der Gestalt der verschiedenen Felder an einem Spiegel ablesen, da diese von der Auslenkung x(Ω) abhängt. Diese Eigenschaft wird in Abschnitt 4.4 gezeigt werden. 4.2 Berücksichtigung eines Signals Gravitationswellen strecken und stauchen periodisch den Raum. Wird der Raum, in dem sich ein Fabry-Perot-Resonator der optischen Länge L befindet, von einer Gravitationswelle durchdrungen, so dehnt sich der Raum zwischen den Spiegeln um 1 ∆x = hL . 2 (4.35) Diese Dehnung des Raumes kann für Rechnungen als Bewegung des Spiegels um dieselbe Strecke interpretiert werden. Somit ergibt sich die Auslenkung eines Spiegels durch: x(Ω) = x4F/2F (Ω) + ∆x . (4.36) Für den Fall, dass ein gesamtes Interferometer berechnet wird, muss beachtet werden, dass die Dehnung des Raumes nicht für alle Dimensionen 26 KAPITEL III. THEORIE gleichförmig geschieht. Eine sich in z-Richtung ausbreitende h+ polarisierte Welle staucht den Raum in x-Richtung genau dann, wenn sie den Raum in y-Richtung dehnt. Wenn also Nord- und Ostarm des Interferometers separat berechnet werden sollen, so sehen die Auslenkungen der Spiegel im Nordund Ostarm folgendermaßen aus: xN (Ω) = x4F/2F (Ω) + ∆x xE (Ω) = x4F/2F (Ω) − ∆x . (4.37) ⇔ Durch Berücksichtigung der Auslenkung ∆x durch ein Signal, entstehen Seitenbänder, die rechnerisch durch einen Quadraturamplitudenvektor s̄ berücksichtigt werden (vgl. Gl.(2.48)). 4.3 Berechnung von Eingangs-Ausgangs-Relationen Nachdem nun die Methoden zur Berechnung der Auslenkung und somit die exakte Position der Spiegel vorgestellt worden sind, wird nun skizziert, wie die Eingangs-Ausgangs-Relation eines optischen Resonators berechnet wird. Die Rechnungen verlaufen dabei analog zu denen in Abschnitt 3.2. Der einf¯in f¯(1) f¯(2) f¯out f¯(4) f¯(3) |x1 | f¯out′ |x2 | Abbildung 4.4: Ein Fabry-Perot-Resonator mit Strahlungsdruck. Die gestrichelten senkrechten Linien zeigen die Ruhepositionen der Spiegel an, die durchgezogenen senkrechten Linien zeigen dagegen die Positionen bei Auslenkung um |x1 | und |x2 |. zige Unterschied ist die Berücksichtigung der zusätzlichen Wegstrecke x(Ω) bei Reflexion, wobei auch hier das Signal vernachlässigt wird. Vor der Berechnung müssen zunächst die Felder an bestimmten Positionen im System definiert werden. Da die Spiegelposition schwankt, ist es wenig sinnvoll, die Felder anhand der tatsächlichen Spiegelposition festzulegen, wie es für den strahlungsdruckfreien Fall in Abschnitt 3.2 getan worden ist. Stattdessen werden die Felder grundsätzlich anhand der mittleren Spiegelposition erklärt, so dass die Definition der Felder für die Fälle mit und ohne Strahlungsdruck übereinstimmen. Zunächst kann der Zusammenhang zwischen den Quadraturamplitudenvektoren f¯3 und f¯2 bestimmt werden. Für den strahlungsdruckfreien Fall war f¯(3) einfach der reflektierte Anteil von f¯(2) also f¯(3) = ρ2 f¯(2) . Jetzt muss eine Propagation des Feldes jeweils vor und nach der Reflexion berücksichtigt werden. Unter Verwendung von Gl.(2.41) ergibt sich dann der Zusammenhang für die Quadraturamplitudenvektoren: f¯(3) = Px ρ2 Px f¯(2) = ρ2 P2x f¯(2) . (4.38) 2 2 2 4. RESONATOREN MIT STRAHLUNGSDRUCK Seite 27 Die Form einer Propagationsmatrix ist bereits bekannt (Gl.(2.39)): ! à ω0 l ω0 l ) − sin( ) cos( c c · b̄ =: Pl b̄ . ā = e(iΩl/c) sin( ωc0 l ) cos( ωc0 l ) Es kann angenommen werden, dass Auslenkungen, die durch Strahlungsdruck entstehen, klein sind: xn << 1, so dass folgende Vereinfachungen vorgenommen werden können: ¶ µ 2Ωxn n i 2Ωx e c =1+O i , (4.39) c õ ¶ ! 2ω0 xn 2ω0 xn 2 cos ( , (4.40) )=1+O c c õ ¶ ! 2ω0 xn 2ω0 xn 3 2ω0 xn )= +O . (4.41) sin ( c c c Offensichtlich wird die Exponentialfunktion nur bis 0. Ordnung in xi entwickelt, obwohl die trigonometrischen Funktionen bis einschließlich 1. Ordnung entwickelt werden. Der Grund dafür ist, dass nicht in xi entwickelt werden kann, sondern in 2Ωxi /c bzw. 2ωxi /c. Die Eigenschaft Ω << ω0 erklärt dann die Wahl der Ordnung bei der Reihenentwicklung. Mit diesem Wissen kann Gl.(4.38) umgeschrieben werden: à ! 2ω0 x2 1 − (3) c f¯ ≈ ρ2 2ω x f¯(2) . (4.42) 0 2 1 c Es ist bereits bekannt, dass jeder Summand in x(Ω) proportional zu einer Vakuumfluktuation d¯ ist, die jeweils eine im Verhältnis zu einem Träger Λ̄ sehr kleine Schwankung um Null ist. Jedes Produkt von Vakuumfluktuationen ist also Null zu setzen. Daraus ergibt sich unter Verwendung von Gl.(2.30): à à !! 2ω0 x2 0 − c f¯(3) ≈ ρ2 1l + 2ω x f¯(2) 0 2 0 ! ! à Ãc 2ω0 x2 0 − (2) (2) c Λ̄ . (4.43) ≈ ρ2 f¯ + 2ω x 0 2 0 c Weiterhin kann nach Abbildung 4.1 der Träger auch in folgender Form geschrieben werden: à ! Λ(i) (i) (i) Λ̄ := Rot[ϕ ] , (4.44) 0 so dass weiter umgeformt werden kann: à ! à !! à (2) 2ω x 0 −1 Λ 0 2 Rot[ϕ(2) ] f¯(3) ≈ ρ2 f¯(2) + c 1 0 0 . (4.45) 28 KAPITEL III. THEORIE Schließlich kann verwendet werden, dass die Matrix D eine Rotationsmatrix für eine Drehung um π ist und somit mit Rot[ϕ(2) ] kommutiert: à ! 0 −1 D := = Rot[π] ⇒ DRot[ϕ] = Rot[ϕ]D , (4.46) 1 0 somit ergibt sich: f¯(3) ≈ ρ2 à !! (2) 2ω x Λ 0 0 2 Rot[ϕ(2) ] f¯(2) + c 1 à (4.47) . Nun muss abschließend das Produkt x2 · Λ(2) betrachtet werden. Nach Gl.(4.27) und Gl.(4.34) ist jeder Summand proportional zu einer Vakuumfluktuation d¯i und umgekehrt proportional zum Betrag des Trägers Λi . Unter Verwendung der Identität s Pi Λi = (4.48) Λj Pj kann jeder Summand in x2 ·Λ(2) als proportional zu einer Vakuumfluktuation und unabhängig von Λ angesehen werden. Somit kann Gl.(4.47) aufgeteilt werden in Λ̄(3) ≈ ρ2 Λ̄(2) und à à !! (2) 2ω x Λ 0 0 2 (3) (2) (2) d¯ ≈ ρ2 d¯ + Rot[ϕ ] c 1 (4.49) . (4.50) Diese Rechnung kann analog für beliebige Ausgangsfelder an Spiegeln durchgeführt werden. Zusammenfassend zeigt sich damit, dass der Träger von Strahlungsdruck und auch von Signalen unbeeinflusst bleibt, wogegen die Vakuumfluktuationen bei jeder Reflexion an einem Spiegel einen Korrekturterm erhalten, der den Einfluss durch Signal und Strahlungsdruck berücksichtigt. Das bedeutet jedoch, dass Λ̄ unabhängig von d¯ berechnet werden kann. Für einen beliebigen Spiegel (mit Bezeichnungen nach Abbildung 4.3), der um x nach rechts ausgelenkt wird, ergeben sich die folgenden Beziehungen zwischen den Quadraturamplitudenvektoren: Λ̄(3) = τ Λ̄(4) + ρΛ̄(2) Λ̄ (1) ¯(3) d d¯(1) = τ Λ̄ (2) (4) − ρΛ̄ à , , à !! 2ω0 xΛ(2) 0 (2) = τd + ρ d + Rot[ϕ ] , c 1 à !! à (4) 2ω (−x)Λ 0 0 Rot[ϕ(4) ] = τ d¯(2) − ρ d¯(4) + c 1 ¯(4) ¯(2) . (4.51) 4. RESONATOREN MIT STRAHLUNGSDRUCK Seite 29 Für einen Fabry-Perot-Resonator müssen diese Gleichungen für zwei Spiegel aufgestellt werden und der Zusammenhang zwischen den Feldern f¯2 und f¯1 bzw. f¯4 und f¯3 über Propagation erklärt werden. Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, das nach den folgenden Beziehungen gelöst werden kann: d¯out = Rhod d¯in Λ̄out = RhoΛ Λ̄in (4.52) , , s̄out = s̄ h , (4.53) (4.54) wobei Rhod und RhoΛ Matrizen sind (vgl. Gl.(3.16)). 4.4 Vergleich zwischen Zwei- und Vier-Felder-Verfahren In den letzten Abschnitten wurde gezeigt, wie die Beziehung beliebiger Quadraturamplitudenvektoren in einem Spiegelsystem aufgestellt werden. Nun ist es prinzipiell auch möglich, einen absoluten Vergleich der beiden Verfahren zur Berechnung von Spiegelauslenkungen durch Strahlungsdruck anzugeben. Allerdings hängt ein Vergleich der Verfahren von der Topologie des Spiegelsystems ab und für jede Topologie müsste der Vergleich separat berechnet werden. Es ist somit nicht möglich, einen einzigen Vergleich für alle Topologien gleichzeitig durchzuführen. Aus diesem Grund wird hier lediglich ein Vergleich für einen Endspiegel vorgeführt. Für einen Endspiegel gehe ich davon aus, dass es nur ein einziges Eingangsfeld gibt und ich wähle dieses o.B.d.A. auf der linken Seite. Es könnte nun argumentiert werden, dass diese Annahme nur dann zutreffend ist, wenn der Endspiegel vollkommen reflektiv ist und ansonsten ein Vakuumfeld einkoppeln müsste. Dies ist zunächst natürlich korrekt. Allerdings gehe ich davon aus, dass bereits ein Vakuumfeld durch einen dunklen Interferometerausgang eingekoppelt ist. In Abschnitt 4.3 wurde bereits gezeigt, dass sich Träger und Vakuum vollkommen unabhängig voneinander berechnen lassen. Analoges gilt auch für alle weiteren Felder im System: weitere Vakuumfelder und Signale. Da also weitere Vakuumfelder unabhängig berechnet werden müssen, sind sie für die folgende Herleitung nicht von Bedeutung und werden daher vernachlässigt. 4.4.1 Die Felder an einem Endspiegel Die Vektoren werden weiterhin nach Abbildung 4.3 bezeichnet, wobei hier f¯(4) ≡ 0 gilt. Damit können für einen Endspiegel die folgenden Zusammen- 30 KAPITEL III. THEORIE hänge angegeben werden: Λ̄(1) = τ Λ̄(2) P (1) = τ 2 P (2) und ϕ(1) = ϕ(2) Λ̄(3) = ρΛ̄(2) ⇔ P (3) = ρ2 P (2) und (1) (2) ¯ d¯ = τ dà à !! (2) 2ω xΛ 0 0 d¯(3) = ρ d¯(2) + Rot[ϕ(2) ] . c 1 ϕ(3) = ϕ(2) ⇔ (4.55) Nun soll zunächst der Quadraturamplitudenvektor d¯(3) mit dem Zwei-FelderVerfahren berechnet werden, wofür x durch x2F aus Gl.(4.27) ersetzt wird: x2F −E c 2ω0 c = − 2ω0 = − ρ2 K0 (P (2) ) (2) ′ d Λ(2) ´ ρ2 K0 (P (2) ) ³ (2) (2) · 1 0 Rot[−ϕ ]d¯ Λ(2) · , (4.56) somit ergibt sich für d¯(3) : (3) d¯2F = = = = à à !! ´ 0 ρ d¯(2) − ρ2 K0 (P (2) ) 1 0 Rot[−ϕ(2) ]d¯(2) Rot[ϕ(2) ] 1 à ! à ! ³ ´ 0 (2) (2) ρ d¯(2) − ρ2 K0 (P (2) )Rot[ϕ(2) ] 1 0 Rot[−ϕ ]d¯ 1 à à ! ! 0 0 (2) (2) (2) (2) ρ d¯ + Rot[ϕ ] Rot[−ϕ ]d¯ −ρ2 K0 (P (2) ) 0 à ! 1 0 (2) ρ Rot[ϕ ] Rot[−ϕ(2) ] d¯(2) . (4.57) 2 (2) −ρ K0 (P ) 1 ³ Diese Gleichung gibt für das Zwei-Felder-Verfahren die vollständige Wirkung des Strahlungsdruckes an. Aus diesem Grund ist es nützlich, eine weitere Abkürzung einzuführen: die Strahlungsdruck-Matrix RPF(ϕ,P) RPF(ϕ, P ) := Rot[ϕ] à 1 ! 0 −K0 (P ) 1 Rot[−ϕ] . (4.58) Dadurch kann Gl.(4.57) vereinfacht werden: (3) d¯2F = ρ RPF(ϕ(2) , ρ2 P (2) ) d¯(2) . (4.59) 4. RESONATOREN MIT STRAHLUNGSDRUCK Seite 31 Nun kann obige Rechnung wiederholt und x durch x4F aus Gl.(4.34) ersetzt werden: à ! c K0 (P (2) ) (2) ′ K0 (P (3) ) (3) ′ K0 (P (1) ) (1) ′ x4F −E = − · d + d − d 4ω0 Λ(2) Λ(3) Λ(1) ´ K0 (P (2) ) ³ (2) ′ c (3) ′ 2 (2) ′ · d + ρd − τ d = − 4ω0 Λ(2) ´ c K0 (P (2) ) ³ 2 (2) ′ (3) ′ = − · ρ d + ρd . (4.60) 4ω0 Λ(2) Der erste Summand ist dabei offensichtlich gerade die Hälfte der Auslenkung, die oben aus dem Zwei-Felder-Verfahren berechnet wurde. Außerdem ginge Gl.(4.60) vollständig in Gl.(4.56) über, wenn d(3) = ρd(2) wäre. Dies ist jedoch nach Gl.(4.55) nicht der Fall. Daher muss noch die Form des Feldes d(3) bestimmt werden, damit ein Vergleich zu der Rechnung über das ZweiFelder-Verfahren möglich ist. à !! à ´ (2) ) ³ K (P 0 (3) 0 ρ2 d(2) ′ + ρd(3) ′ Rot[ϕ(2) ] (4.61) d¯4F = ρ d¯(2) − 2 1 Mit Hilfe von Gl.(4.57) und Gl.(4.59) lässt sich dies leicht umformen: à ! à ! 2 P (2) (2) ) ρ K (P 0 (3) 0 d¯4F = ρ RPF(ϕ(2) , ) d¯(2) + ρ2 − d(3) ′ Rot[ϕ(2) ] 2 2 1 ρ2 P (2) ¯(2) )d = ρ RPF(ϕ(2) , à 2 ! 0 0 (2) +Rot[ϕ ] −ρ2 K (P (2) ) Rot[−ϕ(3) ] d¯(3) 0 0 2 . Dies kann unter Verwendung von ϕ(3) = ϕ(2) aufgelöst werden: #−1 " 2 P (2) ρ2 P (2) ¯(2) ρ (3) (2) ) )d . · ρ RPF(ϕ(2) , d¯4F = RPF(ϕ , − 2 2 (4.62) (4.63) An dieser Stelle können jetzt die besonderen Eigenschaften von Strahlungsdruckmatrizen verwendet werden (vgl. Anhang A), so dass weiter umgeformt werden kann: ρ2 P (2) ρ2 P (2) ¯(2) (3) d¯4F = RPF(ϕ(2) , ) · ρ RPF(ϕ(2) , )d 2 2 = ρRPF(ϕ(2) , ρ2 P (2) ) d¯(2) (4.64) (3) = d¯ . (4.65) 2F Es ist somit gezeigt, dass für einen Endspiegel die Ergebnisse aus dem VierFelder-Verfahren identisch sind mit denen des Zwei-Felder-Verfahrens. Zur Optimierung der Laufzeit von Programmen empfiehlt es sich daher, an Endspiegeln das Zwei-Felder-Verfahren einzusetzen. 32 KAPITEL III. THEORIE 4.4.2 Eingangs-Ausgangs-Relation eines Fabry-Perot-Resonators Analog zur Berechnung der Felder an einem Endspiegel kann auch die Eingangs-Ausgangs-Relation eines Fabry-Perot-Resonators berechnet wer4 10 Ergebnis des Vier−Felder−Verfahrens Ergebnis des Zwei−Felder−Verfahrens Differenz 2 10 0 Rauschfunktion [r.E.] 10 −2 10 −4 10 −6 10 −8 10 −2 10 −1 10 0 1 10 10 2 10 3 10 Frequenz [Hz] Abbildung 4.5: Rauschfunktion eines Fabry-Perot-Resonators mit den Parametern aus Anhang B.3 berechnet durch das Vier-Felder-Verfahren (blau) sowie durch das Zwei-Felder-Verfahren (rot). In grün ist der Absolutbetrag der Differenz der blauen und roten Rauschkurve dargestellt. den. Dabei ergibt sich, dass diese Relation nur näherungsweise für die beiden Verfahren gleich sind. Abbildung 4.5 zeigt die Rauschfunktion berechnet durch das Vier-Felder-Verfahren (blau) und das Zwei-Felder-Verfahren(rot). Die gewählten Paramter sind in Anhang B.3 aufgelistet. In einem doppeltlogarithmischen Graphen liegen die beiden Kurven übereinander. Die Berechnung des Absolutbetrags der Differenz dieser Kurven (grün) zeigt jedoch, dass für kleine Frequenzen (< 1Hz) deutliche Abweichungen vorhanden sind. Diese Abweichungen liegen jedoch unterhalb von 2%. Im Detektionsband liegt diese Abweichung bei maximal 3 · 10−6 . Somit ist das Zwei-FelderVerfahren für einen Fabry-Perot-Resonator eine gute Nährerung, und kann zur Optimierung der Laufzeit der verwendeten Programme genutzt werden. Kapitel IV Ergebnisse 5 Vier-Spiegel-Resonatoren In diesem Abschnitt werden die Ergebnisse der Untersuchung von VierSpiegel-Resonatoren vorgestellt. Dabei wird zwischen zwei Typen von Resonatoren unterschieden: lineare und gefaltete. Linear bedeutet hier, dass alle Spiegel des Resonators auf einer Geraden angebracht sind (vgl. Abbildung 5.2). Somit wird die Bezeichnung „linearer Resonator“ hier nicht als Gegensatz zu „Ringresonatoren“ verwendet. Ein Resonator heißt gefaltet, wenn die geometrische Länge durch Umlenkspiegel reduziert wird (vgl. Abbildung 5.4). Für alle Berechnungen wird angenommen, dass ein vollständig reflektierender Endspiegel vorliegt, so dass Vakuumsfluktuationen nur auf derselben Seite wie das Trägerfeld einkoppeln. Zur Berechnung der Spiegelauslenkung wird für die ersten drei Spiegel das Vier-Felder-Verfahren verwendet, für den letzten Spiegel das Zwei-Felder-Verfahren. 5.1 Wahl der Parameter Unter der Annahme, dass der Endspiegel eine Reflektivität von 1 besitzt und für den Resonator der übliche Nd:Yag-Laser mit einer Wellenlänge von 1064 nm verwendet werden soll, gibt es 14 freie Parameter: • 3 Reflektivitäten ρi der Spiegel, • 3 Verstimmungswinkel ψi der drei Resonatoren, • 3 makroskopische Längen Li der Resonatoren, • 4 Spiegelmassen mi , • 1 Eingangsleistung Pin . Für eine Abschätzung der Sensitivität des 4-Spiegel-Resonators sollen alle Ergebnisse mit der Sensitivität von GEO 600 verglichen werden. Aus diesem Grund ist es sinnvoll, auch vergleichbare Parameter zu wählen. Daher 33 34 KAPITEL IV. ERGEBNISSE werden für die hier vorgestellten Resultate alle Spiegelmassen auf denselben Wert (5,6 kg) wie bei GEO 600 gesetzt. Die Länge der gefalteten Arme bei GEO 600 beträgt 1200 m, daher werden die Längen des Vier-SpiegelResonators auf zweimal 600 m und einmal 10 m festgelegt. Somit haben alle hier gezeigten Vier-Spiegel-Resonatoren die folgenden Parameter: Parameter Symbol Wert Reflektivität des 4. Spiegels ρ4 1 Reflektivität der Spiegel 1 bis 3 ρ1 , ρ2 , ρ3 variabel Verstimmungswinkel der drei Resonatoren ψ1 , ψ2 , ψ3 variabel Makroskopische Länge des 1. Resonators L1 600 m Makroskopische Länge des 2. Resonators L2 10 m Makroskopische Länge des 3. Resonators L3 600 m Massen der Spiegel 1 bis 4 mi 5,6 kg Eingangsleistung Pin variabel Frequenz des Lasers ω0 1,77 · 1015 Hz Somit bleiben noch sieben freie Parameter, die zur Optimierung des Systems verwendet werden können. 5.1.1 Numerische Bestimmung des Standardquantenlimits Das Standardquantenlimit ist die Größe, mit der heute die lineare spektrale Rauschdichte jedes Interferometers verglichen wird. Sie kennzeichnet die minimal erreichbare lineare spektrale Rauschdichte, wenn Schrotrauschen und Strahlungsdruckrauschen unkorreliert sind. Das bedeutet, dass sie nur dann unterschritten werden kann, wenn zum Beispiel durch Ponderomotives Quetschen („ponderomotive squeezing“) eine Korrelation zwischen Schrotrauschen und Strahlungsdruckrauschen entsteht. Das Standardquantenlimit ist jedoch für jeden Detektor unterschiedlich und die analytische Berechnung gestaltet sich als schwierig. Für einen Vier-Spiegel-Resonator bzw. seine Erweiterung auf GEO 600 mit Vier-Spiegel-Armresonatoren (vgl. Abschnitt 6.2) ist das Standardquantenlimit bisher nicht bekannt. Numerisch kann dagegen das Standardquantenlimit auf einem einfachen Wege gewonnen werden: Werden alle Verstimmungswinkel des Resonators auf 0◦ gesetzt und die Eingangsleistung variiert, so verschiebt sich die lineare spektrale Rauschdichte entlang des Standardquantenlimits (vgl. Abbildung 5.1). Daraus ergibt sich für den in dieser Arbeit verwendeten Vier-Spiegel-Resonator das folgende Standardquantenlimit: SQL(4mc) = 3, 224 · 10−21 f −1 . (5.1) 5. VIER-SPIEGEL-RESONATOREN Seite 35 −15 10 50 W 500 W 5000 W SQL des 4mc SQL von GEO 600 −16 lineare spektrale Rauschdichte [1 / √Hz] 10 −17 10 −18 10 −19 10 −20 10 −21 10 −22 10 −23 10 −24 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 Frequenz [Hz] Abbildung 5.1: Lineare spektrale Rauschdichte eines nicht verstimmten VierSpiegel-Resonators bei Variation der Eingangsleistung. Aus diesen Kurven lässt sich das Standard-Quanten-Limit des Vier-Spiegel-Resonators bestimmen. Wird auf dieselbe Art und Weise das Standardquantenlimit von GEO 600 mit Vier-Spiegel-Armresonator bestimmt, so ergibt sich erneut das Standardquantenlimit des Vier-Spiegel-Resonators. Dies liegt an der Tatsache, dass das Quantenrauschen erhalten bleibt, wenn ein Resonator auf ein Interferometer mit Armresonatoren erweitert wird (vgl. Abschnitt 6.1). Dieses numerisch berechnete Standardquantenlimit eines Vier-SpiegelResonators kann nun verglichen werden mit dem Standardquantenlimit von GEO 600. Nach Harms [10] ist das Standardquantenlimit von GEO 600 gegeben durch: r 20~ SQL(GEO 600) = , (5.2) mΩ 2 L2 wobei hier ein unendlich massiver Strahlteiler angenommen wird. Diese Wahl ist hier vorteilhaft, da auch bei der Erweiterung des Vier-Spiegel-Resonators auf GEO 600 mit Vier-Spiegel-Armresonatoren angenommen wird, dass der Strahlteiler massiv ist und dadurch keine Auslenkung durch Strahlungsdruck erfährt. Wird nun Gl.(5.2) für die Parameter aus Anhang B.1 ausgewertet, so ergibt 36 KAPITEL IV. ERGEBNISSE sich für das Standardquantenlimit von GEO 600: SQL(GEO 600) = 2, 57 · 10−21 . (5.3) Dadurch ergibt sich ein Verhältnis der Standardquantenlimits zu: 4 SQL(GEO 600) = 0, 798 ≈ SQL(4mc) 5 5.1.2 (5.4) Leistungen in den einzelnen Resonatoren Mit Hilfe der sieben freien Parameter (Eingansleistung, drei Verstimmungswinkel und drei Reflektivitäten) wird die Leistung in jedem einzelnen der drei Resonatoren eines Vier-Spiegel-Resonators variiert. Dabei sollten die Parameter so gewählt werden, dass der mittlere Resonator nur geringe Leistungen speichert. Der Grund dafür liegt im Aufbau des Vier-Spiegel-Resonators: Ein Fabry-Perot-Resonator wird üblicherweise so aufgebaut, dass die Spiegelseiten mit der hochreflektierenden (HR-) Beschichtung nach innen zeigen. Die Abbildung 5.2: Skizzierter Aufbau eines linearen Vier-Spiegel-Resonators. Es wird gezeigt, wie das Laserlicht im ersten und dritten Resonator an der HRBeschichtung reflektiert wird und somit das Spiegelsubstrat bei Reflexion nicht durchdringt. Dagegen muss im mittleren Resonator das Laserlicht durch das Substrat transmittieren, bevor es an der HR-Beschichtung reflektiert wird. Aus diesem Grund werden die Reflektivitäten der Spiegel so gewählt, dass nur in den äußeren Resonatoren hohe Leistungen gespeichert werden. hohe Leistung, die sich dann in dem Resonator aufbaut, wird beim Auftreffen auf den Spiegel direkt an der Spiegeloberfläche reflektiert und muss das Substrat nicht durchqueren. Werden nun zwei Fabry-Perot-Resonatoren hintereinander gestellt, so entsteht ein Vier-Spiegel-Resonator, dessen hochreflektierende Beschichtungen aus Sicht des mittleren Resonators nach außen zeigen (vgl. Abbildung 5.2). Zirkuliert in diesem Resonator Licht mit hoher Intensität, so muss dieses vor der Reflexion erst das Spiegelsubstrat durchqueren. Dabei wird Licht absorbiert und das Substrat heizt sich auf. Dies hat zur Folge, dass sich der Brechungsindex des Spiegels ändert. Dieser Effekt wird auch thermische Linse genannt.[18][21] Zur Vermeidung dieses Effektes sollte der mittlere Resonator eine möglichst geringe Leistung speichern. Wenn die Leistung des Resonators jedoch gering 5. VIER-SPIEGEL-RESONATOREN Seite 37 ist, nimmt er auch effektiv kein Signal auf. Aus diesem Grund kann die Länge L2 klein gewählt werden. 5.1.3 Ein linearer Vier-Spiegel-Resonator bei Variation der Eingangsleistung Abbildung 5.3 zeigt die lineare spektrale Rauschdichte eines linearen VierSpiegel-Resonators bei Variation der Eingangsleistung. Es wurde dabei mit einem Homodyn-Winkel von 90◦ gearbeitet und somit die Phasenquadratur des transferierten Quadraturamplitudenvektors ausgelesen. Die Wahl der freien Parameter ist in Anhang B.2 angegeben. Für diese Parameter −15 10 SQL für GEO 600 SQL des 4mc GEO 600 4mc: 10 Watt 4mc: 125 Watt 4mc: 1000 Watt −16 lineare spektrale Rauschdichte [1 / √Hz] 10 −17 10 −18 10 −19 10 −20 10 −21 10 −22 10 −23 10 −24 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 Frequenz [Hz] Abbildung 5.3: Lineare spektrale Rauschdichte eines linearen Vier-SpiegelResonators (4mc) bei Variation der Eingangsleistung, dargestellt im Vergleich zu GEO 600 und den Standardquantenlimits (SQL) beider Topologien. ergibt sich für den ersten Resonator eine Leistungsüberhöhung von einem Faktor 300. Bereits bei einer Eingangsleistung von ca. 20 W speichert dieser Resonator ca. 6 kW, was der Leistung in den Armen von GEO 600 entspricht. Für den dritten Resonator existiert eine Leistungsüberhöhung um ca. das 630 fache der Eingangsleistung. Dieser Resonator speichert also 6 kW, wenn lediglich eine Eingangsleistung von 9,5 W vorliegt. Abbildung 5.3 zeigt, wie sich die Sensitivitätskurven des Vier-Spiegel-Resonators bei Erhöhung der Eingangsleistung entlang des Standardquantenlimits (SQL) verschieben. 38 KAPITEL IV. ERGEBNISSE Abbildung 5.4: Aufbau eines gefalteten Vier-Spiegel-Resonators. Zum Falten des Resonators werden zwei Umlenkspiegel benötigt, die im mittleren Resonator untergebracht werden. Weiterhin wird in Abbildung 5.3 ersichtlich, dass trotz einer geringen Eingangsleistung von 10 W im Frequenzband oberhalb von 1 kHz die Sensitivität von GEO 600 erreicht, und für den Frequenzbereich unter 50 Hz sogar übertroffen werden kann. Wird die Eingangsleistung auf 125 W erhöht, so kann die Sensitivität im Detektionsband (Frequenzbereich zwischen ca. 10 Hz und 10 kHz) optimiert werden. Für diese Eingangsleistung erreicht der Vier-Spiegel-Resonator außer in dem Frequenzband zwischen 30 Hz und 200 Hz überall eine höhere Sensitivität als GEO 600. Für Frequenzen über 1 kHz ergibt sich eine Optimierung um Faktor 3,6 gegenüber GEO 600 und den Vier-Spiegel-Resonator mit 10 W Eingangsleistung. Wird die Eingangsleistung weiter erhöht, so ergibt sich zum Beispiel für 1 kW Eingangsleistung eine Verbesserung der Sensitivität für hohe Frequenzen um einen Faktor 10,2 gegenüber GEO 600. Dabei ist jedoch die Sensitivität im Detektionsband nahezu überall schlechter als bei GEO 600. Aus diesem Grund wird für alle weiteren Vergleiche die Eingangsleistung des Vier-Spiegel-Resonators auf 125 W festgelegt. Für GEO 600 ist jedoch eine solche Erhöhung der Eingangsleistung auf 125 W wegen der hohen Leistung auf dem Strahlteiler nicht möglich. 5.2 5.2.1 Lineare und gefaltete Vier-Spiegel-Resonatoren Aufbau eines gefalteten Vier-Spiegel-Resonators Da die Leistung in dem mittleren Resonator gering ist, kann davon ausgegangen werden, dass ein Umlenkspiegel, der an einer beliebigen Stelle in den mittleren Resonator gestellt wird, keine nennenswerte Auslenkung durch Strahlungsdruck erfährt. Die lineare spektrale Rauschdichte ist also unabhängig von der Anzahl der Umlenkspiegel im mittleren Resonator. Wenn nun eine Faltung des Resonators ähnlich der gefalteten Arme von GEO 600 erreicht werden soll, muss der Winkel α zwischen dem einfallenden und reflektierten Licht des Umlenkspiegels sehr klein sein (bei GEO 600 ist α = 0.004 5. VIER-SPIEGEL-RESONATOREN Seite 39 rd ≈ 0, 2◦ ) [10]. Bei einem derart kleinen Winkel kann angenommen werden, dass der erste Resonator parallel zum dritten Resonator liegt. Der Durchmesser eines Spiegels bei GEO 600 beträgt jedoch 18 cm. Daher ist es notwendig, einen zweiten Umlenkspiegel zu verwenden, um die Strahlen räumlich ausreichend trennen zu können. Die Form eines gefalteten Vier-Spiegel-Resonators wird in Abbildung 5.4 gezeigt. 5.2.2 Das Signal in einem linearen Vier-Spiegel-Resonator In einem linearen Resonator wird eine Gravitationswelle durch eine zusätzliche Auslenkung jedes Spiegels um ∆xi = hLges berücksichtigt, wobei Lges die Position bezüglich des ersten Spiegels angibt. Für die einzelnen Spiegel eines linearen Vier-Spiegel-Resonators ergibt sich somit: ∆x1 = 0 , L1 h ∆x2 = , 2 (L1 + L2 )h L1 h ∆x3 = ≈ , 2 2 (L1 + L2 + L3 )h L1 h ∆x4 = ≈ 2 2 (5.5) . Somit dehnen sich der erste und dritte Resonator jeweils um die Länge des zweiten Resonators unverändert bleibt. 5.2.3 L1 h 2 , während Das Signal in einem gefalteten Vier-Spiegel-Resonator Für einen gefalteten Resonator können zunächst die zusätzlichen Auslenkungen analog zu denen des linearen Resonators aufgestellt werden: ∆x1 = 0 , ∆xU 2 L1 h , 2 L1 h , ∆x4 = 0 , 2 (L1 + LU 1 )h L1 h = ≈ , 2 2 (L1 + LU 1 )h L1 h = ≈ , 2 2 ∆x2 = ∆xU 1 ∆x3 = (5.6) dabei bezeichnet LU 1 die Strecke zwischen dem zweiten Spiegel und dem ersten Umlenkspiegel. Nach Gl.(5.6) dehnen sich der erste und dritte Resonator um L21 h , der 2. Resonator erfährt jedoch keine Streckung. Dieses Verhalten ist identisch mit dem eines linearen Vier-Spiegel-Resonators. 40 5.2.4 KAPITEL IV. ERGEBNISSE Vergleich zwischen linearen und gefalteten Vier-SpiegelResonatoren Wenn die Leistung im zweiten Resonator so gering ist, dass Strahlungsdruck in diesem Resonator vernachlässigt werden kann, dann ist nach Abschnitt 5.2.1 die Transferfunktion des Quantenrauschens invariant unter Falten des Resonators. Weiterhin ist dann auch nach Abschnitt 5.2.2 und Abschnitt 5.2.3 das Signal invariant unter Falten des Resonators. Somit ist das Verhalten eines gefalteten Vier-Spiegel-Resonators identisch mit dem eines linearen Vier-Spiegel-Resonators. Es muss also im folgenden nicht mehr unterschieden werden, ob ein linearer oder gefalteter Vier-Spiegel-Resonator untersucht wird. 5.3 Optomechanische Resonanz In Abschnitt 4.1.1 wurde gezeigt, wie Strahlungsdruck eine frequenzabhängige Auslenkung der Spiegel verursacht. Die Auslenkung eines Spiegels ist identisch mit einer Verstimmung des Resonators. Abhängig von der Verstimmung ändert sich die im Resonator gespeicherte Leistung, wodurch sich der Strahlungsdruck ändert. Es kann somit gesagt werden, dass die Änderung der Position eines Spiegels den Strahlungsdruck auf beide Spiegel ändert und somit die Position beider Spiegel beeinflusst. Durch Strahlungsdruck entsteht so eine Kopplung beider Spiegel, die so genannte optomechanische Kopplung. Anschaulich wirkt der Strahlungsdruck wie eine Feder, die die Testmassen verbindet. Deshalb wird auch von dem Effekt der „optischen Feder“ gesprochen. Wird ein Resonator, dessen Spiegel durch eine optische Feder verbunden sind, mit einer Frequenz nahe der Eigenfrequenz angeregt, so kommt es zu einer optomechanischen Resonanz, die sich als schmalbandige Erhöhung der Empfindlichkeit bei einer bestimmten Frequenz zeigen kann (vgl. Abbildungen 5.5, 5.6 und 5.7). Es ist möglich, diese Eigenfrequenz des gekoppelten Spiegelsystems analytisch zu bestimmen. 5.3.1 Analytische Berechnung optomechanischer Resonanzen Da Strahlungsdruck die Spiegel wie eine Feder koppelt, folgt der Ansatz zur Berechnung der optomechanischen Resonanzen aus dem Hookeschen Gesetz: F (t) = −κ δx(t) ⇔ ẍ(t) = −ωe2 δx(t) . (5.7) Dabei bezeichnet κ die Federkonstante, ωe die Eigenfrequenz des Oszillators und δx(t) die Auslenkung der Masse gegen seine Ruheposition x0 . Für einen Vier-Spiegel-Resonator können die folgenden Zusammenhänge zwischen den Verstimmungswinkeln Ψi und den Spiegelpositionen xi = x0i + δxi 5. VIER-SPIEGEL-RESONATOREN aufgestellt werden: ω0 (x2 − x1 ) , Ψ1 = c bzw. Seite 41 ω0 ω0 (x3 − x2 ) , Ψ3 = (x4 − x3 ) c c ω0 (xi+1 − xi ) . Ψi = c Die Beschleunigung ẍi kann ersetzt werden durch Ψ2 = (5.8) (5.9) 2Pi − 2Pi+1 , (5.10) mc wobei der Faktor 2 vor den Leistungen aus Impulserhaltung am Spiegel folgt. Dabei wurde jedoch angenommen, dass die Leistungen der hin- und rücklaufenden Felder auf jeder Spiegelseite gleich sind. Im nächsten Schritt werden die Leistungen Pi durch den Term 1. Ordnung ihrer Taylorentwicklung ersetzt: X 2dPi δxj . (5.11) Pi → dxj ẍi = j Der Term 0. Ordnung wurde bei dieser Reihenentwicklung vernachlässigt, da dieser Term konstant ist (vgl. Argumentation in Abschnitt 4.1.1). Schließlich werden noch die Ableitungen nach den Auslenkungen xj substituiert durch die Verstimmungswinkel Ψj : dΨj d ∂ dΨj = =: ∂j dxj ∂Ψj dxj dxj (5.12) . Daraus ergibt sich mit Hilfe von Gl.(5.7) für einen Vier-Spiegel-Resonator die folgende Eigenwertgleichung: δx1 δx2 (B + ωe2 ) (5.13) =0 . δx 3 δx4 Dabei steht B für die Matrix: ∂1 P2 −(∂1 − ∂2 )P2 −(∂2 − ∂3 )P2 −∂3 P2 − − − − 2ω0 −∂1 P23 (∂1 − ∂2 )P23 (∂2 − ∂3 )P23 ∂3 P23 B := · − − − − mc2 −∂1 P34 (∂1 − ∂2 )P34 (∂2 − ∂3 )P34 ∂3 P34 −∂1 P4 (∂1 − ∂2 )P4 (∂2 − ∂3 )P4 (5.14) ∂3 P4 und es wurde die folgende Kurzschreibweise verwendet: Pij− := Pi − Pj . (5.15) Zur Berechnung der Eigenfrequenzen ωe müssen somit die Leistungen Pi als Funktion der Verstimmungswinkel Ψi berechnet werden und anschließend Gl.(5.13) nach ωe2 aufgelöst werden. Aus den vier Lösungen für ωe2 ergeben sich wiederum vier Lösungen für ωe = 2πfe . 42 5.3.2 KAPITEL IV. ERGEBNISSE Resultate zu optomechanischen Resonanzen eines VierSpiegel-Resonators Die Berechnung der optomechanischen Resonanzen für den Vier-SpiegelResonator aus Abschnitt 5.1.3 mit den Werten aus Anhang B.2 und einer Eingangsleistung von 125 W ergibt: fe0 = 0 Hz , fe1 = 0,07 Hz , fe2 = 65,58 Hz , fe3 = 583,89 Hz . (5.16) Die vierte berechnete Resonanzfrequenz liegt mit über 500 Hz im Frequenzband der optischen Resonanzen von Resonatoren. In diesem Frequenzband bilden sich daher keine Extrema durch optomechanische Resonanzen aus. Dies wird in Abschnitt 5.3.3 gezeigt. Doch auch für fe1 und fe2 liegt nicht zwangsweise in der linearen spektralen Rauschdichte ein Extremum vor. Aus diesem Grund sollten zunächst die Signal- und Rauschfunktionen unabhängig voneinander untersucht werden. In Abbildung 5.5 ist die Signalfunktion dargestellt für verschiedene Homodyn-Winkel. Es zeigt sich dabei, dass das Signal für jeden dargestellten Homodyn-Winkel genau bei den Resonanzfrequenzen ein Maximum aufweist. Um ein minimales Rausch-zu-Signal-Verhältnis zu erhalten, kann der Homodyn-Winkel bestimmt werden, bei dem das Signal bei einer Resonanzfrequenz maximal wird. Dieser Winkel beträgt hier 147,83◦ ±0,01◦ , wobei die Fehlerabschätzung durch die Schrittweite in der numerischen Berechnung entstanden ist. Das minimale Signal liegt somit bei einem Winkel von 57,83◦ ±0, 01◦ vor. Damit eine gleichmäßige Variation des Signals in Abbildung 5.5 dargestellt werden konnte, wurde der Homodyn-Winkel mit Hilfe der folgenden Formel variiert: ζi = 57,74◦ + π 2 · 10i . (5.17) Der Winkel 57,74◦ wurde wegen der Vergleichbarkeit zu den Kurven des Quantenrauschens gewählt. Nachdem das Signal maximiert wurde, kann nun das Quantenrauschen optimiert werden. Für eine maximale Sensitivität des Detektors sollte das Rauschen minimiert werden. Der Homodyn-Winkel mit minimalem Rauschen ist 57,74◦ ±0, 01◦ . Bei diesem Winkel ist jedoch das Signal ebenfalls nahezu minimal. Abbildung 5.6 zeigt in erster Linie, dass das Quantenrauschen ponderomotiv gequetscht („ponderomotive squeezing“) ist. Weiterhin zeigt diese Abbildung, dass das Verhalten des Rauschens bei den Resonanzfrequenzen vom Verhalten des Signals abweicht. Es existieren nicht nur Maxima bei den 5. VIER-SPIEGEL-RESONATOREN Seite 43 24 10 23 10 22 10 Signalfunktion [ √Hz] 21 10 20 10 19 10 18 10 17 10 i=0: i=1: i=2: i=3: i=4: i=5: i=6: 16 10 15 10 147.745° 66.745° 58.645° 57.835° 57.754° 57.746° 57.745° 14 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 Frequenz [Hz] Abbildung 5.5: Verhalten der Signalfunktion bei Variation des Homodyn-Winkels ζ. Die optomechanischen Resonanzfrequenzen, die durch das in Abschnitt 5.3.1 vorgestellte Verfahren berechneten wurden, werden durch die senkrechten gestrichelten Linien gekennzeichnet. Resonanzfrequenzen, sondern ebenso Minima (schwarze Kurve) und Wendepunkte (grüne Kurve). Wird nun schließlich die lineare spektrale Rauschdichte bei Variation des Homodyn-Winkels dargestellt (Abbildung 5.7), so zeigt sich, dass auch hier die Wahl des Homodyn-Winkels entscheidend für das Verhalten der Kurven bei den Resonanzfrequenzen ist. Es existieren Winkel, bei denen die lineare spektrale Rauschdichte gerade bei den Resonanzfrequenzen Minima aufweist. Diese Winkel liegen jedoch in einem sehr engen Winkelbereich: 57,745◦ ± 1◦ und leichte Variationen von 0,01◦ können die lineare Spektrale Rauschdichte bereits stark verschieben (gelbe und rosa Kurve im niederen Frequenzbereich), so dass die Sensitivität des Detektors stark abnimmt. Wird ein Homodyn-Winkel außerhalb von 57,745◦ ± 1◦ gewählt, so liegt bei den Resonanzfrequenzen kein Minimum mehr vor (Kurven in lila und grün). Dennoch ist die lineare spektrale Rauschdichte in weiten Frequenzbereichen dadurch geringer. Somit ist eine Optimierung des Homodyn-Winkels für die Resonanzfrequenzen nicht zwangsweise vorteilhaft. Es kann dadurch zwar schmalbandig Sensitivität gewonnen werden, doch geschieht dies auf Kosten der Empfindlichkeit in allen anderen Frequenzbereichen. 44 KAPITEL IV. ERGEBNISSE 5 10 i=0: i=1: i=2: i=3: i=4: i=5: i=6: 4 10 147.745° 66.745° 58.645° 57.835° 57.754° 57.746° 57.745° 3 Rauschfunktion [r.E.] 10 2 10 1 10 0 10 −1 10 −2 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 Frequenz [Hz] Abbildung 5.6: Verhalten der numerisch berechneten Rauschfunktion bei Variation des Homodyn-Winkels. Die durchbrochenen senkrechten Linien zeigen die analytisch berechneten optomechanischen Resonanzfrequenzen. 5.3.3 Ein Vier-Spiegel-Resonator bei Variation der Spiegelmassen Im letzten Abschnitt wurde gezeigt, wie die optomechanischen Resonanzen berechnet werden können und dass für die Signalfunktion sowie für die Rauschfunktion exakt bei diesen Frequenzen Extrema vorliegen. Die optischen Resonanzen können nun dadurch bestimmt werden, dass der Strahlungsdruck in den Berechnungen vernachlässigt wird. Da nach Gl.(4.23) jede Spiegelauslenkung direkt proportional zur Masse des Spiegels ist, kann durch Erhöhung der Spiegelmasse die Auswirkung des Strahlungsdruckes reduziert werden. Wird schließlich angenommen, dass die Masse der Spiegel unendlich sei, so existiert im System kein Strahlungsdruck mehr und es können keine optomechanischen Resonanzen mehr auftreten. Abbildung 5.8 zeigt nun die lineare spektrale Rauschdichte eines Vier-Spiegel-Resonators mit 125 W Eingangsleisung und einem Homodyn-Winkel von 90◦ (weiter Parameter vgl. Anhang B.2). Die schwarze Kurve zeigt die lineare spektrale Rauschdichte des Resonators bei unendlich hohen Spiegelmassen und somit bei Vernachlässigung des Strahlungsdruckes. Diese Kurve weist zwei Minima auf, die durch die optischen Resonanzen der zwei äußeren Resonatoren entstehen. Die dritte optische Resonanz des Vier-Spiegel-Resonators befindet sich auf 5. VIER-SPIEGEL-RESONATOREN Seite 45 i=0: i=1: i=2: i=3: i=4: i=5: i=6: −14 lineare spektrale Rauschdichte [1 / √Hz] 10 −16 10 147.745° 66.745° 58.645° 57.835° 57.754° 57.746° 57.745° −18 10 −20 10 −22 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 Frequenz [Hz] Abbildung 5.7: Lineare spektrale Rauschdichte bei Variation des HomodynWinkels. Die berechneten optomechanischen Resonanzfrequenzen werden durch die senkrechten getrichelten Linien gekennzeichnet. Grund der geringen Ausdehnung des Resonators von 10m und der gewählten Verstimmung von π/2 (Antiresonanz) bei ca. 15 MHz und somit weit außerhalb des dargestellten Bereichs. Die farbigen Kurven zeigen nun, wie sich die lineare spektrale Rauschdichte verändert, wenn die Wirkung des Strahlungsdrucks berücksichtigt wird. Dazu wird die Masse der Spiegel langsam von unendlich reduziert. Bei allen gezeigten Kurven ist die Lage der optischen Resonanz gleich, sie wird durch Variation der Spiegelmassen nicht beeinflusst. Doch bereits bei Spiegelmassen von 50 kt weicht die Kurve im niederen Frequenzbereich deutlich von der strahlungsdruckfreien Kurve ab und optomechanische Resonanzen treten auf. Für die drei gewählten Spiegelmassen von 50 kt, 5 kt und 500 t wurde die jeweils größte optomechanische Resonanzfrequenz durch die farbigen senkrechten Linien in Abbildung 5.8 gekennzeichnet. Die Werte aller Resonanzen können Anhang B.4 entnommen werden. Obwohl es sich hier um denselben Vier-Spiegel-Resonator wie im letzten Abschnitt handelt, bei dem gerade diese Frequenz nie ein Extremum in der linearen spektralen Rauschdichte aufwies, ist dies hier nicht der Fall. Exakt bei der berechneten Resonanzfrequenz befindet sich nun ein Minimum in der linearen Spektralen Rauschdichte, so dass der Detektor bei der Resonanzfrequenz ein Maximum 46 KAPITEL IV. ERGEBNISSE −17 10 m = 500 t m = 5 kt m = 50kt m −> unendlich −18 lineare spektrale Rauschdichte [1 / √Hz] 10 −19 10 −20 10 −21 10 −22 10 −23 10 −24 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequenz [Hz] Abbildung 5.8: Ein Vier-Spiegel-Resonator bei Variation der Spiegelmassen (I). Die schwarzen senkrechten gestrichelten Linien zeigen die optischen Resonzen des Resonators an. Diese Resonanzen sind für alle dargestellten Massen gleich. Die farbigen senkrechten gestrichelten Linien zeigen die berechneten optomechanischen Resonanzen an. Für die unterschiedlichen Massen sind offensichtlich auch die Resonanzfrequenzen unterschiedlich. in der Sensitivität aufweist. Abbildung 5.9 zeigt, was bei einer weiteren Verringerung der Spiegelmasse geschieht. Der Abstand zwischen der höchsten optomechanischen und der tiefsten optischen Resonanz wird so gering, dass es zu einer Wechselwirkung kommt. Beide Resonanzen beginnen, sich aufeinander zu zu bewegen. Dabei weicht auch die optomechanische Resonanz von dem jeweils berechneten Wert ab. Bei einer Spiegelmasse von 50 t beginnen die Resonanzen zu verschmelzen. Wird nun die Masse weiter reduziert, so zeigt Abbildung 5.10, dass sich die Resonanzen nicht wieder trennen. Sie bleiben verschmolzen und verschieben sich gemeinsam zu höheren Frequenzen. Bei einer Masse von 5,6 kg ergibt sich schließlich die bereits bekannte lineare spektrale Rauschdichte, wie sie schon in Abbildung 5.3 gezeigt wurde. Doch ist auch die Bedeutung des Minimums und des „Knicks“ bei ca. 200 Hz deutlich. Gerade bei 5,6 kg trifft die verschmolzene optisch-optomechanische Resonanz auf die zweite optische Resonanz und sie beginnen ebenfalls zu verschmelzen. Wie in Abbildung 5.9 gezeigt wurde, lässt sich diese verschmolzene Resonanz nun 5. VIER-SPIEGEL-RESONATOREN Seite 47 m −> unendlich m = 100 t m = 75 t m = 50t −22 lineare spektrale Rauschdichte [1 / √Hz] 10 −23 10 −24 10 0 1 10 10 Frequenz [Hz] Abbildung 5.9: Ein Vier-Spiegel-Resonator bei Variation der Spiegelmassen (II). Wird die Masse der Spiegel weiter reduziert, so bewegen sich optische und optomechanische Resonanzen aufeinander zu (rote und blaue Kurve), bis sie schließlich verschmelzen (grüne Kurve). nicht mehr durch das in Abschnitt 5.3.1 gezeigte Verfahren berechnen. Dies erklärt, warum im letzten Abschnitt bei der berechneten Resonanzfrequenz von fe3 = 583,89 Hz weder in der linearen spektralen Rauschdichte noch in der Signal- oder Rauschfunktion ein Extremum zu finden ist. Abschließend kann noch die Genauigkeit der Berechnung der linearen spektralen Rauschdichte ohne Berücksichtigung von Strahlungsdruck betrachtet werden. Alle Kurven sind wie erwartet für hohe Frequenzen identisch (vgl. Abschnitt 4.1.1). Somit kann für hohe Frequenzen (im schrotrauschlimitierten Frequenzbereich) Strahlungsdruck vernachlässigt werden, was die Berechnung der linearen spektralen Rauschdichte deutlich vereinfacht. Doch der Punkt, ab dem die exakt berechnete Kurve von der strahlungsdruckfreien abweicht, ist natürlich von der gewählten Spiegelmasse des Interferometers abhängig. Soll also die lineare spektrale Rauschdichte eines Interferometers berechnet werden, das wie GEO 600 Spiegel mit einer Masse von 5,6 kg verwendet und in den Armen Leistungen im kW-Bereich speichert, so kann für alle Frequenzen die größer als ca. 200 Hz sind auch auf die Berücksichtigung von Strahlungsdruck verzichtet werden. Im niederen Frequenzbereich (dem strahlungsdrucklimitierten Frequenzbereich ) ist die Abweichung der 48 KAPITEL IV. ERGEBNISSE −17 10 m = 5,6 kg m = 500 m=5t m = 50 t m −> unendlich −18 lineare spektrale Rauschdichte [1 / √Hz] 10 −19 10 −20 10 −21 10 −22 10 −23 10 −24 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequenz [Hz] Abbildung 5.10: Ein Vier-Spiegel-Resonator bei Variation der Spiegelmassen (III). Bei weiterer Reduktion der Spiegelmassen trennen sich die optische und optomechanische Resonanz nicht wieder. Sie bleiben verschmolzen und verschieben sich gemeinsam zu höheren Frequenzen. exakten Kurve gegen die strahlungsdruckfreie hier scheinbar sehr groß. Dies liegt jedoch an einer nicht optimalen Wahl des Homodyn-Winkels. Durch Optimierung dieses Winkels lässt sich die lineare spektrale Rauschdichte in diesem Frequenzbereich um mehrere Größenordnungen verringern, wie in Abschnitt 5.3.2 gezeigt wird (vgl. Abbildung 5.7). 6 Erweiterung auf Interferometertopologien 6.1 Michelson-Interferometer mit Vier-Spiegel-Armresonator Nachdem die Eingangs-Ausgangs-Relationen für einen Resonator gelöst worden sind, kann nachträglich der Aufbau noch zu einem Interferometer mit dunklem Ausgang („dark port“) verallgemeinert werden. Das Interferometer ist so eingestellt, dass die aus den Armen kommenden Felder am Strahlteiler so interferieren, dass der Träger nicht zum Detektor gelangt (vgl. Abbildung 6.1). Die gesamte Leistung bzw. das gesamte Trägerfeld wird somit wieder zurück in Richtung Laser reflektiert. Da die Eingangs-Ausgangs-Relation des Resonators weiter verwendet wer- 6. INTERFEROMETERTOPOLOGIEN Seite 49 den soll, ist die Leistung in den Armen durch Wahl der Eingangsleistung des Resonators festgelegt. Die Eingangsleistung des Interferometers ist dann gerade doppelt so hoch wie die Eingangsleistung des Resonators. (a) Trägerfeld (b) Quantenrauschen Abbildung 6.1: Optische Wege von Trägerfeld und Quantenrauschen in einem Michelson-Interferometer, das auf dunklen Ausgang „gelockt“ ist. In den Armen des Michelson-Interferometers können sich dabei beliebige (aber gleiche) Resonatoren befinden. Da eine Gravitationswelle mit h+ -Polarisation die Arme des Interferometers antisymmetrisch auslenkt, entsteht in den Armen ein Signal mit einer Phasenverschiebung von 180◦ . Dadurch interferieren die Signalseitenbänder im Gegensatz zum Träger konstruktiv. Das hat zur Folge, dass sich das Signal am Strahlteiler um einen Faktor 2 in der Leistung verstärkt bzw. einen Fak√ tor 2 in dem Vektor s̄ gewinnt (vgl. Abschnitt 4.2 sowie Gl.(2.48)). Die Transfermatrix des Quantenrauschens ändert sich bei der Erweiterung auf ein Interferometer nicht. Das liegt daran, dass das Quantenrauschen seinen Ursprung im dunklen Ausgang hat. Von dort aus gelangt es durch den Strahlteiler in die Arme. Der Zusammenhang zwischen dem Quantenrauschen der Arme sei in der folgenden Form bekannt: out in d¯Arm = M d¯Arm . (6.1) 50 KAPITEL IV. ERGEBNISSE Der Zusammenhang des Quantenrauschens des Interferometers und der Arme ist mit Hilfe der Strahlteilermatrix Gl.(3.11) gegeben durch: 1 ¯out √ (d¯out N-Arm − d O-Arm ) 2 1 ¯in = √ M (d¯in N-Arm − d O-Arm ) 2 1 ¯in = M (d¯in IFO + d IFO ) 2 = M d¯in IFO . d¯out IFO = (6.2) Zusammenfassend bedeutet dies, dass die lineare spektrale Rauschdichte beim Übergang von einem beliebigen Resonator R√zu einem Interferometer mit R als Armresonator durch einen Faktor 1/ 2 berücksichtigt wird. Nach Gl.(2.52) gilt also: 1 Resonator IFO Slh = √ Slh 2 . (6.3) Dieser nachträgliche Umbau eines Resonators in ein Interferometer ist jedoch nur unter der Annahme möglich, dass die Eingangsleistung des Resonators klein gewesen ist. Dies liegt an der Tatsache, dass die Eingangsleistung des Resonators beim Einbauen in ein Interferometer in 50% der Eingangsleistung des Interferometers übergeht. Für den oben gezeigten nachträglichen Umbau in ein Interferometer kann jedoch der Strahlungsdruck auf den Strahlteiler nicht berücksichtigt werden. Daher muss die Eingangsleistung des Interferometers und somit die ursprüngliche Eingangsleistung des Resonators gering sein (Leistung am Strahlteiler < 1 kW). Sollte dies nicht gegeben sein, so muss der Strahlteiler in der Berechnung der linearen spektralen Rauschdichte explizit berücksichtigt werden (vgl. dazu auch [9]). Zusammenfassend bedeutet dies, dass alle in Abschnitt 5 gezeigten Kurven zu Vier-Spiegel-Resonatoren ebenso gültig sind für ein Michelson-Interferometer mit sehr massivem Strahlteiler und Vier-Spiegel-Armresonatoren. Da alle Werte analog zu√GEO 600 gewählt wurden, zeigen diese Graphen also (bis auf den √ Faktor 1/ 2 in der linearen spektralen Rauschdichte, bzw. den Faktror 2 in der Signalfunktion) gerade die Kurven für GEO 600 mit Vier-Spiegel-Armresonatoren jedoch ohne Signalrecycling. 6. INTERFEROMETERTOPOLOGIEN Seite 51 Abbildung 6.2: Skizzierter Aufbau eines Interferometers mit Vier-SpiegelResonatoren und Signalrecycling. 6.2 GEO 600 mit Vier-Spiegel-Armresonatoren GEO 600 verwendet das 1988 von Meers [14] vorgeschlagene Dualrecycling. Es hat also sowohl einen Signalrecycling-Spiegel im dunklen Ausgang, als auch einen Powerrecycling-Spiegel im hellen Eingang des Interferometers. 6.2.1 Powerrecycling Ein Spiegel, der in den hellen Eingang eines Interferometers gestellt wird, wird auch Powerrecycling-Spiegel genannt, wenn der durch ihn entstandene Resonator resonant für den Träger ist. Ein solcher Spiegel hat im Idealfall nur eine einzige Wirkung: er steigert die Leistung in den Armen. Aufgrund dieser Eigenschaft ist es auch möglich, diesen Spiegel in den Berechnungen zu vernachlässigen. Es wird lediglich angenommen, dass die Armresonatoren eine 52 KAPITEL IV. ERGEBNISSE höhere Eingangsleistung besitzen. Es kann dann - falls notwendig - nachträglich berechnet werden, welche Transmissivität für den Powerrecycling-Spiegel gewählt werden muss, um die Leistung in den Armen auf den gewählten Wert zu regeln. −14 10 ρSR = 0 ρSR = 0.9 ρSR = 0.99 ρ = 0.999 SR ρSR = 0.9999 −15 10 −16 lineare spektrale Rauschdichte [1/ √Hz] 10 SQL (4mc) −17 10 −18 10 −19 10 −20 10 −21 10 −22 10 −23 10 −24 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 Frequenz [Hz] Abbildung 6.3: Lineare spektrale Rauschdichte eines Interferometers mit VierSpiegel-Armresonatoren und Signalrecycling-Spiegel bei Variation der Reflektivität des Signalrecycling-Spiegels. Es wurde für den Vier-Spiegel-Resonator eine Eingansleistung von 125 W gewählt, so dass das Interferometer eine Eingangsleistung von 250 W besitzt. Der Signalrecycling Spiegel hat hier eine Verstimmung von 0◦ und es wird mit einem Homodyn-Winkel ζ von 90◦ ausgelesen. 6.2.2 Signalrecycling und Resonant Sideband Extraction Befindet sich ein Spiegel direkt hinter dem Strahlteiler im dunklen Eingang, so spricht man von Signalrecycling. In der Literatur taucht jedoch noch ein zweiter Name auf: „resonant sideband extraction“ (RSE). Die Unterscheidung zwischen den beiden Bezeichnungen geschieht durch die Speicherzeit des Resonators [18] [15]: Ist die Speicherzeit des Signals im SignalrecyclingResonator größer als die Speicherzeit des Lichtes in den Armen des Interferometers, so spricht man von Signalrecycling. Bei einem umgekehrten Verhältnis wird von RSE gesprochen. Der Spiegel im dunklen Eingang heißt somit bei gleicher Topologie Signalrecycling-Spiegel oder RSE-Spiegel. Da für eine Erweiterung des Vier-Spiegel-Resonators auf ein Interferometer mit 6. INTERFEROMETERTOPOLOGIEN Seite 53 −16 10 ψSR = 0° ψSR = 10° ψ = 30° SR ψSR = 50° ψSR = 70° ψSR = 90° −17 lineare spektrale Rauschdichte [1 / √Hz] 10 −18 10 SQL (4mc) −19 10 −20 10 −21 10 −22 10 −23 10 −24 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 Frequenz [Hz] Abbildung 6.4: Lineare spektrale Rauschdichte eines Interferometers mit VierSpiegel-Armresonatoren und Signalrecycling bei Variation des Verstimmungswinkels ψSR des Signalrecycling-Resonators. Die Reflektivität ρSR des SignalrecyclingSpiegels beträgt hier 0,999 und es wurde mit einem Homodyn-Winkel ζ von 90◦ ausgelesen. Die unterbrochene schwarze Linie zeigt das Standardquantenlimit des Interferometers. einem Spiegel im dunklen Ausgang die Parameter variiert werden müssen und dabei die Grenze zwischen Signalrecycling und RSE ständig überschritten werden kann, werde ich in dieser Arbeit nur von Signalrecycling sprechen, unabhängig von dem Verhältnis der Speicherzeiten. Wenn nun ein Resonator erweitert werden soll auf ein Interferometer mit einem Signalrecycling-Spiegel, so kann dies nicht durch eine Wahl von Vorfaktoren getan werden, wie es bei der Erweiterung des Resonators auf ein Interferometer mit Powerrecycling der Fall war. Ein Signalrecycling-Spiegel beeinflusst die Transferfunktion des Quantenrauschens und des Signals, die somit explizit für das neue Layout berechnet werden müssen. Allerdings wird angenommen, dass das Trägerfeld den dunklen Eingang nicht erreicht (vgl. Abbildung 6.1). Dadurch wirkt auf den Signalrecycling-Spiegel kein Strahlungsdruck und es gibt auch keine Auslenkung durch Gravitationswellen. Die Abbildungen 6.3 und 6.4 zeigen die lineare spektrale Rauschdichte eines Interferometers mit Vier-Spiegel-Armresonatoren und Signalrecycling. Effektiv wird somit ein Interferometer mit zwei Fünf-Spiegel-Resonatoren ausge- 54 KAPITEL IV. ERGEBNISSE −17 10 ρ = 0,5, Ψ = 0° SR SR ρ = 0,5, Ψ = 10° SR SR ρ = 0,5, Ψ = 30° SR SR ρ = 0,5, Ψ = 50° SR SR ρ = 0,5, Ψ = 70° SR SR ρ = 0, Ψ = 0° −18 lineare spektrale Rauschdichte [1 / √Hz] 10 SR −19 SR SQL 10 −20 10 −21 10 −22 10 −23 10 −24 10 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequenz [Hz] Abbildung 6.5: Lineare spektrale Rauschdichte eines Interferometers mit VierSpiegel-Armresonatoren und Signalrecycling bei Variation des Verstimmungswinkels ψSR des Signalrecycling-Resonators. Die Reflektivität ρSR des SignalrecyclingSpiegels beträgt hier 0,5 und es wurde mit einem Homodyn-Winkel ζ von 90◦ ausgelesen. Die unterbrochene schwarze Linie zeigt das Standardquantenlimit des Iterferometers. wertet. Für die Vier-Spiegel-Armresonatoren wurden die Parameter aus Anhang B.2 verwendet, wobei für sie eine Eingangsleistung von 125 W gewählt und mit einem Homodyn-Winkel von 90◦ ausgelesen wurde. Für Abbildung 6.3 wurde ein nicht verstimmter Signalrecycling-Spiegel verwendet und die Veränderung der linearen spektralen Rauschdichte bei Variation seiner Reflektivität dargestellt. Bei einem Homodyn-Winkel von 90◦ nimmt dabei die lineare spektrale Rauschdichte bei nahezu jeder Frequenz mit steigender Reflektivität deutlich zu. Dabei entsteht jedoch im Detektionsband ein breites Plateau. Im Frequenzbereich um 500 Hz sowie unterhalb von 0,01 Hz steigt die lineare spektrale Rauschdichte um einen Faktor 3,2 bei jeder Steigerung der Reflektivität in der angegebenen Form an. Dieser Verlust an Sensitivität kann zumindest für den Frequenzbereich von ca. 300 (für ψSR = 50◦ ) bis 1400 Hz (für ψSR = 10◦ ) durch Wahl eines geeigneten Verstimmungswinkels ψSR unterschritten werden. Dabei entsteht eine schmalbandige Verringerung der linearen spektralen Rauschdichte, die teilweise das Standardquantenlimit 6. INTERFEROMETERTOPOLOGIEN Seite 55 −14 10 −15 10 −16 lineare spektrale Rauschdichte [1 / √Hz] 10 −17 10 −18 10 −19 10 −20 10 −21 10 −22 10 optimierte Kurve: ζ = 282 π /1024 minimale Kurve für hohe Frequenzen: ζ = 165 π /1024 maximale Kurve für hohe Frequenzen: ζ = 677π /1024 nicht optimierte Kurve: ζ = π /2 SQL (4mc) −23 10 −24 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 Frequenz [Hz] Abbildung 6.6: Optimierung des Homodynwinkels. Die Kurven zeigen die lineare spektrale Rauschdichte eines Interferometers mit Vier-Spiegel-Armresonatoren und Signalrecycling (ρSR = 0,999 und ΨSR = 55◦ ) bei Variation des Homodyn-Winkels. durchbricht. In den angrenzenden Frequenzbereichen ist diese Optimierung jedoch verbunden mit einem starken Verlust an Sensitivität. Wird die Reflektivität des Signalrecycling-Spiegels geringer gewählt (z.B. ρSR = 0,5: vgl. Abbildung 6.5), so kann erneut der Verstimmungswinkel variiert werden. Dabei entspricht der Kurvenverlauf der linearen spektralen Rauschdichte dem, der für den Fall von ρSR = 0,999 bereits untersucht worden ist. Dabei ist das Frequenzband, in dem das Standardquantenlimit unterschritten werden kann, jetzt jedoch breiter. Für eine Reflektivität von ρSR = 0,5 und einem Homodyn-Winkel von 50◦ ergibt sich beispielsweise eine Unterschreitung des Standardquantenlimits in dem Frequenzbereich zwischen 30 Hz und 200 Hz. Die maximale Unterschreitung geschieht bei 69 Hz und der Verschiebungsfaktor beträgt 2,9. Doch auch die lineare spektrale Rauschdichte für den Fall eines Signalrecycling-Spiegels mit einer Reflektivität von ρSR = 0,999 kann noch weiter optimiert werden. Da für einen Verstimmungswinkel von ψSR = 55◦ eine starke Unterschreitung des Standardquantenlimits vorliegt, kann für diesen Graph noch eine Optimierung des Homodyn-Winkels durchgeführt werden (vgl. Abbildung 6.6). Für den Verstimmungswinkel ψSR = 55◦ liegt bei einer Frequenz von 79,4 Hz ein Mimimum vor. Dieses hat bereits für 56 KAPITEL IV. ERGEBNISSE den nicht optimierten Homodyn-Winkel von 90◦ einen Wert von 1,02·10−23 und unterschreitet das Standardquantenlimit somit um einen Faktor 3,98. Durch Optimierung des Homodyn-Winkels erreicht dieses Minimum einen Wert von 6,2 ·10−24 , so dass das Standardquantenlimit um einem Faktor von 6,47 unterschritten werden kann. Abbildung 6.6 zeigt die lineare spektrale Rauschdichte für die verschiedenen Homodyn-Winkel. Die grüne Kurve zeigt die für das Minimum bei 79,4 Hz optimierte Kurve. Daneben werden ebenso die für 10 kHz maximierte (rot) bzw. minimierte (grün) Kurve dargestellt. Durch Variation des Homodyn-Winkels lässt sich dann jeder Punkt, der durch diese beiden Kurven eingeschlossen wird, erreichen. Weiterhin wird die nicht optimierte Kurve mit einem Homodyn-Winkel von 90◦ dargestellt (hellblau). Es wird dabei ersichtlich, dass die für das Minimum optimierte Kurve für hohe Frequenzen nahezu mit der für 10 kHz minimierten Kurve übereinstimmt. Im Vergleich zu der nicht optimierten Kurve kann für hohe Frequenzen durch geschickte Wahl des Homodyn-Winkels noch eine Optimierung um einen Faktor 2 erreicht werden. Die lineare spektrale Rauschdichte kann bei einer Frequenz von 10 kHz um mehr als das 1200 fache verschoben werden, wenn der Homodyn-Winkel variiert wird (Verhältnis zwischen maximaler Kurve und minimaler Kurve). Zusammenfassend bedeutet dies, dass für GEO 600 mit Vier-SpiegelArmresonatoren nur ein Signalrecycling-Spiegel mit einer geringen Reflektivität wie ρSR = 0,5 im Detektionsband zu einer breitbandigen Unterschreitung des Standardquantenlimits führt. Wird dagegen der Signalrecycling-Spiegel weggelassen, so kann sich die Spitzenempfindlichkeit des Interferometers verringern. Dennoch scheint der Aufbau ohne Signalrecycling-Spiegel breitbandig eine geringere lineare spektrale Rauschdichte aufzuweisen als der Aufbau mit Signalrecycling-Spiegel. Demzufolge könnte bei Verwendung eines VierSpiegel-Armresonators auf einen Signalrecycling-Spiegel verzichtet werden. Eine definitive Aussage lässt sich jedoch auf Grund der Menge an freien Parametern hier nicht machen. Kapitel V Schlussfolgerungen und Ausblick In dieser Arbeit wurde gezeigt, dass ein Interferometer mit Vier-SpiegelArmresonatoren bereits bei einer Leistung von 250 W auf dem Strahlteiler in einem breiten Frequenzband eine höhere Sensitivität erreichen kann als GEO 600 mit 12 kW auf dem Strahlteiler. Der Einsatz eines Signalrecycling-Spiegels scheint dabei die lineare spektrale Rauschdichte nur sehr schmalbandig zu verbessern. Eine definitive Aussage darüber, ob die Verwendung eines Signalrecycling-Spiegels in einem Interferometer mit Vier-Spiegel-Armresonatoren von Vorteil ist, kann hier auf Grund der Menge von freien Paramtern nicht gemacht werden. Da der hier verwendete Vier-Spiegel-Resonator nur eine geringe Leistung im relativ kurzen mittleren Resonator speichert, wurde effektiv ein Drei-Spiegel-Resonator berechnet. Es sollte daher möglich sein, diesen Vier-Spiegel-Resonator auch analytisch zu einem Drei-Spiegel-Resonator zu reduzieren, so dass die Zahl der freien Parameter des Systems sinkt. Auch in der Erweiterung auf ein Interferometer mit Signalrecycling und Vier-Spiegel-Armresonatoren könnte eine derartige Reduzierung der freien Parameter versucht werden, so dass anstelle des Fünf-Spiegel-Resonators (Signalrecycling-Spiegel + Vier-Spiegel-Armresonator) dann effektiv wieder ein Drei-Spiegel-Resonator berechnet werden könnte. Eine derartige Reduzierung der Anzahl der freien Parameter würde die Optimierung der linearen spektralen Rauschdichte sehr vereinfachen. Weiterhin wurde in dieser Arbeit angenommen, dass die Vier-SpiegelResonatoren in den Armen gefaltet sind, ähnlich wie die Arme von GEO 600. Eine Umsetzung einer solchen Topologie erfordert zwei Umlenkspiegel (vgl. Abbildung 6.2), die in den Berechnungen vernachlässigt wurden. Es wurde also angenommen, dass beide Umlenkspiegel perfekt reflektiv sind (keine Verluste, kein Einkoppeln von zusätzlichen Vakuumfluktuationen) 57 58 KAPITEL V. SCHLUSSFOLGERUNGEN UND AUSBLICK und die Leistung des Resonators so klein ist, dass der Strahlungsdruck auf die Umlenkspiegel vernachlässigt werden kann. Da perfekt reflektierende Spiegel nicht realisierbar sind, könnte versucht werden, die Umlenkspiegel explizit in die Berechnungen einzubeziehen. So könnte die Abweichung von dem hier dargestellten Idealfall berechnet werden. Für alle in dieser Arbeit gezeigten Kurven wurde eine konstante Spiegelmasse von 5,6 kg verwendet und zwar für alle Spiegel gleichermaßen. Es könnte weiterhin untersucht werden, wie sich die lineare spektrale Rauschdichte ändert, wenn einer oder mehrere Spiegel des Vier-Spiegel-Resonators eine besonders geringe Masse hätte. Aufbauend auf diesen Untersuchungen können sowohl die „Optical Lever“[12] als auch die „Optical Bar“ Topologien berechnet werden. Diese Topologien weichen vor allem durch den um 45◦ gedrehten Strahlteiler und die dadurch entstehende Kopplung zwischen Ost- und Westarm, sowie durch die stark unterschiedlichen Spiegelmassen von den hier vorgestellten Topologien ab. Die „Optical Bar“ Topologie entspricht dadurch einem Drei-SpiegelResonator und die „Optical Lever“ Topologie einem Fünf-Spiegel-Resonator. Dabei wird jedoch das Signal nicht an den äußeren Spiegeln ausgelesen, sondern mitten im Resonator ausgekoppelt. Kapitel VI Anhang A Eigenschaften von Strahlungsdruckmatrizen In diesem Abschnitt werden einige Eigenschaften von Strahlungsdruckmatrizen vorgestellt. In Gl.(4.58) wurden Strahlungsdruckmatrizen in der folgenden Form definiert: à ! 1 0 RPF(ϕ, P ) := Rot[ϕ] Rot[−ϕ] . −K0 (P ) 1 Für Strahlungsdruckmatrizen gilt das folgende Additionstheorem : RPF(ϕ, P ) · RPF(ϕ, P 1) = RPF(ϕ, P + P 1) (A.1) Beweis: RPF(ϕ, P ) · RPF(ϕ, P 1) à 1 ! 0 Rot[−ϕ] · −K0 (P ) 1 à ! 1 0 Rot[ϕ] Rot[−ϕ] −K0 (P 1) 1 à ! 1 0 = Rot[ϕ] Rot[−ϕ] −K0 (P ) − K0 (P 1) 1 ! à 1 0 = Rot[ϕ] Rot[−ϕ] −K0 (P + P 1) 1 = RPF(ϕ, P + P 1) . = Rot[ϕ] (A.2) Dabei wurde die Linearität von K0 in der Leistung verwendet. Aus Gl.(A.1) folgt sofort die inverse Strahlungsdruckmatrix: [RPF(ϕ, P )]−1 = RPF(ϕ, −P ) . 59 (A.3) 60 KAPITEL VI. ANHANG Für den einfachen Fall eines Zwei-Spiegel-Systems kann die Strahlungsdruckmatrix vereinfacht werden: Da Winkel nicht absolut gemessen werden können, sondern nur relativ zu einem Referenzwinkel, muss ein bestimmter Winkel als 0◦ definiert werden. In einem komplizierten System scheint es sinnvoll, den Winkel des in das Spiegelsystem eintretenden Feldes als Referenz zu verwenden. In einem einfachen Zwei-Spiegel-System ist es jedoch vorteilhaft, den Winkel des am hinteren Spiegel reflektierten Feldes als Referenz zu wählen, wodurch sich die Strahlungsdruckmatrix vereinfacht: RPF(ϕ, P )2M = RPF(0, P ) = à 1 ! 0 −K(P ) 1 . (A.4) Dies ist auch für GEO 600 und LIGO möglich und wird auch von anderen Autoren [10] [17] verwendet. B. WERTETABELLEN FÜR VERWENDETE INTERFEROMETER B B.1 Seite 61 Wertetabellen für verwendete Interferometer Wertetabelle für GEO 600 Diese Tabelle gibt die Standardeinstellungen für GEO 600 an, die in dieser Arbeit für alle Graphen verwendet wurde. B.2 Parameter Symbol Wert Eingangsleistung Pin 12 W Leistung hinter PR-Spiegel I0 12 kW Leistung in den Armen P0 Reflektivität des SR-Spiegels ρSR Reflektivität des PR-Spiegels ρP R 6 kW √ 0,999 √ 0,999 Verstimmung des SR-Resonators ψSR 0,2◦ Verstimmung des PR-Resonators ψP R 0◦ Masse des Strahlteilers mBS 9,3 kg Masse der Umlenkspiegel und Endspiegel mi 5,6 kg Frequenz des Trägerlichtes ω0 1,77·1015 Hz Wertetabelle für einen Vier-Spiegel-Resonator Die folgenden Tabellen geben die Wahl der sieben freien Parameter eines Vier-Spiegel-Resonators an (vgl. Tabelle in Abschnitt 5.1). Parameter Symbol Reflektivität des 1. Spiegels ρ1 Reflektivität des 2. Spiegels ρ2 Reflektivität des 3. Spiegels ρ3 Wert √ 0,99 √ 0,99 √ 0,9999 Verstimmung des 1. Resonators ψ1 0,1◦ Verstimmung des 2. Resonators ψ2 90◦ Verstimmung des 3. Resonators ψ3 0,01◦ Leistung im 1.Resonator P1 Leistung im 2.Resonator P2 305 · P0 Leistung im 3.Resonator P3 0,78·P0 630 · P0 Bei Wahl dieser Parameter ist bereits bei einer Eingangsleistung von ca. 9,5 W die Leistung P3 gleich der Leistung in den Armen von GEO 600. Wird die Eingangsleistung auf ca. 20 W erhöht, so erreicht der erste Resonator den Wert von P0 bei GEO 600. 62 KAPITEL VI. ANHANG B.3 Wertetabelle schnitt 4.4.2 des Fabry-Perot-Resonators aus Ab- Die Werte dieses Fabry-Perot-Resonators sind vergleichbar mit den Parametern der Armresonatoren von LIGO. B.4 Parameter Symbol Wert Eingangsleistung Pin 10 kW Reflektivität des 1. Spiegels ρ1 0,967 Reflektivität des 2. Spiegels ρ2 0,9999 Verstimmung des Resonators ψ Länge des Resonators L 0,1 rd ≈ 0,002◦ Masse der Spiegel mi 30 kg Frequenz des Trägerlichtes ω0 1,77·1015 Hz 4 km Tabelle der Resonanzfrequenzen Resonators aus Abschnitt 5.3.3 des Vier-Spiegel- Die optischen Resonanzen wurden aus dem strahlungsdruckfreien Graphen (schwarze Kurve in den Abbildungen 5.8, 5.9 und 5.10) bestimmt zu: 1 = 12,88 Hz f 2 = 223,87 Hz fopt opt . Die optomechanischen Resonanzen ergeben sich durch Gl.(5.13). Aus dieser Gleichung folgt auch, dass jede Verringerung der Masse um Faktor n die √ Resonanzfrequenzen um einem Faktor 1/ n verschiebt . Spiegelmasse 1.Resonanz [Hz] 2.Resonanz [Hz] 3.Resonanz [Hz] 50 kt 2,34 · 10−5 2,19 · 10−2 1,95 · 10−1 5 kt 7,41 · 10−5 6,93 · 10−2 6,18 · 10−1 Literaturverzeichnis [1] P. Astone, J. A. Lobo, and B. F. Schutz. Coincidence experiments between interferometric and resonant bar detectors of gravitational waves. Class. Quantum Grav., 11:2093 – 2112, 1994. [2] B.C. Barish and R. Weiss. LIGO and the detection of gravitational waves. Physics Today, 52:44 – 50, 1994. [3] P. Barriga et al. Technology developments for ACIGA high power test facility for advanced interferometry. Class. Quantum Grav., 22:199 – 208, 2005. [4] C. M. Caves and B. L. Schumaker. New formalism for two-photon quantum optics. I Quadrature phases and squeezed states. Phys. Rev. A, 31:3068 – 3092, 1985. [5] B. L. Schumaker and C. M. Caves. New formalism for two-photon quantum optics. II Mathematical foundation and compact notation. Phys. Rev. A, 31:3093 – 3111, 1985. [6] Y. Chen. Sagnac interferometer as a speed-meter-type, quantumnondemolition gravitational-wave detector. Phys. Rev. D, 67:122004, 2003. [7] T. Corbitt, Y. Chen, and N. Mavalvala. Mathematical framework for simulation of quantum fields in complex interferometers using the twophoton formalism. submitted [8] P. Fritschel. Second generation instruments for laser interferometer gravitational wave observatory (LIGO). Proceedings of SPIE, 4856:282 – 291, 2003. [9] J. Harms, R. Schnabel, and K. Danzmann. The finite mass beamsplitter in high power interferometers. Phys. Rev. D, 70:102001, 2004. [10] J. Harms. Quantum noise in the laser-interferometer gravitational-wave detector GEO 600. Diplomarbeit, Universität Hannover, 2002. 63 64 LITERATURVERZEICHNIS [11] J. Harms, Y. Chen, S. Chelkowski, A. Franzen, H. Vahlbruch, K. Danzmann, and R. Schnabel. Squeezed-input, optical-spring, signal-recycled gravitational-wave detectors. Phys. Rev. D, 68:042001, 2003. [12] F.Ya. Khalili. The optical lever intracavity readout scheme for gravitational-wave antennae. Physics Letters A, 298:308, 2002. [13] L.D. Landau und E.M. Lifschitz. Lehrbuch der Theoretischen Physik. In Quantenelektrodynamik. Akademie Verlag Berlin, 1986. [14] B.J. Meers. Recycling in laser-interferometric gravitational-wave detectors. Phys. Rev. D, 38:2317–2326, 1988. [15] J. Mizuno. Comparison of optical configurations for laser-interferometric gravitational-wave detectors. Doktorarbeit, 1995. [16] P. Purdue and Y. Chen. Practical speed meter designs for quantum nondemolition gravitational-wave interferometers. Phys. Rev. D, 66:122004, 2002. [17] H. Rehbein. Optische Bistabilität und gequetschtes Licht in einem KerrInterferometer. Diplomarbeit, Universität Hannover, 2004. [18] K. A. Strain, K. Danzmann, J. Mizuno, P. G. Nelson, and A. Rüdiger. Thermal lensing in recycling interferometric gravitational wave detectors. Phys. Lett. A, 194:124, 1994. [19] P.J. Sutton et al. Plans for the LIGO-TAMA joint search for gravitational wave bursts. Class. Quantum Grav., 21:1801 – 1807, 2004. [20] A. Thüring. Lineare mehrfach Spiegel-Resonatoren für Gravitationswellendetektoren. Diplomarbeit, Universität Hannover, 2004. [21] W. Winkler, K. Danzmann, A. Rüdiger, and R. Schilling. Heating by optical absorption and the performance of interferometric gravitationalwave detectors. Phys. Rev. A, 44:7022–7036, 1991. Index „Optical Bar“, 58 „Optical Lever“, 2, 58 „Resonant Bar“, 1 „ponderomotive squeezing“, 34, 42 „resonant sideband extraction“, 52 „thermal lenses“, 36 1-Photon-Formalismus, 5 2-Photonen-Formalismus, 6 mit Kerr-Medium, 2 Sagnac, 2 Speed-Meter, 2 GEO 600 mit Vier-SpiegelArmresonatoren, 51–56 Vier-Spiegel-Armresonatoren, 48 Kerr-Interferometer, 2 Kommutatorrelation 1-Photon-Formalismus (âω , â†ω ), 5 2-Photon-Formalismus (â+ , â− ), 6 (â1 , â2 ), 7 komplexe Amplitude, 9 Kopplungskonstante, 22 Amplitudenquadraturamplitude, 11 Amplitudenquadratur, 11 Detektionsband, 38 Dualrecycling, 51 Endspiegel, 29 Erzeuger 1-Photon-Formalismus (â†ω ), 5 2-Photonen-Formalismus (â†+ , â†− ), 6 (â†1 , â†2 ), 6 Maßsystem Gauß-System, 20 Observable, 5 optische Feder, 40 optische Resonanz, 44 optomechanische Kopplung, 40 optomechanische Resonanz, 40, 45 analytische Berechnung, 40– 41 Fouriertransformation, 7 Frequenzbereich schrotrauschlimitiert, 47 strahlungsdrucklimitiert, 47 Gauß-System, 20 Phasenquadraturamplitude, 11 Phasenquadratur, 11 Ponderomotives Quetschen, 34, 42 Powerrecycling, 51 ~ 20 Poynting-Vektor S, Propagation, 11, 13 Homodyn-Detektion, 14 Homodyn-Winkel, 14 Impulserhaltung, 41 Intensität I, 20 Interferometer „Optical Lever“, 2, 58 GEO 600, 3, 33 Quadraturamplitude, 6, 10 65 66 Quadraturenraum, 9 Rauschfunktion, 14 Resonanz optisch, 44 optomechanisch, 40, 45 Ringresonator, 33 RSE, 52 Sagnac, 2 Schrotrauschen, 34 schrotrauschlimitierter Frequenzbereich, 47 Seitenbänder, 6 Signalfunktion, 14 Signalrecycling, 52 Speed-Meter, 2 Strahlteilermatrix, 17 Strahlungsdruck, 19 Strahlungsdruck-Matrix, 30 Additionstheorem, 59 für GEO 600, 60 inverse, 59 strahlungsdrucklimitierter Frequenzbereich, 47 Strahlungsdruckrauschen, 34 Testmasse, 20 Thermische Linse, 2 thermische Linse, 36 Träger Λ̄, 11 Betrag, 21 Vakuumfluktuation, 11 Vektor Element des R3 , 10 Element des Quadraturenraumes, 10 Quadraturamplitudenvektor, 6 Vernichter 1-Photon-Formalismus (âω ), 5 2-Photonen-Formalismus (â+ , â− ), 6 INDEX (â1 , â2 ), 6 Vier-Felder-Verfahren, 23, 24, 29– 32 Vier-Spiegel-Resonator, 33–48 gefaltet, 38, 40 Zwei-Felder-Verfahren, 23, 29–32 Danksagungen An erster Stelle möchte ich mich bei Herrn Prof. Dr. Danzmann für die Möglichkeit der Anfertigung meiner Diplomarbeit am Institut für Atom- und Molekülphysik bedanken. Herrn Juniorprofessor Dr. Roman Schnabel gilt mein Dank nicht nur für die interessante Aufgabenstellung, sondern auch für die Unterstützung, Motivation und die zahllosen hilfreichen Gespräche. Weiterhin möchte ich Dipl. Phys. Henning Rehbein danken. Ein ganzes Jahr lang war er für mich die erste Adresse für alle Fragen und hatte doch immer Zeit und Geduld. Schließlich gilt mein Dank auch Dipl. Phys. André Thüring für diverse interessante Gespräche über Vier-Spiegel-Resonatoren. A very special thanks goes to Dr. Yanbei Chen who spent so many hours finding errors in my latest programs or make them run in about 1/100th of the original time. Talking to him was always most instructive and it’s just fun to work with him. Abschließend möchte ich all den hilfreichen Geistern im Hintergrund, sprich bei mir zu Hause, danken, die ebenso wesentlich zu dieser Arbeit beigetragen haben. Selbstständigkeitserklärung Hiermit versichere ich, dass ich diese Arbeit selbstständig erstellt habe und außer der zitierten Literatur und dem Rat meiner akademischen Lehrer und Kollegen keine weiteren Hilfsmittel verwendet habe. (Gudrun Diederichs)
