Zentri- und Peripheriewinkel Thaleskreis

Mittelpunkt- und Peripheriewinkel (Der Satz von Thales)
Gegeben ist ein Kreis mit Mittelpunkt M . Ferner sind drei Punkte auf dem Kreis. Die drei
Punkte bilden mit dem Mittelpunkt ein Viereck.
β
ε
2
δ
2
●
δ
1
α
β
ε
1
ε
2
γ●
α
ε
1
δ
Figur 2
Figur 1
Es gilt die Behauptung
2 
.
Der Mittelpunktwinkel ist doppelt so groß wie der Peripheriewinkel.
Wir beweisen die Aussage für die Figur 1.
Dazu entnehmen wir der Figur folgende Aussagen:
2 2 
II. 
 
1 
2
1 
2

III. 
) 1 360
1 (360 
I.
IV.
2 3602 360
V.
360 360


360
(Die beiden Dreiecke sind gleichschenklig.)
(Die Innenwinkelsumme im Viereck beträgt 360°.)
(II. in III. eingesetzt)

(I. in IV. eingesetzt)
2 
0  2 

Wir beweisen die Aussage für die Figur 2.
Dazu entnehmen wir der Figur folgende Aussagen:
1 2  2 


II. 
2 180 
1 
2 180
I.
III.
(Die Dreiecke sind gleichschenklig.)
(Innenwinkelsumme im Dreieck)
2 2 1802 2 180 (I. in II. eingesetzt.)
2 
0  2 

(2. Gleichung in III. minus 1. Gleichung in III.)
Damit sind beide Fälle bewiesen.
Ein Spezialfall ist
Satz von Thales:
180 (gestreckter Winkel). In diesem Fall ist 90.
Jeder Peripheriewinkel über dem Halbkreis beträgt 90°.
Bemerkung: Ein Mittelpunktwinkel heißt auch Zentriwinkel.
Dr. rer. nat. habil. Gert Hillebrandt