Blatt 07 - 5. Physikalisches Institut

Fortgeschrittene Atomphysik I
WS 2013/2014
Prof. Dr. Tilman Pfau
5. Physikalisches Institut
Übungsblatt 7
Besprechung: 22./23. Januar 2014
Aufgabe 1:
Paul-Falle und Ionen-Qubits
30(8,4,4,7x2) Punkte
Neben der in der Vorlesung besprochenen Penning-Falle wird die Paul-Falle zum Fangen geladener
Teilchen verwendet. Bei dieser Falle wird ein zeitabhängiges elektrisches Quadrupol-Feld verwendet.
a) Betrachten Sie ein Teilchen (Ladung q, Masse m) im elektrischen Quadrupolpotential φ(r, z, t) =
U0 ·sin (ωt)
r2 − 2z 2 , wobei U0 die Amplitude und ω die Frequenz der angelegten Wechselspan2r02
nung sind und r0 ein Geometriefaktor ist. Die Newtonschen Bewegungsgleichungen für das Teilchen lauten:
∂2
q ∂
r(t) = −
φ(r, z, t)
2
∂t
m ∂r
q ∂
∂2
z(t) = −
φ(r, z, t)
2
∂t
m ∂z
(1)
(2)
(3)
Lösen Sie die Bewegungsgleichungen numerisch und tragen Sie die Trajektorie in der r −z-Ebene
auf. Wählen Sie hierzu unterschiedliche Werte für die Potentialparamter sowie die Startparameter.
In der Praxis werden oft lineare Paul-Fallen eingesetzt, bei denen ein starker transversaler Einschluss durch ein Quadrupol-Wechselfeld (wie im vorherigen Aufgabenteil) erreicht wird. Die axiale
Falle hingegen wird durch ein statisches Feld erzeugt, was normalerweise zu einer viel schwächeren
Falle führt. Wenn mehrere Ionen gleichzeitig gefangen werden, ordnen sich diese daher zu einer eindimensionalen Ionenkette an. Im Folgenden sollen zwei Rechnungen zu Ionen in solch einer Kette durchgeführt werden. Betrachten Sie dazu das eindimensionale harmonische Potential
(EHO = 21 mω 2 x2 ) und behandeln Sie die Ionen als klassische Teilchen. Berücksichtigen Sie die
Coulombabstoßung der Teilchen.
b) Bestimmen Sie die maximale Fallenfrequenz, bei der 2 Ca+ Ionen optisch noch gut aufgelöst
werden können.
c) Berechnen Sie die Abstände von 4 Ca+ Ionen in einer Falle mit ω/(2π) = 50 MHz Fallenfrequenz.
Die Paul-Falle wird zum Fangen und Speichern einzelner oder weniger Ionen für die Quanteninformationsverarbeitung eingesetzt. Verschiedene Fallen-Realisationen und Anwendungsbeispiele sind
im Artikel
Rainer Blatt: Ionen in Reih und Glied“, Physik Journal 4 (2005) Nr. 11
”
beschrieben.
d) Lesen Sie diesen Artikel und beantworten Sie die folgenden Fragen:
1
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Wie werden die Ionen in der Falle beobachtet?
Was ist ein Qubit? Wie wird ein Qubit mit gefangenen Ionen realisiert?
Wie werden Einzel-Qubit-Operationen realisiert?
Was ist ein verschränkter Zustand? Was sind Bell-Zustände?
Was ist ein CNOT-Gatter?
Wie werden 2-Qubit Operationen realisiert?
Was ist Quantenteleportation?
(Weitere Übersichts-Artikel zu diesem Thema sind: J. Ignacio Cirac und Peter Zoller: Qubits,
”
Gatter und Register“, Physik Journal 4 (2005) Nr. 11 und Dominik Janzing: Mit Quanten ist
”
zu rechnen“, Physik Journal 4 (2005) Nr. 11)
Aufgabe 2:
Rabioszillation eines 2-Niveau Systems
30(2,2,4,6,8,8) Punkte
Gegeben ist ein 2 Niveau-Atom mit den Zuständen |gi und |ei. Die Eigenenergien sind durch den
atomaren Hamiltonoperator H0 gegeben mit H0 |gi = ~ωg und H0 |ei = ~ωe . Die beiden Zustände
werden nun durch ein Lichtfeld mit dem Wechselwirkungshamiltonoperator Hi = −d · E cos(ωL t −
k · r ) aneinander gekoppelt. Dabei ist d der Dipoloperator, E das elektrische Feld, ωL die Laserfrequenz und k der Wellenvektor.
a) Als Lösungsansatz wird |ψ(t)i = cg (t)|gi + ce (t)|ei gewählt. Dabei wurde die gesamte Zeitabhängigkeit in die Koeffizienten cg und ce verschoben. Setzen Sie dies in die Schrödingergleichung
i~ψ̇ = (H0 + Hi )ψ ein und multiplizieren Sie von links jeweils mit hg| bzw. he| um folgendes
Ergebnis zu erhalten:
i~c˙g = ~ωg cg + hg|Hi |eice
i~c˙e = ~ωe ce + he|Hi |gicg
b) In der sogenannten Dipolapproximation wird der Wechselwirkungsterm h..|Hi |..i durch
−E 21 eiωL t + e−iωL t h..|er |..i angenähert. Was bedeutet diese Näherung physikalisch?
c) Um die beiden gekoppelten Differentialgleichungen aus Aufgabenteil a) zu lösen wird folgender
Ansatz gewählt:
cg (t) = ceg (t)e−iωg t
ce (t) = cee (t)e−iωe t
Setzen Sie dies in die Gleichungen aus Aufgabenteil a) ein und ermitteln Sie die neuen gekoppelten Gleichungen für ceg und cee .
d) Zur weiteren Vereinfachung wird ωg −ωe = ωge und ωL −ωge = ∆ gesetzt. Desweiteren werden in
der sogenannten Rotating Wave Approximation (RWA) die Terme mit ωL + ωge vernachlässigt.
Was bedeutet dies physikalsich? Zeigen Sie, dass sich damit folgende Gleichungen ergeben:
ce˙g (t) = − 2i Ωei∆t cee (t)
ce˙e (t) = − 2i Ω∗ e−i∆t ceg (t)
Dabei ist Ω = −E · d ge /~ die sogennante Rabifrequenz.
e) Lösen Sie die Differentialgleichung aus Aufgabenteil d) für reelle Rabifrequenzen (Ω = Ω∗ ) und
plotten Sie für verschiedene Ω und ∆ die Wahrscheinlichkeiten das Atom zur Zeit t im Zustand
|gi bzw. |ei zu finden. Nehmen Sie dazu an, dass cg (t = 0) = 1 und ce (t = 0) = 0. (Gute Werte
sind Ω, ∆, t = 0..10)
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f) Um alle Atome aus dem Zustand |gi in den Zustand |ei zu befördern kann man die Adiabatic Rapid Passage-Methode benutzen. Dabei wird bei konstanter Kopplung Ω das Detuning
kontinuierlich von −∆ zu +∆ verfahren. Lösen sie die gekoppelten Gleichungen numerisch für
verschieden schnelle Frequenzrampen ∆ = a · t. Gute Werte sind zum Beispiel t = −10..10
(cg (t = −10) = 1) und a, Ω = 0..10. Stellen Sie Ihre Ergebnisse graphisch dar.
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