Übungen zur Elementaren Zahlentheorie Blatt 1 Prof. Dr. R

Übungen zur Elementaren Zahlentheorie
Blatt 1
Prof. Dr. R. Weissauer
Th. Krämer
Sommersemester 2013
Abgabe: 25. April 2013
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Aufgabe 1. Jede natürliche Zahl N ∈ N hat eine Darstellung N = r=0 ar · 10r im
Dezimalsystem mit Ziffern ar ∈ {0, 1, . . . , 9}. Begründen Sie die folgenden Kriterien
für die Teilbarkeit von N durch die Zahlen 2, 3, 7 und 11.
(a) Die Zahl N ist teilbar durch 2 genau dann, wenn a0 ∈ {0, 2, 4, 6, 8} ist.
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(b) Die Zahl N ist teilbar durch 3 genau dann, wenn die Quersumme r=0 ar
durch 3 teilbar ist.
(c) Die Zahl N ist teilbar durch 11 genau dann, wenn die mit alternierenden
Vorzeichen gebildete Quersumme
n
X
(−1)r ar = a0 − a1 + a2 − a3 + · · ·
r=0
durch 11 teilbar ist. Ist beispielsweise N = 1358016 durch 11 teilbar?
(d) Die Zahl N ist teilbar durch 7 genau dann, wenn die mit den sich periodisch
wiederholenden Koeffizienten 1, 3, 2, 6, 4, 5 gebildete Quersumme
(a0 + 3a1 + 2a2 + 6a3 + 4a4 + 5a5 ) + (a6 + 3a7 + 2a8 + 6a9 + 4a10 + 5a11 ) + · · ·
durch 7 teilbar ist. Ist beispielsweise N = 864192 durch 7 teilbar?
Können Sie weitere Teilbarkeitskriterien von dieser Form finden?
Aufgabe 2. Eine Zahl heißt Quadratzahl, wenn sie sich als Quadrat einer ganzen
Zahl schreiben lässt. Folgern Sie aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung,
dass für n ∈ N die Zahlen
n(n + 1)
und
n(n + 2)
keine Quadratzahlen sind. Zeigen Sie ferner, dass die Zahl n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n
nur im Fall n = 1 eine Quadratzahl ist.
Aufgabe 3. Ein Paar (p, q) von Primzahlen heißt Primzahlzwilling, wenn q = p + 2
ist. Bestimmen Sie
(a) alle Primzahlzwillinge (p, q), sodass auch pq − 2 eine Primzahl ist (schreiben
Sie dazu p in der Form 3a + b mit a ∈ N, b ∈ {0, 1, 2}),
(b) alle Primzahlzwillinge (p, q), sodass p + 1 eine Quadratzahl ist.
Zeigen Sie ferner, dass jeder von (p, q) = (3, 5) verschiedene Primzahlzwilling die
Form (p, q) = (6n − 1, 6n + 1) mit einer natürlichen Zahl n ∈ N hat.
Es ist eine der großen unbewiesenen Vermutungen der Zahlentheorie, dass unendlich
viele Primzahlzwillinge existieren. Der größte derzeit bekannte Zwilling wurde im
Jahr 2011 gefunden und hat die Form 3756801695685 · 2666669 ± 1.
Die Übungsblätter und Informationen zur Vorlesung über Elementare Zahlentheorie
gibt es auch auf der zugehörigen Homepage:
www.mathi.uni-heidelberg.de/~tkraemer/ElementareZahlentheorie/