Technische Universität München, Zentrum Mathematik

Technische Universität München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik
Propädeutikum Diskrete Mathematik
(MA 1501, MA 1503), WiSe 2014/15
Dr. René Brandenberg
Aufgabenblatt 6
Aufgabe 6.1
Bestimmen Sie die folgenden Anzahlen: (Begründung nicht vergessen!)
a) Wie viele lineare partielle Ordnungen mit Grundmenge [5] gibt es?
b) Wie viele surjektive Abbildungen [4] → [3] gibt es?
c) Wie viele Abbildungen f : [6] → [3] gibt es, sodass |f −1 (i)| = i für jedes i ∈ [3]?
d) Wie viele Zahlen in [721] sind durch 10, 12 oder 15 teilbar?
Aufgabe 6.2
Es sollen Gruppenfotos von Fußballern, Schiedsrichtern und Fans gemacht werden, wobei die Personen
immer in eine lange, geordnete Reihe von links nach rechts gebracht werden und – soweit nicht anders
angegeben – unterscheidbar sind.
a) Wieviele Möglichkeiten gibt es, nur die 11 Fußballer auf einem Gruppenfoto anzuordnen?
b) Die 3 Schiedsrichter (1 Feldschiedsrichter, 2 Linienrichter) möchten ein Foto mit den Fußballern.
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die 11 Fußballer und die 3 Schiedsrichter so anzuordnen,
• dass sowohl die Schiedsrichter nicht nebeneinander stehen, und
• dass der Feldschiedsrichter irgendwo zwischen den beiden Linienrichtern steht?
c) Wieviele Möglichkeiten gibt es, die 11 Fußballer und 5 nicht unterscheidbare Fans auf einem
Gruppenfoto anzuordnen?
Aufgabe 6.3
Auf wie viele Arten kann ein König auf einem 8 × 8-Schachbrett von der linken unteren Ecke in die
rechte obere Ecke ziehen, wenn er dabei pro Zug entweder ein Feld nach rechts, ein Feld nach oben
oder ein Feld (diagonal) nach rechts-oben ziehen darf?
Bitte wenden!
Aufgabe 6.4
Gegeben sei die Folge (bn )n∈N0 , die durch
b0 := 2 und bn+1 := 3bn + 4n
definiert ist. Finden Sie eine explizite Formel für bn .
Gehen Sie wie folgt vor:
a) Setzen Sie B(x) :=
P∞
n
n=0 bn x
und zeigen Sie
B(x) =
2
x
+
1 − 3x (1 − 4x)(1 − 3x)
b) Benutzen Sie den Ansatz
x
α
β
=
+
(1 − 4x)(1 − 3x)
1 − 4x 1 − 3x
und bestimmen Sie geeignete α, β ∈ R. (Partialbruchzerlegung)
c) Leiten Sie mithilfe der Formel für die geometrische Reihe daraus die Formel für bn ab.
Abgabe: bis Freitag, 10:00 Uhr im dafür vorgesehenen Kasten im Untergeschoss.
Bitte verwenden Sie das gestellte Deckblatt
oder notieren Sie auf Ihrer Abgabe:
• Name(n), Vorname(n),
• Matrikelnummer(n) und
• Rückgabeübungsgruppe
Bitte geben Sie in Zweier- oder Dreiergruppen ab.