∑ = ∑ = ∑ = ∑ = ∑

Prof.Dr.Göbel
Übungen zur Diskreten Mathematik
Kapitel 6
1. Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion :
Für alle n ∈
n
a.
∑
j =1
n
c.
∑
j =1
gilt :
n
n ⋅ (n + 1)
j =
2
 n ⋅ (n + 1) 
j =



2
3
b.
∑ j2 =
j =1
n
2
d.
∑
j=0
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2n + 1)
6
1 − qn + 1
q =
1− q
j
für jedes q ∈
\{1}
2. Versuchen Sie, eine Formel für die Summe aller Potenzen der Zahl 2 : 20 ,......,2n
aufzustellen und beweisen Sie die Richtigkeit Ihrer Formel.
3. Versuchen Sie, eine Formel für die Summe aller geraden natürlichen Zahlen bis zur
Zahl 2n aufzustellen und beweisen Sie die Richtigkeit Ihrer Formel.
4. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, daß für alle n ∈
gilt :
n
∑ i ⋅ i! = (n + 1 )! - 1
i=1
5. Betrachtet werden alle Zahlen von 10 bis 9999.
a. Wieviele dieser Zahlen haben 4 verschiedene Ziffern?
b. Bei wievielen dieser Zahlen sind alle Ziffern gleich?
c. Bei wievielen der genau 3-stelligen Zahlen ist die Ziffer in der Mitte größer als die
beiden anderen Ziffern?
6. Für eine Prüfung werden im Fach Diskrete Mathematik 6 Aufgaben, im Fach
Graphentheorie 4 Aufgaben und im Fach Programmieren 5 Aufgaben angeboten.
Prüflinge müssen genau 5 Aufgaben bearbeiten.
Wieviele Möglichkeiten der Zusammenstellung gibt es, wenn
a. aus jedem Fach mindestens eine Aufgabe gewählt werden muß?
b. aus jedem Fach höchstens 2 Aufgaben gewählt werden dürfen?
c. die Aufgaben beliebig ausgewählt werden dürfen?
7. Die Geheimzahl von Scheckkarten für Geldautomaten besteht aus einer
vierstelligen Zahl, die nicht mit einer Null beginnt. Wie oft muß man höchstens
probieren, um die Nummer herauszufinden?
9.
Der Aufsichtsrat einer Firma besteht aus 12 Personen. Wieviele Möglichkeiten gibt es,
a. einen Vorsitzenden und zwei gleichberechtigte Stellvertreter auszuwählen?
b. drei Mitglieder für die Öffentlichkeitsarbeit aus den restlichen neun zu bestimmen?
c. alle Mitglieder in vier verschiedene Dreierausschüsse einzuteilen?
d. Koalitionen (Aufteilung in zwei nichtleere Gruppen) zu bilden?
10. Ein Mensakoch hat 40 Menüs zur Auswahl. Vier davon sind Fischgerichte.
Wieviele verschiedene Speisepläne für eine Woche (6 Tage!) kann er daraus bilden?
a. allgemein
b. wenn es Freitags immer Fisch geben muß
c. Was ergibt sich bei a. und b., wenn es an jedem Tag der Woche ein anderes Menü
geben muß?
11. Das Alphabet hat 26 Buchstaben: 5 Vokale (V) und 21 Konsonanten (K).
Es werden 5-buchstabige Wörter mit 3 Vokalen und 2 Konsonanten
gebildet. Lösen Sie die folgenden Aufgaben für die beiden Möglichkeiten
i) es dürfen nur verschiedene Buchstaben verwendet werden,
ii) es dürfen auch gleiche Buchstaben verwendet werden.
a.
b.
c.
d.
e.
Wieviele solcher Wörter gibt es?
Wieviele Wörter enthalten den Buchstaben t?
Wieviele Wörter enthalten den Buchstaben a?
Wieviele Wörter beginnen mit dem Buchstaben a?
Wieviele Wörter sind in der Reihenfolge V--K--V--K--V?
12. Es werden 6-stellige Zahlen aus den Ziffern 1,2,3,4,5,6 gebildet,
wobei jede der 6 Ziffern genau einmal in jeder Zahl vorkommt.
a. Wieviele verschiedene Zahlen gibt es?
b. Wieviele der Zahlen beginnen mit der Ziffer 4?
c. Bei wievielen der Zahlen stehen die Ziffern 2, 4, 6 nebeneinander und zwar
c1. in der Reihenfolge 2 4 6
c2. in beliebiger Reihenfolge?
d. Bei wievielen der Zahlen stehen keine zwei geraden Ziffern nebeneinander?
e. Wie groß ist die Summe aller dieser 6-stelligen Zahlen?
13. In einer Klausur werden 15 Aufgaben gestellt, von denen genau 11 bearbeitet werden
müssen. Wieviele Auswahlmöglichkeiten gibt es
a. insgesamt?
b. wenn die ersten 3 Aufgaben alle bearbeitet werden müssen?
c. wenn von den ersten 3 Aufgaben mindestens 2 bearbeitet werden müssen?
14. Wieviele verschiedene Reihenfolgen gibt es für n Personen, sich
a. in eine Reihe zu stellen?
b. an einen runden Tisch zu setzen?