Informationen zur Lernstandserhebung 2005 in Mathematik

Informationen zur Lernstandserhebung 2005
in Mathematik
Übersicht
Vorbemerkungen
Was ist anders als bei der Lernstandserhebung Mathematik 2004?
Schwerpunkt 2005: Problemlösen
Beispielaufgaben zum Problemlösen
• Grundstücke (Schwerpunkt im Inhaltsbereich Geometrie)
• Traktor (Schwerpunkt im Inhaltsbereich Funktionen)
• Zahlscheibe (Schwerpunkt im Inhaltsbereich Arithmetik / Algebra)
• Zahlen finden (Schwerpunkt im Inhaltsbereich Stochastik)
Vorbemerkungen
Mathematische Grundbildung – im Sinne der Bildungsstandards und der Kernlehrpläne – zeigt sich im
Zusammenspiel prozessbezogener und inhaltsbezogener Kompetenzen. Die Kernlehrpläne Mathematik für
das Land NRW weisen diese fachbezogenen Kompetenzen in 8 Bereichen aus.
fachbezogene Kompetenzen
prozessbezogene Kompetenzen
Argumentieren
Argumentieren und
Kommunizieren
Problemlösen
Modellieren
Werkzeuge
Probleme erfassen,
erkunden und lösen
Modelle erstellen
und nutzen
Medien und Werkzeuge
verwenden
inhaltsbezogene Kompetenzen
Arithmetik/
Algebra
Funktionen
Geometrie
Stochastik
mit Zahlen und
Symbolen umgehen
Beziehungen und Veränderung
beschreiben und erkunden
ebene und räumliche Strukturen
nach Maß und Form erfassen
mit Daten und Zufall arbeiten
Die inhaltsbezogenen Anforderungen entsprechen weitgehend denen der „alten“ Lehrpläne, die bis
einschließlich Schuljahr 2006/07 noch in einigen Klassenstufen gültig sind. In den Kernlehrplänen sind
diese konkretisiert und auf Wesentliches – also einen Kern – reduziert. Auch die prozessbezogenen
Kompetenzen waren bereits in den alten Lehrplänen enthalten. In den Kernlehrplänen sind diese nun
ebenfalls konkretisiert und werden gleichberechtigt zu den inhaltsbezogenen Kompetenzen dargestellt und
behandelt.
Lernstandserhebungen dienen der Überprüfung von Standards; sie sind also ein Instrument der
Standardsicherung. Sie geben Schulen Gelegenheit zu evaluieren, in welchem Maße sie den Ansprüchen
der Kernlehrpläne bereits gerecht werden.
Generell hat man sich in Nordrhein-Westfalen darauf verständigt, nicht die gesamte Breite eines Faches in
einer Lernstandserhebung abzudecken. Stattdessen wird ein Akzent auf ausgewählte Teilleistungsbereiche
gesetzt, die von Jahr zu Jahr wechseln. Diese Entscheidung wurde nicht zuletzt deshalb getroffen, weil für
die Durchführung nur ein eingeschränkter Zeitrahmen zur Verfügung steht.
Was ist anders als bei der Lernstandserhebung Mathematik 2004?
1. Schwerpunktverschiebung: Problemlösen
In der Lernstandserhebung 2004 wurde der Schwerpunkt in Mathematik auf den Kompetenzbereich
Modellieren gelegt. Generell gilt: Die vier Inhaltsbereiche werden in allen Lernstandserhebungen für den
9. Jahrgang möglichst gleichberechtigt behandelt. Von den vier Prozessbereichen soll in den nächsten
Jahren jeweils einer in den Fokus genommen werden:
Lernstandserhebung 2004: Modellieren
Lernstandserhebung 2005: Problemlösen
Lernstandserhebung 2006: Argumentieren
Lernstandserhebung 2007: Werkzeuge
Auf den Bereich, der im Schwerpunkt steht, entfällt ungefähr die Hälfte der Testitems. Die andere Hälfte
bezieht sich auf die übrigen prozessbezogenen Bereiche.
2. Geändertes Auswertungsverfahren
Zusätzlich zu den Kategorien richtig, falsch und nicht gelöst können bei einem Teil der Aufgaben
Teillösungen gewertet werden. Dabei gibt es pro Aufgabe maximal 3 Kategorien (TA, TB, TC), mit denen
Teillösungen erfasst werden können. Diese Kategorien sind nicht gestuft, sondern unabhängig voneinander
(siehe auch Beispiele). Grund für die fehlende Stufung ist die Tatsache, dass verschiedene Fehlertypen
nicht gegeneinander gewichtet werden können. Exemplarisch stelle man sich die Frage, ob ein
Rechenfehler mehr in das Gewicht fällt als ein Fehler beim Abschreiben der Werte aus einer Aufgabe.
B
Die Kategorien geben Hinweise auf typische Schülerfehler und erlauben – bezogen auf die eigene
Lerngruppe – eine vertiefende Analyse des Lernstands von Klassen.
Die Kodierungspläne für die einzelnen Aufgaben gestalten sich also wie folgt:
R:
TA, TB oder TC:
N:
F:
B
Die Aufgabe ist richtig gelöst.
Die Aufgabe ist teilweise richtig gelöst.
Die Aufgabe ist nicht bearbeitet.
Die Aufgabe ist falsch gelöst.
Die Kodierung N ist immer dann zu wählen, wenn die Schüleraufzeichnung keinerlei Bezug zur
Aufgabenlösungen aufweisen. Das gilt vor allem, wenn nichts notiert wurde.
Die Kodierung F ist immer dann zu wählen, wenn die Kodierungen R, TA, TB, TC und N nicht zutreffen.
Die anderen Kodierungen werden für jede Aufgabe erörtert.
B
3. Verbessertes Rückmeldeverfahren
Die Rückmeldung erfolgt – wie in der Lernstandserhebung 2004 – auf zwei Ebenen: Aufgaben- bzw.
Itemebene und Kompetenzebene. Auf Aufgabenebene werden verschiedene Aufgaben gleicher
Inhaltskategorie im Verbund dargestellt. Zusätzlich zu den relativen Lösungshäufigkeiten und den
Referenzwerten wird in der Lernstandserhebung 2005 eine zusammenfassende Darstellung darüber
gegeben, wie die Aufgaben inhaltlich zusammenhängen und auf welche Aufgaben man den Fokus bei der
Diskussion der Ergebnisse (z.B. in Konferenzen) legen kann. Das betrifft vor allem den Bereich
Stochastik, da die Lösungshäufigkeiten im letzten Jahr hier besonders niedrig waren. Die aufgaben- und
kompetenzbezogenen Rückmeldungen erfolgen für die Lernstandserhebung 2005 zeitgleich.
4. Geändertes Verfahren bei der Parallelversion (Heft A1/A2 bzw. Heft B1/B2)
Lernstandserhebungen müssen einer breiten Heterogenität der Leistungen innerhalb einer Schulform und
zwischen den Schulformen gerecht werden.
Dieser Tatsache wird mit unterschiedlichen Testversionen – A und B – entsprochen: Es werden zwei
Aufgabensätze eingesetzt. Beide Testversionen enthalten einen gemeinsamen Aufgabenteil (mittlerer
Anforderungsbereich). Darüber hinaus umfasst Testversion A Aufgaben mit geringeren Anforderungen,
Testversion B Aufgaben mit höheren Anforderungen. Testversion A ist für den Einsatz in Hauptschulen
und in den Grundkursen der Gesamtschulen konzipiert, Testversion B für den Einsatz in Realschulen, in
den E-Kursen der Gesamtschulen und in Gymnasien.
Im Gegensatz zur Lernstandserhebung 2004 wird von jeder Version (A oder B) in einer Klasse bzw. einem
Kurs nur ein Heft versendet. Das Heft ist in der Mitte geteilt und die Seiten sind um 1800 gedreht gesetzt.
Das bedeutet, dass das Heft nach der Hälfte der Bearbeitung gedreht werden muss. Bei der
Lernstandserhebung bietet dieses Verfahren den Vorteil, dass ein Teil der Schülerinnen und Schüler das
Heft von vorne (A1) und der andere Teil von hinten (A2) zu bearbeiten beginnt. Schülerinnen und Schüler,
die mit A2 bzw. B2 beginnen, sind für die Aufsichtsperson gut zu erkennen, da diese Heftteile an den
Ecken markiert sind. So kann auf einen Blick eingeschätzt werden, ob nebeneinander sitzende
Schülerinnen bzw. Schüler überhaupt voneinander abschreiben können.
Lernstandserhebung 2005: Schwerpunkt Problemlösen
Die Kernlehrpläne beschreiben den Bereich Problemlösen wie folgt:
Problemlösen
Probleme erfassen, erkunden und lösen
Schülerinnen und Schüler strukturieren und lösen inner- oder außermathematische Problemsituationen, in
denen ein Lösungsweg nicht unmittelbar erkennbar ist bzw. bei denen nicht unmittelbar auf erlernte
Verfahren zurückgegriffen werden kann.
• Sie geben inner- und außermathematische Problemstellungen mit eigenen Worten wieder,
erkunden sie, stellen Vermutungen auf und zerlegen Probleme in Teilprobleme.
• Sie nutzen verschiedene Darstellungsformen, mathematische Verfahren und Problemlösestrategien
wie Überschlagen, Beispiele finden, systematisches Probieren, Schlussfolgern, Zurückführen auf
Bekanntes und Verallgemeinern.
• Sie überprüfen und bewerten Lösungswege und Ergebnisse, auch die Möglichkeit mehrerer
Lösungen.
Problemlösen ist also – im gewissen Maße – auch ein kreativer Prozess. Schülerinnen und Schüler sollen
im Laufe ihrer Schulzeit lernen, mathematische Probleme systematisch und flexibel anzugehen. Dazu
gehört, dass sie ein gewisses Repertoire an Strategien kennen, die ihnen auch das Lösen komplexer
Probleme erlauben. Damit ist nicht das Lösen mathematischer Knobelaufgaben gemeint, bei denen man
meist nur durch Zufall Lösungen findet. Testaufgaben zum Problemlösen überprüfen vielmehr die
Fähigkeit der Schülerinnen und Schüler, auch unbekannte Probleme zu erkunden (z.B. Vorgehensweisen
zu planen und zu beschreiben), geeignete Strategien anzuwenden (z.B. Beispiele finden, Überschlagen, …)
bzw. die gewonnene Lösung in Bezug auf die Fragestellung zu reflektieren (z.B. Überprüfen von
Lösungswegen auf Schlüssigkeit).
Ähnlich wie im Bereich Modellieren gibt es verschiedene Niveaus, auf denen Problemlösen stattfindet.
Begonnen mit einfachsten Problemlöseaufgaben, die sich im Wesentlichen dadurch auszeichnen, dass den
Schülerinnen und Schülern kein Standardverfahren zur Lösung des Problems zur Verfügung steht, ergibt
sich eine Stufung bis hin zum Lösen komplexer Probleme, deren Lösung das systematische Ausprobieren
mehrerer Lösungsansätze und die Kenntnis vielfältiger Strategien erfordert. Die Lernstandserhebung trägt
dazu bei, ein empirisch fundiertes Kompetenzniveaumodell zu gewinnen, das Hinweise liefert, wie man
Problemlösekompetenz von Schülerinnen und Schülern im Mathematikunterricht gezielt fördern kann.
Bei der Konstruktion von Testaufgaben mussten – ähnlich wie im Bereich Modellieren – komplexe
Problemlösungsprozesse aufgebrochen werden, um die verschiedenen Facetten des Problemlösens in Form
von handhabbaren Testaufgaben zu erfassen.
Beispielaufgaben zum Problemlösen
Im Folgenden werden die vier Aufgaben
• Grundstücke (Schwerpunkt im Inhaltsbereich Geometrie)
• Traktor (Schwerpunkt im Inhaltsbereich Funktionen)
• Zahlscheibe (Schwerpunkt im Inhaltsbereich Arithmetik / Algebra)
• Zahlen finden (Schwerpunkt im Inhaltsbereich Stochastik)
vorgestellt.
Bezüge der Aufgaben zum Kompetenzbereich Problemlösen
Teilbereich
Erkunden
Schülerinnen und Schüler
untersuchen Beziehungen bei Figuren
untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen
Lösen
nutzen elementare mathematische Verfahren zum Lösen anschaulicher
Alltagsprobleme
wenden die Problemlösestrategie „Überprüfen durch Probieren“ an
überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer Lösungen
oder Lösungswege
überprüfen und bewerten Ergebnisse durch Plausibilitätsüberlegungen
Reflektieren
Aufgabe
Grundstücke
Zahlscheiben b)
Zahlenfinden
Traktor a), b)
Zahlscheiben a)
Zahlscheiben c)
Traktor c)
Inhaltsbezogene Teilbereiche, die beim Lösen der Aufgaben eine Rolle spielen
Aufgabe
Grundstücke
Traktor a)
Kompetenzbereich
Geometrie
Funktionen
Traktor c)
Traktor b)
Zahlscheiben a)
Zahlscheiben b)
Zahlscheiben c)
Zahlen finden
Teilbereich
Messen
Anwenden
Interpretieren
Arithmetik/Algebra
Operieren
Anwenden
Stochastik
Auswerten
Schülerinnen und Schüler
bestimmen Flächeninhalte von Rechtecken
wenden die Eigenschaften von proportionalen
und antiproportionalen Zuordnungen sowie
einfache Dreisatzverfahren zur Lösung außerund innermathematischer Problemstellungen
an
erkunden Muster in Beziehungen zwischen
Zahlen und stellen Vermutungen auf
lösen lineare Gleichungen
führen Grundrechenarten aus
wenden ihre arithmetischen Kenntnisse von
Zahlen an
bestimmen arithmetisches Mittel und Median
Diese Auswahl von Aufgaben kann über die Fähigkeiten von Schülerinnen und Schülern in den
inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen nur bedingt Auskunft geben, da die Beispiele zu wenig Items
enthalten.
Grundstücke
Wie groß sind die rechts abgebildeten
Grundstücke A, B und C?
23 m
A
Berechne jeweils den Flächeninhalt!
B
40 m
C
43 m
Platz für Berechnungen:
Ergebnis:
Der Flächeninhalt von Grundstück A beträgt
m².
Der Flächeninhalt von Grundstück B beträgt
m².
Der Flächeninhalt von Grundstück C beträgt
m².
41 m
36 m
30 m
20 m
B
40 m
Bezug zum Kernlehrplan:
Kompetenzbereich
Teilbereich
Schülerinnen und Schüler
Geometrie (Jg. 6)
Messen
bestimmen Flächeninhalte von Rechtecken
Problemlösen
Erkunden
untersuchen Beziehungen bei Figuren
Lösung:
Der Flächeninhalt von Grundstück A beträgt
1200
m².
Der Flächeninhalt von Grundstück B beträgt
1040
m².
Der Flächeninhalt von Grundstück C beträgt
1048
m².
Kodierungsplan:
R:
TA:
TB:
N:
F:
B
Alle drei Flächeninhalte wurden richtig angegeben.
Genau zwei der drei Flächeninhalte wurden korrekt angegeben.
Nur der Flächeninhalt von Grundstück A wurde richtig angegeben.
Es wurde nichts notiert.
R, TA, TB und N treffen nicht zu.
B
Hinweis:
Um den Flächeninhalt von Grundstück A zu bestimmen, muss lediglich die Fläche eines Rechtecks
berechnet werden, dessen Seitenlängen explizit gegeben sind. Teillösung TB erfasst also diejenigen
Schülerinnen und Schüler, denen es zwar gelingt Flächeninhalte von Rechtecken zu berechnen, die aber
nicht die Beziehungen zwischen den Figuren erkennen. Schülerinnen und Schülern, die sich bei der
Bestimmung der Flächeninhalte verrechnen, wird Teillösung TA gerecht. Man schließt also in diesem Fall
aus der Angabe von zwei korrekten Lösungen auf das Erkennen einer Strategie zur Bestimmung der
fehlenden Maße. Insofern haben die Kodierungen R und TA eine andere Qualität als die Kodierung TB.
B
B
Grundstücke – Erläuterungen zur Aufgabe
Allgemeine Hinweise:
Zur Lösung dieser Aufgabe sind lediglich geometrische Grundkenntnisse aus den Jahrgangsstufen 5 und 6
notwendig. Darüber hinaus erfordert die Berechnung der Flächen B und C Problemlösekompetenzen. Die
Schülerinnen und Schüler müssen die vorgegebene Abbildung zunächst erkunden, indem sie Beziehungen
zwischen den einzelnen Figuren und Maßen herstellen. Eine Zerlegung der Grundstücke in Teilflächen ist
Bestandteil der Lösung.
Es gibt mehrere alternative Lösungswege. So können die vorhandenen Grundstücke in Teilrechtecke
zerlegt werden, deren Flächen dann einzeln berechnet und schließlich addiert werden. Alternativ wäre auch
eine Erweiterung der Grundstücke auf größere (sich überlappende) Rechtecke denkbar, wobei die
entstandenen Flächen dann jeweils um den „zuviel berechneten Teil“ reduziert werden müssten.
Die Berechnung der Grundstücksfläche C setzt (im Vergleich zur Fläche B) mehrere Erkundungsschritte
voraus. Diese Abstufung ist intendiert. So müssen zur Berechnung auch nicht offensichtliche
Informationen aus dem rechten Teil der Abbildung sinnvoll herangezogen und kombiniert werden.
Mögliche Schülerfehler:
Insbesondere bei der Flächenberechnung zum Teil A fallen gelegentlich einfache Rechenfehler in der
Multiplikation (z. B. „30 m · 40 m = 120 m²“) auf. Prinzipielle Probleme in der Flächenberechnung beim
Rechteck sind eher selten.
Ebenso werden Maßangaben fehlerhaft in Beziehung gesetzt oder „aktionistisch“ durch willkürliche
Rechenoperationen miteinander verknüpft. Solche Fehler lassen nach erfolgreicher Bewältigung von Teil
A nicht auf fehlende geometrische Kenntnisse, sondern auf Schwächen bzw. Defizite in der
Problemlösekompetenz (Erkunden) schließen.
Hinweise zur Weiterarbeit:
Die Diskussion verschiedener Lösungswege im Unterricht ist für die Erklärenden und die Zuhörer
gleichermaßen gewinnbringend. Die Zuhörer erweitern ihr Repertoire und lernen Strategien kennen, die sie
selbst in dieser Form nicht angewendet hätten. Die Erklärenden schulen ihre Fähigkeit, mathematische
Sachverhalte mit Hilfe von Sprache und Abbildungen zu kommunizieren.
Vorschlag für den Unterricht:
Den Schülerinnen und Schülern werden aus Karopapier ausgeschnittene Rechtecke gegeben. Diese werden
so übereinander gelegt, dass Teilflächen entstehen. Die Lernenden sollen darstellen, wie die einzelnen
Flächeninhalte berechnet werden können. Dabei sollte betont werden, dass es verschiedene Möglichkeiten
zur Lösung gibt: Man unterteilt Flächen in rechteckige Teilflächen und berechnet diese einzeln. Man stellt
sich das gesamte Rechteck vor und zieht die überlappenden Teilflächen ab. In einem nächsten Schritt
können dann Rechtecke ohne Karos verwendet werden. Den Lernenden werden so die Strategien bewusst
gemacht.
Traktor
Ein Traktor hat vorne und hinten unterschiedlich große Räder. Die Hinterräder
haben einen Umfang von 6 m, die Vorderräder einen Umfang von 4 m. Der
Traktor fährt geradeaus.
a) Die Vorderräder haben sich 300mal gedreht. Wie oft haben sich dabei die Hinterräder gedreht?
Platz für Rechnungen:
Ergebnis:
Die Hinterräder haben sich auf dieser Strecke
mal gedreht.
b) Welche Strecke hat der Traktor zurückgelegt, wenn sich die Vorderräder 50mal mehr gedreht haben als
die Hinterräder? Notiere deine Rechnung!
Platz für Rechnungen:
Ergebnis:
Der Traktor hat dabei eine Strecke von
m zurückgelegt.
c) Johanna behauptet: „Nach einer bestimmten
Entfernung hat sich das Vorderrad doppelt so oft
gedreht wie das größere Hinterrad!“ Beate
benutzt eine Tabellenkalkulation (siehe rechts)
und argumentiert dann, dass dies nicht sein kann.
Wer hat Recht?
Beate:
Johanna:
Begründung:
a) Bezug zum Kernlehrplan:
Kompetenzbereich Teilbereich
Schülerinnen und Schüler
Problemlösen
Lösen
nutzen elementare mathematische Verfahren zum Lösen
anschaulicher Alltagsprobleme
Funktionen
Anwenden
wenden die Eigenschaften von proportionalen und
antiproportionalen Zuordnungen sowie einfache
Dreisatzverfahren zur Lösung außer- und innermathematischer
Problemstellungen an
Lösung:
Die Hinterräder haben sich auf dieser Strecke
200
mal gedreht.
Mögliche Rechnung:
Berechnung der zurückgelegten Strecke: 300 ⋅ 4m = 1200m
Berechnung der Umdrehungen der Hinterräder: 1200m:6m=200
oder:
Dreisatzverfahren:
4 m entsprechen 300 Umdrehungen.
1 m entsprechen 1200 Umdrehungen.
6 m entsprechen 200 Umdrehungen.
Kodierungsplan:
R: Das Ergebnis ist richtig.
N: Es wurde nichts notiert.
F: R und N treffen nicht zu.
b) Bezug zum Kernlehrplan:
Kompetenzbereich
Teilbereich Schülerinnen und Schüler
Problemlösen
Lösen
nutzen elementare mathematische Verfahren zum Lösen
anschaulicher Alltagsprobleme
Arithmetik/Algebra
Operieren
lösen lineare Gleichungen
Ergebnis:
Der Traktor hat dabei eine Strecke von
600
m zurückgelegt.
Mögliche Rechnungen:
1)
x ⋅ 6m = ( x + 50) ⋅ 4m
2m ⋅ x =200m
x =100
Das Hinterrad hat sich 100-mal gedreht, was bedeutet, dass eine Strecke von 600 m zurückgelegt
wurde.
2) Ansatz durch Probieren:
z.B. tabellarisch
Umdrehungen Hinterrad
Weg Hinterrad
Umdrehungen Vorderrad
Weg Vorderrad
1
6
51
204
20
120
70
280
70
420
120
480
100
600
150
600
3) Ansatz mithilfe proportionaler Rechnungen unter Rückgriff auf Aufgabe a):
z.B.
Umdrehungen Vorderrad Umdrehungen Hinterrad
Differenz
300
200
100
150
100
50
100 · 6 m = 600 m bzw. 150 · 4 m = 600 m
(Aufgabe a) )
Kodierungsplan:
R: Das Ergebnis ist richtig.
TA: Als Ergebnis wird die Anzahl der Umdrehungen (z. B. 100 oder 150) angegeben. Zusätzlich ist
erkennbar, dass die Schülerin bzw. der Schüler vergessen hat den letzten Schritt zur Berechnung
der zurückgelegten Distanz durchzuführen.
TB: Das Ergebnis ist zwar falsch, aus der Rechnung jedoch eindeutig ersichtlich, dass lediglich ein
Rechenfehler für das falsche Ergebnis verantwortlich ist.
TC: Das Ergebnis ist zwar falsch oder fehlt ganz, jedoch zeigen die Aufzeichnungen der Schülerin
bzw. des Schülers, dass ein tragfähiger Ansatz ausgewählt wurde, der voraussichtlich zu einem
richtigen Ergebnis geführt hätte.
N: Es wurde nichts notiert.
F: R, TA, TB, TC und N treffen nicht zu.
B
c) Bezug zum Kernlehrplan:
Kompetenzbereich Teilbereich
Schülerinnen und Schüler
Problemlösen
Reflektieren
überprüfen und bewerten Ergebnisse durch
Plausibilitätsüberlegungen
Funktionen
Interpretieren
erkunden Muster in Beziehungen zwischen Zahlen und stellen
Vermutungen auf
Lösung:
Beate:
Johanna:
In der Begründung muss nachvollziehbar der Gedanke enthalten sein, dass – unabhängig von der
Entfernung – das Vorderrad (vorausgesetzt das Fahrzeug fährt immer geradeaus) immer 1,5-mal so oft
dreht wie das Hinterrad.
Mögliche Begründung:
Man sieht in der Tabelle, dass in Spalte C immer das 1,5fache von Spalte A steht. Egal wie weit man
die Tabelle fortführt: an dieser Tatsache ändert sich nichts. Johanna muss also Unrecht haben.
Kodierungsplan:
R: Es ist Beate angekreuzt und die Begründung beinhaltet den oben skizzierten Gedankengang.
TA: Es ist Johanna oder nichts angekreuzt, die Begründung beinhaltet aber den oben skizzierten
Gedanken.
TB: Es ist Beate angekreuzt, die Begründung orientiert sich jedoch nur an der abgebildeten Tabelle mit
ihren Zahlenwerten. Eine darüber hinaus gehende Verallgemeinerung findet nicht statt.
TC: Es ist Beate angekreuzt und die Begründung ist falsch bzw. entspricht nicht den Kriterien von R
oder TB.
N: Es wurde nichts notiert.
F: R, TA, TB, TC und N treffen nicht zu.
B
B
B
Traktor – Erläuterungen zum Aufgabenteil a)
Allgemeine Hinweise:
Die Schülerinnen und Schüler müssen erkennen, dass der Umfang der Räder und die Anzahl der
Umdrehungen der Räder in einem antiproportionalen Verhältnis stehen. Der Charakter dieser Zuordnung
sollte sich Schülerinnen und Schülern möglichst elementar und anschaulich erschließen (KLP:
Problemlösen/Erkunden). Das unreflektierte Anwenden von Algorithmen aus dem Unterricht oder eine
unüberlegte arithmetische Verknüpfung vorgegebener Werte ist nicht zielführend.
Wie bei vielen Problemlöseaufgaben sind hier auch verschiedene Lösungswege möglich: funktionaler
Ansatz (antiprop. Zuordnungen), arithmetischer Ansatz mithilfe der zurückgelegten Wegstrecke als
Zwischenergebnis (KLP: Problemlösen/Lösen).
Mögliche Schülerfehler:
Manchmal wählen Schüler/innen einen proportionalen Ansatz für den Zusammenhang zwischen der
Anzahl der Umdrehungen und dem Umfang der Räder.
Hinweise zur Weiterarbeit:
Charakter von sachverhaltsgebundenen Zuordnungen (proportional / antiproportional / je mehr … desto
weniger / je mehr … desto mehr) anschaulich begründen und entsprechende Zuordnungen in der
Wirklichkeit angeben.
In bestimmten Sachsituationen sowohl proportionale als auch antiproportionale Zuordnungen entdecken
sowie entsprechende Sachsituationen angeben.
Traktor – Erläuterungen zum Aufgabenteil b)
Allgemeine Hinweise:
Die Schülerinnen und Schüler müssen erkennen, dass sich die Anzahl der Umdrehungen um den
Summanden 50 (und nicht um den Faktor 50, trotz 50-mal) unterscheiden. In diesem Sinn muss die
Aufgabe und die damit verbundene Problemstellung genau erfasst werden (KLP: Problemlösen/ Erfassen).
Stärker als bei Aufgabe a) müssen die Schülerinnen und Schüler hier eine Strategie zur Lösung der
Aufgabe entwickeln. Eine Strategie könnte z.B. darin bestehen, unbekannte Größen (Anzahl der
Umdrehungen der Hinterräder) mit einer Variablen zu belegen (KLP: Problemlösen/Lösen).
Hinweise zur Weiterarbeit:
Problemlösestrategien in Aufgabenbeispielen entwickeln und reflektieren (z.B. in Sachsituationen
unbekannten Größen eine Variable zuweisen, systematisches Probieren).
Traktor – Erläuterungen zum Aufgabenteil c)
Allgemeine Hinweise:
In der Regel ist Schülerinnen und Schülern Aussehen und Funktion einer Tabellenkalkulation vertraut. Die
Schülerinnen und Schüler müssen der Tabelle entnehmen, dass sich das Verhältnis der Anzahl der
Umdrehungen der Vorderräder zu der Anzahl der Umdrehungen der Hinterräder für die vorgegebenen
Werte der Tabelle nicht ändert (Überprüfen an Beispielen als Problemlösestrategie). Darüber hinaus
müssen sie die konkreten Ergebnisse dahingehend verallgemeinern, dass das Verhältnis der Anzahl der
Umdrehungen der Vorderräder zu der Anzahl der Umdrehungen der Hinterräder stets 1,5 ist
(Verallgemeinern als Problemlösestrategie).
Hinweise zur Weiterarbeit:
Problemlösestrategien in Aufgabenbeispielen entwickeln und reflektieren (z.B. Nutzen von
Tabellenkalkulation, Berechnen konkreter Werte, systematisches Einsetzen von Zahlen, Einsatz von
Zufallsgeneratoren zum Auffinden stochastischer Zusammenhänge).
Zahlscheiben
Auf einer Zahlscheibe befinden sich fünf natürliche Zahlen.
Die Zahl im inneren Kreis ist das Ergebnis folgender Rechnung:
Multipliziere drei Zahlen des äußeren Rings und dividiere das Ergebnis durch die verbleibende vierte Zahl.
Einstiegsbeispiel:
Zu der rechts stehenden Zahlscheibe
ergibt sich die Rechnung:
1
3
6
1⋅ 3 ⋅ 4 : 2 = 6
2
4
a) Schreibe die Rechnung zu der folgenden Zahlscheibe auf.
6
3
4
2
4
Rechnung:
:
=
b) In der nächsten Zahlenscheibe fehlt eine Zahl. Nenne eine mögliche Zahl!
x
16
Ergebnis:
2
Die Zahl x =
8
.
4
c) Vanessa glaubt, dass es für die Zahl x bei der Scheibe in b) mehrere verschiedene Lösungen gibt.
Hat Vanessa Recht? Kreuze an und begründe!
□
□
Vanessa hat Recht.
Vanessa hat nicht Recht.
Begründung:
a) Bezug zum Kernlehrplan
Kompetenzbereich
Teilbereich Schülerinnen und Schüler
Arithmetik/Algebra
Operieren
führen Grundrechenarten aus
Problemlösen (Jg. 5/6)
Lösen
wenden die Problemlösestrategien ... „Überprüfen durch
Probieren“ an
Lösung:
Die Lösung lässt sich durch systematisches Probieren finden:
2
3
4
6
:
=
4
Kodierungsplan:
R: Das Ergebnis ist richtig.
N: Es wurde nichts notiert.
F: R und N treffen nicht zu.
b) Bezug zum Kernlehrplan
Kompetenzbereich
Teilbereich Schülerinnen und Schüler
Problemlösen
Erkunden
Arithmetik/Algebra
Anwenden wenden ihre arithmetischen Kenntnisse von Zahlen an
untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen
Lösung:
Die Zahlen x =
Aufgabe.
4
,x=
1
oder x =
Kodierungsplan:
R: Ein richtiges Ergebnis ist angegeben.
N: Es wurde nichts notiert.
F: R und N treffen nicht zu.
16
sind die drei möglichen Lösungen der
c) Bezug zum Kernlehrplan
Kompetenzbereich
Teilbereich Schülerinnen und Schüler
Problemlösen
Lösen
Arithmetik/Algebra
Anwenden wenden ihre arithmetischen Kenntnisse von Zahlen an
überprüfen bei einem Problem die Möglichkeit mehrerer
Lösungen oder Lösungswege …
Lösung:
⌧ Vanessa hat Recht.
Folgende und vergleichbare Schülerbegründungen werden als richtig (R) gewertet:
„Es gibt verschiedene Rechnungen mit den Zahlen 2 ⋅ 4 ⋅ 8 : 4 = 16 oder 4 ⋅ 1 ⋅ 8 : 2 = 16
Daher gibt es auch verschiedene Lösungen für x.“
„Ja, man kann für x auch eine andere Zahl einsetzen, allerdings muss dann mit x multipliziert werden
und nicht durch x dividiert werden.“
„Vanessa hat Recht, wenn man mit einer der vorgegebenen Zahlen am Ende dividiert.“
Ein Beispiel für TA:
„Ja, das kann sein, weil man die Zahlen auch in verschiedener Reihenfolge anbringen kann.“
(Hier fehlt der Hinweis auf die Division.)
Beispiele für TB:
B
„Ich denke schon, dass Vanessa Recht hat, da ich nur einen Lösungsweg benutzt habe. Aber es gibt
sicherlich mehrere.“
„Ja sie hat Recht, dass es mehrere Lösungen gibt. Es kommt auf das Ergebnis an.“
Kodierungsplan:
R:
TA:
TB:
N:
F:
B
Die richtige Beurteilung ist angekreuzt, die Begründung ist richtig.
Die richtige Beurteilung ist angekreuzt, die Begründung ist aber unvollständig.
Die richtige Beurteilung ist angekreuzt, die Begründung fehlt.
Es wurde nichts notiert.
R, TA, TB, und N treffen nicht zu.
B
Zahlscheiben – Erläuterungen zur Aufgabe
Allgemeine Hinweise:
In der Aufgabe geht darum, vier natürliche Zahlen (im äußeren Ring) nach vorgegebenen Rechenschritten
(a·b·c:d) so anzuordnen, dass sich die Zahl in der Mitte ergibt.
In Aufgabe a) sind fünf natürliche Zahlen gegeben. Hier führt systematisches Probieren zur Lösung.
In Aufgabe b) werden vier Zahlen mit einer Variablen kombiniert. Hier führt systematisches Probieren im
Zusammenhang mit dem Aufstellen und Lösen einer Gleichung zum Ziel.
In Aufgabe c) müssen die Schülerinnen und Schüler nachweisen, dass sie die vorgegebene Behauptung
analysieren können. Die Möglichkeiten der Begründung reichen von der Angabe eines weiteren Beispiels
bis zu einer abstrakten Argumentation.
Mögliche Schülerfehler:
Zu c):
Mögliche Fehler:
• x wird immer als Divisor angesehen.
• Aus wenigen, unsystematisch gerechneten Beispielen wird geschlossen, dass es nur eine Lösung
gibt.
Hinweise zur Weiterarbeit:
Zu a) und b):
Falls hier Probleme auftreten empfiehlt sich ein spielerischer Umgang mit Zahlen beziehungsweise
Variablen und arithmetischen Operationen in verschiedenen Zusammenhängen.
Es bietet sich an, die Aufgabe in der Klasse bearbeiten zu lassen und verschiedene Begründungen an der
Tafel zu sammeln, um diese gemeinsam mit den Schülerinnen und Schülern auf ihre Stichhaltigkeit zu
überprüfen. Im Zentrum sollte das Interesse stehen, die Strategien und Überlegungen der Schülerinnen und
Schüler offen zu legen. So erhalten die Lernenden Gelegenheit ihr eigenes Strategien-Repertoire zu
erweitern.
Zahlen finden
Gegeben sind die drei Zahlen: 21, 32, 7.
• Das arithmetische Mittel dieser Zahlen ist (21 + 32 + 7) : 3 = 20.
• Um den Median zu bestimmen werden die Zahlen zuerst der Größe nach sortiert:
7, 21, 32. Der Median ist dann die Zahl, die genau in der Mitte steht. Hier: 21.
Hinweis: Das arithmetische Mittel wird auch als Durchschnitt oder Mittelwert und der Median als
Zentralwert bezeichnet.
Bestimme 5 Zahlen, deren arithmetisches Mittel 6 und deren Median 4 ist.
Platz für Berechnungen:
Ergebnis:
Notiere die Zahlen hier:
Bezug zum Kernlehrplan:
Kompetenzbereich
Teilbereich
Schülerinnen und Schüler...
Stochastik
Auswerten
bestimmen arithmetisches Mittel und Median
Problemlösen
Erkunden
untersuchen Muster und Beziehungen bei Zahlen
Mögliche Lösungen:
Zahlen: 0, 0, 4, 6, 20
Zahlen: 2, 4, 4 ,4, 16
Kodierungsplan:
R:
TA:
TB:
TC:
N:
F:
B
Die angegeben fünf Zahlen haben den Mittelwert 6 und den Median 4.
Die Zahlen haben den Mittelwert 6 aber nicht den Median 4.
Die Zahlen haben den Median 4 aber nicht den Mittelwert 6.
Median oder Mittelwert stimmen, aber die Anzahl der Zahlen ist ungleich 5.
Es wurde nichts notiert.
R, TA, TB, TC und N treffen nicht zu.
B
Zahlen finden – Erläuterungen zur Aufgabe
Allgemeine Hinweise:
Schülerinnen und Schüler, die die Begriffe „Median“ und „Mittelwert“ nicht (mehr) kennen, können am
Beispiel erkunden, wie diese Kennzahlen eine Beziehung zwischen den Zahlen herstellen. Da in der
Aufgabe die Zahlen nicht vorgegeben sind, müssen die Schülerinnen und Schüler anhand selbst gewählter
Zahlenbeispiele durch systematisches Probieren Vermutungen aufstellen, welche Zahlen geeignet sind und
diese Vermutungen durch Nachrechnen überprüfen.
Eine mögliche Strategie wäre, mit dem Median zu beginnen, sich zwei Zahlen kleiner gleich 4
auszudenken und eine Zahl größer 4, die aber auch nicht zu groß sein darf. Da der Mittelwert 6 ist und es
sich um 5 Zahlen handelt, muss die Summe aller fünf Zahlen 30 sein. Die gesuchte fünfte Zahl muss die
bisherigen vier Zahlen damit auf 30 ergänzen.
Mögliche Schülerfehler:
• Die Schülerinnen und Schüler achten nicht auf die vorgegebene Anzahl 5.
• Bei der Addition treten Rechenfehler auf.
• Bei der Medianbildung wird nicht zuerst sortiert, sondern einfach die mittlere Zahl aus der
ungeordneten Aufzählung gewählt.
Beispiele zur Weiterarbeit im Unterricht:
Die Kompetenz Reflektieren vertiefen:
Die unterschiedlichen Lösungsstrategien der Schülerinnen und Schüler können im Unterricht verglichen
werden. Ziel ist die Erkenntnis, dass es keine eindeutige Lösung gibt. Die Strategie tritt so in den
Vordergrund.
Die Begriffe Median und Mittelwert weiter vertiefen:
Median (handelnd) neu erarbeiten: Schülerinnen und Schüler sollen sich der Größe nach aufstellen und den
mittleren dieser Reihe bestimmen. Daran lässt sich auch das Problem des geraden Stichprobenumfangs gut
diskutieren.
Produktive Übungen zum Mittelwert ergeben sich, wenn man nicht nur Mittelwerte berechnen lässt,
sondern den Lernenden unvollständige Stichproben gibt, die ergänzt werden müssen.
Weitere Möglichkeiten das Erkunden zu üben:
Die Aufgabe öffnen: eine Kennzahl und den Stichprobenumfang festhalten, die Veränderung der anderen
Kennzahl beobachten.
Weitere Variante zur Aufgabe öffnen: den Stichprobenumfang vergrößern und mit einer
Tabellenkalkulation arbeiten (Daten eingeben, sortieren, …., Funktionen MEDIAN und MITTELWERT
vorstellen).