Zahlenfolgen - math.uni

ZahlenfolgenZahlenfolgen
Zahlenfolgen
Anna Rodenhausen
1
Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze?
2
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze?
# Linien
# Dreiecke
# Trapeze
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
0
1
3
6
10
5
6
15
3
Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze?
# Linien
# Dreiecke
# Trapeze
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
0
1
3
6
10
5
6
15
4
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Wieviele Dreiecke, wieviele Trapeze?
Dreiecke
Trapeze
n
n+1
an
n+1
n+2
an+1 = an + n+1
1
2
5
Geschlossene und rekursive Formeln
n
0
1
2
3
4
5
...
an
0
1
3
6
10
15
...
Die Folge ist definiert durch die rekursive Formel
an= an-1 + n,
a0= 0.
Die Formel heißt rekursiv, weil die Definition des Folgegliedes an
vom vorhergehenden Folgenglied an-1 abhängt.
6
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Geschlossene und rekursive Formeln
n
0
1
2
3
4
5
...
an
0
1
4
9
16
25
...
Die Folge der Quadratzahlen ist gegeben durch
die geschlossene Formel
an = n 2 .
Die Formel für an heißt geschlossen, weil sie nur
vom Index n abhängt.
7
Quadratzahlen
n
1
2
3
4
5
6
...
qn
1
4
9
16
25
36
...
8
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Quadratzahlen
Rekursive Formel
Geschlossene Formel
qn = n2
n=1
n=2
qn = qn-1 + 2(n-1) + 1
q1 = 1
n=3
n=4
n=5
9
Dreieckszahlen
n
1
2
3
4
5
6
...
dn
1
3
6
10
15
21
...
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
10
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Dreieckszahlen
Rekursive Formel
Geschlossene Formel
d n = d n!1 + n
d1 = 1
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
11
Dreieckszahlen
Rekursive Formel
Geschlossene Formel
d n = d n!1 + n
dn =
d1 = 1
n=1
n=2
n=3
n=4
n(n + 1)
2
n=5
12
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Summe der natürlichen Zahlen
Gesucht ist die 100.
Dreieckszahl!
1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100
= 5050
Carl Friedrich Gauss
1777-1855
13
Summe der natürlichen Zahlen
1
+
2
100 = 101
+
98
= 101
.....
+
= 101
.....
3
99
50 + 51
= 101
1 + 2 + 3 + ... + 100 =
100·101
=
2
50 * 101 = 5050
14
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Dreiecks- und Quadratzahlen
Wenn man zwei
aufeinanderfolgende
Dreieckszahlen addiert,
erhält man eine
Quadratzahl.
dn + dn-1 = n2
dn + dn-1 = qn
n
0
1
2
3
4
5
...
dn
0
1
3
6
10
15
...
15
Dreiecks- und Quadratzahlen
dn + dn-1 = n2
dn + dn-1 = qn
d n + d n!1 =
Wenn man zwei
aufeinanderfolgende
Dreieckszahlen addiert,
erhält man eine
Quadratzahl.
n(n + 1) (n ! 1)n
+
= n2
2
2
16
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Die Folge der Nicht-Quadratzahlen
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
1 2
3 4 5 6
7
8
9 10 11 12
13 14 15 16...
Gibt es für die Folge aller natürlichen Zahlen, die
keine Quadratzahl sind, eine Formel?
Ist sie geschlossen oder rekursiv?
!1
#
un = n + ! + n #
"2
$
Arbeitsblatt
17
Primzahlen zwischen 1 und 100
2
3
5
7
11
13
31
23
17
19
43
37
29
41
61
53
47
71
73
83
67
59
97
79
89
18
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Die Folge der Primzahlen
Es gibt unendlich viele Primzahlen, doch
eine Formel ist nicht bekannt.
Angenommen, es gäbe nur endlich viele
Primzahlen, nämlich n Stück
p1, p2, ..., pn.
Betrachte:
P = p1·p2· ... ·pn + 1
Euklid von Alexandria
ca. 325-265 v. Chr.
19
P = p1·p2· ... ·pn + 1
Annahme:
a) P ist eine Primzahl
Dann haben wir einen Widerspruch zur Annahme, dass es nur n
Primzahlen gibt.
b) P ist keine Primzahl
Dann muss P durch eine der Zahlen pk teilbar sein.
Dann ist aber auch die Differenz P - p1 · p2 · ... ·pn = 1 durch pk
teilbar.
Damit wäre aber 1 durch pk teilbar. Widerspruch!
Also, wenn P keine Primzahl ist, muss es eine neue Primzahl geben.
Dann haben wir wieder einen Widerspruch zur Annahme, dass es
nur n Primzahlen gibt.
20
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Arithmetische und geometrische Prozesse
21
Arithmetische Prozesse
1
7
5
3
3
9
7
5
an+1 = an + 2
n
0
1
2
3
4
5
...
an
1
3
5
7
9
11
...
22
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Arithmetische Prozesse
a0 + m
an+1 = an + m
a0
6
5
Die Folgenglieder einer
arithmetischen Folge liegen
auf einer Geraden.
4
3
2
1
0
1
an+1 - an = m
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
23
Die arithmetische Reihe
n
0
1
an
a0
a0 + d
sn =
+
a0
(
) (
2
3
4
5
...
a0 + 2d a0 + 3d a0 + 4d a0 + 5d
( a0 + d )
+
) (
( a0 + 2d )
)
...
(
+... + a0 + nd
sn = a0 + nd + a0 + (n ! 1)d + a0 + (n ! 2)d + ... +
(
(
)) (
(
)) (
(
))
(
)
a0
(
2sn = a0 + a0 + nd + a0 + a0 + nd + a0 + a0 + nd + ... + a0 + a0 + nd
(
2sn = (n + 1) a0 + an
sn =
(
(n + 1) a0 + an
)
)
))
2
24
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Geometische Prozesse
1
8
4
2
16
2
8
4
an+1 = an * 2
n
0
1
2
3
4
5
...
an
1
2
4
8
16
32
...
25
Geometische Prozesse
a0 * q
an+1 = an * q
a0
35
30
25
20
15
10
5
0
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
q>1
7
8
9
10 11
an+1 /an = q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11
q<1
26
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Zenon‘s Paradoxon
Zenon von Elea
495 bis 430 v. Chr.
1/2
1/4
1/8
1/16
27
Zenon‘s Paradoxon
1
2
=
1
2
1
1
+
2
4
=
3
4
1
1
1
+
+
2
4
8
=
1
1
1
1
+
+
+
2
4
8
16
1/2
Länge der bereits
zurückgelegten
Strecke.
7
8
15
=
16
1/4
1/8
1/16
28
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Zenon‘s Paradoxon
1
2
1
4
Länge der noch
verbleibenden
Strecke.
1/2
1/4
1
8
1
16
1/8
1/16
29
Geometrische Reihe
1 1 1 1 1
1
+ + + + +
+ ...
1 2 4 8 16 32
2
1+
3
4
5
! 1$ ! 1$
! 1$
1 ! 1$
+
+ # & + # & + # & + ...
2 #" 2 &%
" 2% " 2%
" 2%
allgemein:
1 + q + q 2 + q 3 + q 4 + q5 +
Lassen sich unendlich viele Potenzen
von q aufsummieren?
30
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Geometrische Reihe
sn = 1 + q + q2 + ... + qn
q + q2 + ... + qn + qn+1
q*sn =
- qn+1
sn – q*sn = 1
sn(1-q) = 1- qn+1
sn =
1 - qn+1
1-q
31
Geometrische Reihe
sn = 1 + q + q2 + ... + qn
wenn q<1 ist,
wenn q>1 ist.
1
1-q
wenn q<1 ist,
8
sn
11-q
0
8
sn =
qn+1
wenn q>1 ist.
32
ZahlenfolgenZahlenfolgen
Zenon‘s Paradoxon
Zenon von Elea
495 bis 430 v. Chr.
1
1
1
1
+
+
+
+ ... = 1
2
4
8
16
1/2
1/4
1/8
1/16
33
Die unendliche geometrische Reihe
s = 1 + q + q2 + ... + qn+...
Also: Werden bei der geometrischen Reihe die einzelnen
Summanden kleiner, so ergibt die unendliche Reihe einen
endlichen Wert.
Verallgemeinerung
?
Werden die einzelnen Summanden (irgendwie) kleiner, so
ergibt eine unendliche Reihe einen endlichen Wert.
34