Blatt 8

Blatt 8
Frühlingssemester 2010
Aufgabe 1
Wegen eines Stromausfalls macht eine Polizeistreife eine Runde in einem stockfinsteren Wohnquartier. Sie beobachten einen Lichtpunkt, der sich verdächtig bewegt – irgenwie geometrisch!
Mit einem Scheinwerfer hätten sie etwa Folgendes gesehen:
Die Taschenlampe war während des Falls genau in der Mitte der Leiter. Was für eine Kurve
haben die Polizisten gesehen? Warum?
Aufgabe 2
In einem Kreis C mit einem grossen Radius r (r > 10) betrachtet man alle Sehnen der Länge 10.
Die Mittelpunkte der Sehnen beschreiben dabei eine zweiten Kreis D. Wie gross ist die Fläche
zwischen C und D?
Aufgabe 3
Es gibt viele Beweise für den fundamentalen Satz am Kreis:
Satz 1 (Umfangswinkelsatz)
Der Winkel γ = ∠BCA auf dem Kreis
über der Strecke AB ist immer gleich
dem halben Mittelpunktswinkel
δ = 21 ∠BM A.
Mit anderen Worten: Die Ortslinie aller
Punkte, von denen aus die Strecke AB
unter demselben Winkel erscheint, ist
der Fasskreis.
Verschieben des Dreiecks ∆ABM längs der Strecke M C ergibt einen einfachen und eleganten
Beweis. Wie? Funktioniert der Beweis auch noch, wenn C unterhalb von AB zu liegen kommt?
Oder wenn AB ein Durchmesser ist?
Aufgabe 4
Zur Erinnerung: Stimmen zwei Dreiecke in zwei (und damit drei) Winkeln überein, dann sind
sie ähnlich. In dem Fall haben entsprechende Strecken (z.B. Seiten, Höhen, Winklhalbierende,
Umkreisradien, Umfänge, . . .) das gleiche Längenverhältnis. Finden Sie jeweils alle ähnlichen
Dreiecke in den folgenden Figuren.
Bemerkungen:
• Sie müssen nicht alle sechs Figuren behandeln – suchen Sie sich einige aus, die Sie ansprechen. Wenn
Sie das Thema erst kürzlich oder sehr ausführlich behandelt haben, können Sie die Aufgabe auch ganz
überspringen.
• In der Figur a) ist die Strecke DE zu lang gezeichnet.
Aufgabe 5
Heron (ca. 75 nach Chr.) war ein Mathematiker aus Alexandria, dem heutigen Ägypten. Schon Archimedes kannte
die Formel, die seinen Namen trägt – von Heron stammt der erste überlieferten Beweis gegeben. Die Formel erlaubt
es, eine Dreiecksfläche zu berechnen, auch ohne eine Höhe oder einen Winkel zu kennen.
Satz 2 (Formel von Heron)
Ist
a+b+c
s=
2
der halbe Umfang eines Dreiecks, so hat
das Dreieck den Flächeninhalt
p
A = s(s − a)(s − b)(s − c)
Den Beweis führen wir in vier Schritten:
1. Schritt: Wir definieren
x = s − a, y = s − b und z = s − c.
Zeigen Sie, dass
a = y + z, b = x + z, c = x + y und
s = x + y + z gilt. Zeigen Sie ausserdem,
dass x, y und z die Streckenlängen
zwischen den Eckpunkten und den
Berührpunkten des Inkreises sind (vgl.
die Figur rechts).
2. Schritt: Warum verlaufen die
WInkelhalbierenden durch den
Inkreismittelpunkt?
Zeigen Sie, dass für die Fläche A = rs
gilt, dabei ist r der Radius des
Inkreises.
Wenn Sie nicht weiterkommen – auf der
nächsten Seite steht ein Hinweis.
3. Schritt: Zeigen Sie, dass ein
Rechteck wie in der nebenstehenden
Figur existiert und folgern Sie:
xyz = r2 (x + y + z) = r2 s
Auch hier steht auf der nächsten Seite ein
Hinweis.
4. Schritt: Kombinieren Sie die letzten beiden Schritte und schliessen Sie A2 = xyzs. Wieso
folgt daraus die Formel von Heron?
Der Hinweis zu Schritt 2: Fügen Sie die sechs Dreiecke zu einem Rechteck mit den Seitenlängen r und s zusammen.
Der Hinweis zu Schritt 3: Verifizieren Sie, dass jedes der vier Dreiecke ähnlich zu einem der Dreiecke aus der Figur
aus Schritt 2 ist.
Aufgabe 6
Ein Kreis B hat den halben
Durchmesser eines Kreises C und
berührt ihn in einem Punkt P .
Wenn B auf C abrollt - was für eine
Kurve beschreibt dann P ? Beweis?
* Aufgabe 7
Das ist eine Verallgemeinerung der klassischen ”Fallende-Leiter-Problems”, vgl. Aufgabe 1. Man
fixiert einen Punkt auf dem Thaleskreis über der abrutschenden Leiter. Was für eine Kurve
beschreibt der Punkt, wenn die Leiter (mitsamt Thaleskreis) abrutscht?