5) Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperiments

von Jule Menzel, 12Q4
5) Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Zufallsexperiments
𝜔1
𝜔2
𝜔3
Ω
𝜔2
𝜔1
𝜔3
𝜔4
A
𝜔4
Ergebnismenge
A ist ein Ereignis
A ist Teilmenge von Ω
kurz: A c Ω
Was ist ein Ereignis?
Beispiel: Ich habe einen Topf voller Zahlen, darunter befinden sich gerade
(2,4,6,10), wie auch ungerade (3,5,1,7,9,11) Zahlen:
6
1
11
10
9
7
4
5
3
2
Mein Ereignis |A: „gerade Zahlen“| wäre daher A = {2; 4; 6; 10}
Das Gegenereignis Ᾱ, wären dann alle Ergebnisse bis auf die, die im Ereignis
A enthalten sind, hier also die ungeraden Zahlen. Ᾱ = {3; 5; 1; 7; 9; 11}
Merke:
Merke:
|Ᾱ| = |Ω|-|A|
𝐴̅ = 𝛺\{𝐴}
Ergebnis
Was versteht man unter dieser Art von Symbol: |𝛺|? |𝛺| beschreibt die
Mächtigkeit von Ω, das heißt die Anzahl der Elemente dieser Menge.
𝛺 = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 9; 10; 11}, die Anzahl der Elemente ist also 10: |𝛺 | = 10.
Wie wahrscheinlich ist es, dass eine gerade Zahl gezogen wird?
Bleiben wir bei dem oberen Beispiel, wir haben also 10 Zahlen in unserem
Topf, 4 Zahlen davon sind gerade, 6 ungerade.
Die Wahrscheinlichkeit P(A), also die Wahrscheinlichkeit davon,
4
dass Ereignis A: gerade Zahl, eintritt, beträgt: 𝑃(𝐴) = 10 = 40%
Wie kommt man darauf?
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses lässt sich durch folgende Formel
berechnen:
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|𝛺|
Ich habe also 4 Zahlen die gerade sind und insgesamt 10 Stück. 4 geteilt
durch 10 ergibt 0,4 also 40%.
Wichtig: Was ist bei diesem Ereignis die absolute und was die relative
Häufigkeit? Die absolute Häufigkeit gibt an, wie viele
Ergebnisse auf das Ereignis zu treffen. Hier haben wir 4 Zahlen, die zu
unserem Ereignis gehören. Im Gegensatz zur absoluten Häufigkeit
beschreibt die relative Häufigkeit, den Anteil der absoluten
Häufigkeit an der Mächtigkeit der Ergebnismenge, auch Gesamtzahl
genannt. Also: Wie viele Ergebnisse von allen möglichen, passen zu
unserem Ereignis?
In einer Formel:
𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝐻ä𝑢𝑓𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 =
𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑒 𝐻ä𝑢𝑓𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡
𝐺𝑒𝑠𝑎𝑚𝑡𝑧𝑎ℎ𝑙
Bei unserem Beispiel, müssten wir nun unsere absolute Häufigkeit (4)
durch die Gesamtzahl (10) teilen, wir erhalten als relative Häufigkeit 0,4,
das heißt wieder eine Wahrscheinlichkeit von 40%.
Nun berechnen wir die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, also
𝐴̅: ungerade Zahlen. Hierfür teilen wir die absolute Häufigkeit (6) durch die
6
3
Gesamtzahl (10): 𝑃(𝐴̅) = 10 = 5 = 60%. Dabei fällt uns auf das sich die beiden
Wahrscheinlichkeiten von 𝐴 und 𝐴̅ zu 100% addieren bzw. zusammen 1
ergeben.
𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴̅) = 1
folglich ist
𝑃(𝐴̅) = 1 − 𝑃(𝐴)
Das ist doch praktisch!
Was wir uns daraus herleiten können ist, dass die Wahrscheinlichkeit
also nur einen Wert zwischen 0 und 1 haben kann. Da die
Addition von 𝑃(𝐴) und 𝑃(𝐴̅) 1 ergibt und somit keiner der beiden Summanden
größer als 1 sein kann.
Die Wahrscheinlichkeit für 𝑷(𝜴) = 𝟏. Denn wie wahrscheinlich ist es, dass
Ω eintritt? Dazu müssen wir einfach die absolute Häufigkeit, in diesem Fall,
also alle Ergebnisse (10) durch die Gesamtzahl (ebenfalls 10) teilen. Wir
erhalten die Wahrscheinlichkeit 1 (bzw. 100%). Damit handelt es sich hierbei
um ein sicheres Ereignis, schließlich ist es sicher das dieses Ereignis
eintritt und zwar zu 100%!
Während die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses 0 ist. Denn
wie groß wäre schon die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von 𝑃 (𝛺 )?
Da 𝑃(𝛺 ) = 1 ist, kann die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignis nach allem
was wir uns bisher hergeleitet haben, nur Null sein. Ein unmögliches
Ereignis, ist damit ein Ereignis, das bei diesem Zufallsexperiment nie
eintreten kann auch das Ereignis C= {Ziehe 21}, hat eine leere Menge:
𝑪 = { } und ist ein unmögliches Ereignis, da sich die 21 nicht in unserer
Ergebnismenge befindet, also 𝑃(𝐶 ) = 0.
Haben wir hier ein Laplace-Experiment?
Ein Laplace-Experiment, ist ein Experiment, bei dem alle
Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.
Zum Beispiel der Wurf eines Würfels oder einer Münze, da alle Ergebnisse
„gleichberechtigt“ sind.
1
Die Wahrscheinlichkeit berechnet sich aus 𝑃 (𝐴) = 𝑛
(n stellt dabei die Anzahl der Ereignisse dar)
Die Laplace-Wahrscheinlichkeit:
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|𝛺|
Baumdiagramme zu zwei Laplace- Experimenten
Wirf einen Würfel einmal
Wirf eine Münze einmal
1
6
1
2
1
2
3
4
5
6
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine
1 gewürfelt wird liegt bei
≈ 17%. Du kannst es Dir so vorstellen,
dass Du von einem Ort aus 6 verschiedene
Möglichkeiten hast diesen Ort zu verlassen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass Du einen
dieser Wege benutzen wirst, liegt bei
jedem Weg bei 𝑃(𝐴) = 1 ≈ 17%
6
Zahl
Kopf
Genauso wie bei dem Werfen
des Würfels, hat man
mehrere Möglichkeiten den
„Ort“ zu verlassen, nämlich 2.
Also beträgt die
Wahrscheinlichkeit
1
𝑃(𝐴) = 2 = 50%
Kommen wir zu einem anderen Beispiel:
Wer geht nicht gerne ins Kino? Auch Max (M), Tom (T), Beate (B) und Uschi
(U) entscheiden sich den neusten „21 Jump Street“ anzusehen. Sie haben 4
Plätze reserviert und können sich nicht entscheiden wie sie sitzen wollen.
Damit Tom Beate, in die er sich verliebt hat, beeindrucken kann will er schnell
ausrechnen wie viele Möglichkeiten sie hätten, obwohl er natürlich neben ihr
sitzen will.
1
2
3
M
T
4
B
U
Das können wir auch! Benutzen wir das Zählprinzip. Auf Platz 1 könnten
sich alle setzen, also 4 Möglichkeiten; einer hat sich nun hingesetzt. Auf Platz
2 könnten sich demnach nur noch 3 setzen. Wenn sich erneut eine Person
hingesetzt hat, können sich auf Platz 3 noch 2 Personen setzen. Für den
Letzten bleibt nur noch eine Möglichkeit. Es muss also so gerechnet werden:
4 · 3 · 2 · 1 = 24
Es gibt also 24 Möglichkeiten für die 4 Personen.
Allgemein kann man es sich so vorstellen:
Ich wohne an einem Ort A und habe 3 verschiedene Möglichkeiten nach Ort B
zu gelangen. Von B aus gesehen gibt es nur einen Weg nach C, doch von C
nach D kann ich wieder zwei verschiedene Straßen benutzen. Wie viele
Möglichkeiten habe ich von A nach D zu kommen?
C
B
A
3
·
1
·
D
2
=
6
7) Zentrische Streckung
Die zentrische Streckung, ein Begriff, der sich vielleicht schwierig anhört, aber
eigentlich nur Folgendes aussagt:
Nehmen wir an, wir befinden uns im Zentrum von München und wollen nach
Augsburg, dann berechnen wir die Luftlinie zwischen beiden Orten, für einen
ungefähren Wert.
Augsburg
München
Aschaffenburg
Zentrum
Strecke vom Zentrum
Münchens nach Augsburg:
̅̅̅̅
𝑍𝐴
Doch um wie viel länger ist die Strecke vom Münchener Zentrum nach
Aschaffenburg?
Um viel muss die Strecke zwischen München und Augsburg
werden?
gestreckt
̅̅̅̅) muss also um einen
Die Strecke vom Zentrum Münchens nach Augsburg (𝑍𝐴
Faktor k gestreckt werden, damit wir die Strecke vom Zentrum Münchens nach
̅̅̅̅̅) erhalten. In einer Formel ausgedrückt heißt das:
Aschaffenburg (𝑍𝐴′
̅̅̅̅̅ = 𝑘 · 𝑍𝐴
̅̅̅̅
𝑍𝐴′
Das Prinzip bleibt dasselbe! Auch wenn man eine Figur zentrisch strecken will.
Bei jedem Punkt wird dasselbe, wie bei dem obigen Beispiel, gemacht und
zwar ausgehend von einem Zentrum:
A‘
̅̅̅̅̅
𝑍𝐴′
A
̅̅̅̅
𝑍𝐴
C
Z
B
C‘
B‘
Wenn der Streckungsfaktor 𝑘 > 0 ist, dann liegt der Punkt 𝐴′ auf der
Halbgeraden [𝑍𝐴:
Z
𝐴
[𝑍𝐴
𝐴′
Doch mit Hilfe der zentrischen Strecke kann ich nicht nur Dinge vergrößern,
sondern auch verkleinern!
Was passiert denn, wenn ich als Streckungsfaktor 2 nehme?
Die Strecke zwischen Z und A wird verdoppelt!
𝐴′
𝐴
Z
̅̅̅̅̅ = 2 · ̅̅̅̅
𝑍𝐴′
𝑍𝐴
Was aber passiert, wenn ich die Strecke zwischen Z und A mit ½ multipliziere?
Die Strecke wir halbiert! Damit verkleinere ich die Strecke und stauche sie!
Z
𝐴′
𝐴
1
̅̅̅̅̅
𝑍𝐴′ = · ̅̅̅̅
𝑍𝐴
2
Damit lässt sich sagen:
Ist der Streckungsfaktor k
>1, so wird die Strecke oder die Figur
vergrößert!
Ist der Streckungsfaktor 0
verkleinert!
< k < 1, so wird die Strecke oder die Figur
Im Folgenden findest Du die Eigenschaften zentrisch gestreckter Figuren, die
immer gelten! Also merke sie Dir! 
1) Strecke und Bildstrecke sind zueinander
parallel
(in unserem Beispiel ist [𝐴𝐵] die Strecke und [𝐴′𝐵′] die
Bildstrecke, die durch die Streckung durch k entstanden ist)
B‘
B
Z
[𝐴𝐵] || [𝐴′ 𝐵′ ]
A
Z
A
A‘
2) Die Bildstrecke ist
k-mal so lang wie die Originalstrecke
̅̅̅̅̅̅
𝐴′ 𝐵′ = 𝑘 ∙ ̅̅̅̅
𝐴𝐵
3) Die entsprechenden
Winkel sind gleich groß (𝛼1 =
𝛼′1), 𝛼1′ ist
der Bildwinkel zu 𝛼1
𝛼1
Z
𝛼′1
4) Die Bildfigur hat den
𝒌𝟐 -fachen Flächeninhalt von der
𝐴1 = 1 𝑚2 ;
Originalfigur
𝑘=2
𝐴2 = 𝑘 2 · 𝐴1 = 22 · 1𝑚2 = 4𝑚2
Z
1
2
Der Strahlensatz, ein weiterer Begriff, den Du im Unterricht bestimmt schon
einmal gehört hast. Dabei ist es wichtig herauszufinden, wie sich die Strecken
zueinander verhalten:
Man benötigt: 2 Geraden, die einander in Z schneiden & 2 Parallelen, die wiederum
diese Geraden schneiden, so wie hier:
Gerade 1
b
𝑎′
Z
c
𝑐′
𝑏′
a
Gerade 2
Parallelen
Hier siehst Du, wie die einzelnen Streckenabschnitte zueinander im Verhältnis
stehen.
1) Die zwei Abschnitte auf der einen Gerade, verhalten sich so wie die zwei
𝑏
𝑎
Abschnitte auf der anderen Gerade (betrifft hier gelb und rot).
=
𝑏′
𝑎′
2) Die Abschnitte der Parallelen (grün), verhalten sich so wie die Abschnitte
𝑎
𝑐
𝑏
der Geraden (entweder wie die von gelb oder von rot).
=
=
𝑎′
𝑐′
𝑏′
𝑎′
𝑐
a
a
𝑐′
c
c‘
a‘
b
𝑏′
V-Figuren:
auch hier gelten die
oben aufgestellten
Regeln
𝑎′
a
b
𝑏′
„Der Ball ist so ähnlich, wie meiner!“, damit meint der kleine Bruder, vielleicht
die Farbe von den zwei Bällen. Was aber heißt ähnlich in der Mathematik?
Die Ähnlichkeit von Figuren
Wird bei einer zentrischen Streckung (siehe oben) eine Figur A um den Faktor
k gestreckt, entsteht eine Figur A‘. A‘ ist ähnlich zu A!!! (vergleiche kleines
und großes Geodreieck)
Z
Auch A und B
sind ähnlich, weil
sie sogar
kongruent
(deckungsgleich)
sind!
b‘
c
b
A
a
c‘
B
A‘
a‘
Sieht doch ziemlich umständlich aus. Glücklicherweise, gibt es aber
Eigenschaften von ähnlichen Figuren, die Dir helfen können:
1) Die Strecken, die einander entsprechen, haben das gleiche
Längenverhältnis: 𝑎′ : 𝑎 = 𝑘 = 𝑏′ : 𝑏
Anders betrachtet bedeutet das: Wenn ich a mit k multipliziere erhalte ich
a‘, multipliziere ich b mit demselben Faktor k, so erhalte ich auch hier die
Länge der gestreckten Seite, also b‘
2) Die entsprechenden Winkel sind gleich groß
3) Ist A um k gestreckt, so ist der
Flächeninhalt von A
Flächeninhalt von A‘ der 𝑘 2-fache
c‘
𝛿𝑘
c
𝛾𝑘
γ
δ
d
b
d‘
b‘
β
α
a
𝛽𝑘
𝛼𝑘
a‘
Bei einem Dreieck, ist es sogar noch einfacher!!!
Hier muss entweder der
oder der
gelten.
WW-Satz:
S:S:S-Satz:
2 Winkel sind gleich
groß (damit alle)
alle Seitenverhältnisse
sind gleich
Innenwinkelsumme im
Dreieck beträgt immer
180°
Beachte:
Sind die
entsprechenden Seiten
zusätzlich gleich lang,
sind die Dreiecke
kongruent
(Kongruenzsatz)
Quelle: Lambacher Schweizer 8; Klett Bayern