VORKURS MATHEMATIK Freitag: Lineare Gleichungssysteme

VORKURS MATHEMATIK
DRAISMA JAN, ÜBERARBEITET VON BÜHLER IRMGARD UND TURI LUCA
Freitag: Lineare Gleichungssysteme, Mengen, Logik, Induktion
Nachdem wir gestern eine kurze Einführung in die Vektorgeometrie hatten, wollen wir dies nun anwenden und uns mit Linearen Gleichungssystemen beschäftigen.
Es gibt eine sehr elegante Art und Weise, wie solche gelöst werden können. Dafür
benutzt man sogenannte Matrizen. Im zweiten bis vierten Teil des heutigen Tages
bekommen wir schliesslich noch einen Einblick in die tieferen Gefilden der Mathematik: Mengenlehre, Logik und schliesslich noch eine wichtige Art und Weise der
Beweisführung, die Induktion.
Lineare Gleichungssysteme. Betrachte die Punkte p = (1, −1) und q = (5, 2).
Wie bestimmt man nun eine Gleichung für die Gerade durch p und q? Nun, eine
solche Gleichung hat die Form ax + by = c und wird also durch die drei Parameter
(a, b, c) eindeutig festgelegt. Damit wirklich eine Gerade definiert wird, darf ausserdem (a, b) nicht gleich dem Nullvektor sein; weiter legt (ra, rb, rc) die gleiche
Gerade fest wie (a, b, c), für alle r ∈ R ungleich null.
Damit p und q auf der von (a, b, c) bestimmten Gerade liegen, muss gelten
1 · a + (−1) · b = c
5 · a + 2 · b = c.
In diesem Abschnitt schlagen wir ein systematisches Verfahren vor, solche Gleichungen zu lösen. In diesem Beispiel kann man wie folgt vorgehen: ziehe 5 mal die
erste Gleichung von der zweiten ab und erhalte
1 · a + (−1) · b = c
0 · a + 7 · b = −4c.
Bemerke, dass jede Lösung des ursprünglichen Gleichungsystems eine Lösung des
neuen Systems ist: Wir haben eine Äquivalenzumformung ausgeführt. Teile nun die
zweite Gleichung durch 7:
1 · a + (−1) · b = c
0 · a + 1 · b = (−4/7)c,
und addiere die zweite Gleichung zur Ersten:
1 · a + 0 · b = (3/7)c
0 · a + 1 · b = (−4/7)c.
Wir haben herausgefunden, dass es zu jedem c ∈ R eine Lösung dieses Systems
(und auch des ursprünglichen Systems) gibt, und zwar (a, b) = ((3/7)c, (−4/7)c).
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Damit (a, b) tatsächlich nicht null ist, müssen wir c ungleich 0 wählen, und wir
erhalten als Gleichung für die Gerade durch p und q zum Beispiel
3x − 4y = 7.
Wir versuchen jetzt, oben stehende Rechnungen mit weniger Aufwand aufzuschreiben, ohne dass die Bedeutung sich ändert!
Definition 1. Eine 2 × 2-Matrix ist ein 2 × 2-Block reeller Zahlen:
m11 m12
M=
m21 m22
mit m11 , m12 , m21 , m22 ∈ R. Diese Zahlen heissen die Einträge der Matrix. Eine
Matrix hat Zeilen und Spalten. Die Menge aller 2 × 2-Matrizen bezeichnen wir mit
R2×2 . In diesem Abschnitt schreiben wir v = (s1 , s2 ) ∈ R2 als eine Spalte
s
v= 1 ,
s2
und s1 , s2 heissen die Einträge von v. Wir definieren nun die Matrix-Vektormultiplikation wie folgt:
m11 m12
s1
m11 s1 + m12 s2
M ·v =
·
:=
.
m21 m22
s2
m21 s1 + m22 s2
Das Ergebnis M · v ist also wieder ein Vektor, dessen Einträge die Skalarprodukte
der zwei Zeilen von M mit der Spalte v sind.
Was nützt diese Definition? Nun, das ursprüngliche Gleichungssystem für a, b
und c können wir nun aufschreiben als
1 −1
a
c
·
=
.
5 2
b
c
Betrachte nun ein allgemeines Gleichungssystem von der Form
M · v = w,
wobei M eine gegebene Matrix mit Einträgen mij , w eine gegebene Spalte in R2
mit Einträgen t1 , t2 und v der gesuchte Vektor ist. Eine solche Gleichung lässt sich
kurz aufschreiben durch
m11 m12 t1
.
(1)
m21 m22 t2
Jede Zeile dieses Systems entspricht einer linearen Gleichung in den Einträgen von
v. Um dieses System zu lösen, lassen wir folgende drei Äquivalenzumformungen zu:
(1) Eine Zeile darf mit einer reellen Zahl ungleich null multipliziert werden,
(2) zwei Zeilen dürfen vertauscht werden und
(3) eine Zeile darf zu einer Anderen addiert werden.
Diese Umformungen nennen wir elementare Zeilenoperationen. Nun kommt die
wichtige Eigenschaft solcher linearen Systeme.
Satz 2. Jedes System von der Form (1) lässt sich durch elementare Zeilenoperationen zu einem System transformieren, das eine der folgenden Formen hat:
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(1)
1 0 t01
0 1 t02
(und die einzige Lösung ist (t01 , t02 )),
(2)
m011 m012 t01
0
0
t02
0
0
wobei m11 und m12 nicht beide null sind (falls t02 = 0 formen die Lösungen
eine Gerade im R2 , sonst gibt es keine Lösungen), oder
0 0 t01
0 0 t02
(dann ist die Lösungsmenge R2 , falls t01 = t02 = 0 und sonst leer).
Das Verfahren, ein Gleichungssystem durch elementare Zeilenoperationen auf
eine der 3 oben stehenden Formen zu bringen, heisst Gaußsche Elimination, nach
dem Erfinder Gauß.
Beispiel 3. Was ist die Lösungsmenge des Systems
1 2 1
?
−1 1 3
Nun, rechne wie folgt:
1 2 1
1 2 1
1 0 −5/3
1 2 1
∼
∼
∼
,
−1 1 3
0 3 4
0 1 4/3
0 1 4/3
also (−5/3, 4/3) ist die einzige Lösung.
Aufgaben!
Mengen und Abbildungen. Bis jetzt haben wir einige mehr oder weniger konkrete Objekte in der Mathematik kennengelernt, wie Zahlen, Funktionen, Graphen,
ebene Figuren, Vektoren und Matrizen. Heute kommt ein neues Konzept dazu, dass
einfach zu verstehen, aber von grundlegender Bedeutung in der Mathematik ist: die
Menge.
Eine Menge kann auf zwei Weisen angegeben werden: in aufzählender Form oder
in beschreibender Form. In der aufzählenden Form listet man die Elemente der
Menge zwischen geschweiften Klammern auf, von Kommas getrennt, wie in:
(1) {Joanna Kania, Ruth Lawrence, Anna Beliakova}
(2) {1, 2, 3, 4, 6, 12},
(3) {2, 4, 6, 8, . . .},
(4) {{}, {0}, {1}, {0, 1}}, wobei
(5) {} =: ∅ die leere Menge ist.
Zwei Mengen werden als dieselbe Menge betrachtet, wenn sie genau dieselben Elemente enthalten. Jedes Element kommt dabei nur einmal in der Menge vor, und es
kommt nicht auf die Reihenfolge an, in der die Elemente aufgelistet werden. So gilt
zum Beispiel
{0, 1, 2} = {0, 2, 1} und {0, 0, 1} = {1, 0}.
Um anzugeben, dass x ein Element von M ist, schreiben wir x ∈ M . Wenn das
nicht der Fall ist, so schreiben wir x 6∈ M . Wählt man einige Elemente aus einer
Menge M , so bilden die zusammen wieder eine Menge N , die in M enthalten ist.
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Man nennt N Teilmenge von M und schreibt N ⊆ M oder M ⊇ N . Auch N = ∅
und N = M werden als Teilmenge von M betrachtet. So gilt zum Beispiel
{0, 1} ⊆ {1, 0, 2}, aber {1, 0, 2} 6⊆ {Anna Beliakova}.
In der beschreibenden Form werden die Elemente einer Menge durch eine Eigenschaft festgelegt. Oft wird eine Menge N beschrieben als die Teilmenge einer
grösseren Menge M , die genau diejenigen Elemente enthält, die eine gewisse Eigenschaft E haben. Notation:
N = {m ∈ M | m hat die Eigenschaft E}.
Zum Beispiel:
(1)
(2)
(3)
(4)
M = {’Mathematikprofessorinnen’} und N = {m ∈ M | ’in Knotentheorie’ },
{m ∈ N | m teilt 12},
{m ∈ N | m ist gerade},
{‘die Teilmengen von {0, 1}’}.
Diese vier Mengen sind dieselben wie die vorher erwähnten Beispiele.
Es gibt drei wichtige Operationen auf zwei Mengen M und N :
Durchschnitt: M ∩ N (gelesen: M geschnitten mit N ) bezeichnet die Menge
aller Elemente, die sowohl in M als auch in N liegen. Es gilt also:
M ∩ N = {x ∈ M | x ∈ N } = {x ∈ N | x ∈ M }.
Vereinigung: M ∪ N (gelesen: M vereinigt N ) bezeichnet die Menge aller
Elemente, die in M oder in N liegen. Dabei ist das ‘oder’ nicht exklusiv zu
verstehen, das heisst: Ein Element, das sowohl in M als in N liegt, gehört
auch zu M ∪ N . Anders formuliert: M ∩ N ⊆ M ∪ N gilt immer.
Differenz: M \ N (gelesen: M ohne N ) bezeichnet die Menge aller Elemente
von M die nicht in N liegen. Also:
M \ N = {x ∈ M | x 6∈ N }.
Beispiel 4. Sei M = {m ∈ N | m ist gerade} und N = {m ∈ N | 3 ist Teiler von m}.
Dann gilt:
(1) M ∪ N = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, . . .},
(2) M ∩ N = {6, 12, 18, . . .} = {m ∈ N | 6 ist Teiler von m} (Beweis!), und
(3) M \ N = {2, 4, 8, 10, 14, 16, . . .}.
Will man beweisen, dass zwei Mengen M und N gleich sind, so muss man zeigen,
dass jedes Element von M in N enthalten ist und umgekehrt. Ein solcher Beweis
sieht also aus wie folgt:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Sei m ∈ M .
Beweisführung
(Zwischenresultat:) Also liegt m ∈ N . (Dies zeigt M ⊆ N .)
Sei n ∈ N .
Beweisführung
(Zwischenresultat:) Also liegt n ∈ M . (Dies zeigt N ⊆ M .)
(Schluss:) Also ist M = N .
Will man nur M ⊆ N beweisen, so genügt natürlich die erste Hälfte.
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Kartesisch Produkt. Aus zwei Mengen M und N bildet man eine zweite Menge
M × N , das kartesische Produkt von M und N , wie folgt:
M × N := {(m, n) | m ∈ M und n ∈ N }.
Die Elemente dieser Menge sind also alle Paare.
Beispiel 5. Die Ebene R2 ist R×R. Deren Teilmenge {0, 1}×R ist die Vereinigung
der zwei Geraden mit Gleichungen x = 0 und x = 1.
Fenn-Diagramme. Nicht näher spezifizierte Mengen, und deren Durchschnitte,
lassen sich anschaulich zeichnen mit Fenn-Diagrammen. Mit denen erhält man oft
eine gute Intuition, welche Beziehungen zwischen Mengen bestehen können. Sie
reichen aber nicht aus, um eine solche Beziehung zu beweisen; zu diesem Zweck soll
man immer vorgehen wie oben gezeigt wurde.
Beispiel 6. Zeigen wir A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (Distributivitätsgesetz).
Abbildungen. Eine Abbildung f von einer Menge M nach einer Menge N ist eine
Vorschrift, die jedem Element m von M ein einziges Element f (m) (gelesen: f von
m, oder das Bild von m unter f ) von N zuordnet. Notation:
f : M → N, m 7→ f (m).
Die reellen Funktionen, mit denen wir uns ausführlich beschäftigt haben, waren
also Abbildungen von einer Teilmenge von R nach R.
Beispiel 7.
(1) Sei M die Menge aller Menschen die jemals gelebt haben.
Dann ist
v : M → M, m 7→ der Vater von m
eine Abbildung von M nach M .
(2) p : n 7→ n + 1 ist eine Abbildung von N0 nach N.
(3) Sei P die Menge aller endlichen Teilmengen von N. Dann ist
t : N → P, n 7→ {m ∈ N | m teilt n}
eine Abbildung von N nach P .
Wichtige Eigenschaften, welche Abbildungen haben können, werden in der folgenden Definition aufgelistet.
Definition 8. Eine Abbildung f : M → N heisst:
(1) injektiv, falls die f -Bilder zweier verschiedener Elemente auch immer verschieden sind.
(2) surjektiv, falls jedes Element von N das Bild von (mindestens) einem Element aus M ist.
(3) bijektiv, falls f sowohl injektiv als auch surjektiv ist, d.h. falls jedes Element
von N das Bild eines eindeutigen Elementes aus M ist.
Beispiel 9. Bei den Beispielen oben ist v weder injektiv (weil verschiedene Menschen den gleichen Vater haben können), noch surjektiv (weil nicht jeder Mensch
Vater ist). Die Abbildung p ist bijektiv, und die Abbildung t ist injektiv (weil
die Teiler einer Zahl die Zahl eindeutig festlegen), aber nicht surjektiv (weil z.b.
{1, 2, 3} eine endliche Teilmenge von N ist, aber nicht aus allen Teilern einer festen
Zahl besteht).
Aufgaben!
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Logik. Die Grundtätigkeit einer Mathematikerin, oder eines jeden, der Mathematik anwenden möchte, ist logisch Argumentieren. Manche können das von sich
aus, andere brauchen Übung. Es gibt aber einige Regeln, die immer zu beachten
sind, und die, obwohl sie an sich einleuchtend sind, in komplizierten Argumenten
manchmal vergessen werden. Einige dieser Argumentationsregeln werden wir hier
kennenlernen.
Mathematik dreht immer um (mathematische) Aussagen. Eine Aussage ist eine
Behauptung, die, in dem Kontext, in dem sie geäussert wird, entweder wahr oder
falsch ist. Ob die Wahrheit der Aussage einfach nachzuprüfen ist, ist dabei irrelevant
— wichtig ist nur, dass diese Wahrheit, jedenfalls in Theorie, objektiv festzustellen
ist.
Beispiel 10. Aussagen sind zum Beispiel:
(1) Basel liegt am Rhein.
(2) Der Wal ist ein Fisch.
(3) 4 ist eine Primzahl.
(4) (Unter der Voraussetzung dass x eine gewisse reelle Zahl ist:) x ist Nullstelle
eines Polynoms ungleich null mit ganzzahligen Koeffizienten.
(5) (Wenn A und B gewisse Mengen sind:) A ⊆ B.
In den letzten zwei Beispielen steht der Kontext zwischen Klammern; er besteht aus
allen Voraussetzungen, die gestellt wurden bis zu dem Punkt, wo die Aussage getan
wird. Natürlich sind nur die letzten drei Aussagen mathematisch. Keine Aussagen
sind zum Beispiel:
(1) Rot ist schöner als blau.
(2) (Unter der Voraussetzung dass A eine Menge ist:) 2 ist ein Teiler von A.
Im ersten Fall, weil ein objektives Kriterium fehlt, um festzustellen ob eine Farbe
schöner ist als eine Andere; im zweitem Fall, weil wir nicht wissen, was es heissen
würde, dass eine Zahl eine Menge teilt.
Es gibt drei wichtige Verknüpfungen, mit denen man aus Aussagen in einem
gewissen Kontext neue Aussagen in demselben Kontext bilden kann:
Negation: die Negation (oder Verneinung) ¬A einer Aussage A (gelesen:
nicht A) ist die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn A falsch ist.
Und-Verknüpfung: Sind A und B Aussagen, so ist A ∧ B (gelesen: A und
B) die Aussage, die genau dann wahr ist, wenn A und B es beide sind.
Oder-Verknüpfung: Sind A und B Aussagen, so ist A ∨ B (gelesen: A oder
B) die Aussage die genau dann wahr ist, wenn A es ist oder B es ist. Hier
ist das ‘oder’ nicht exklusiv zu verstehen, d.h. A ∨ B ist auch dann wahr,
wenn A und B es beide sind.
Beispiel 11.
(1) Ist A die Aussage ‘Basel liegt am Rhein’, so ist ¬A die Aussage ‘Basel liegt nicht am Rhein’.
(2) Ist A die Aussage ‘3 ist eine Primzahl’ und B die Aussage 3 > 7, so ist
A ∧ B die Aussage ‘3 ist eine Primzahl und grösser als 7’.
(3) Ist A die Aussage ‘Es regnet morgen’ und B die Aussage ‘Ich komme morgen
nicht zur Vorlesung’, so ist (¬A) ∨ B die Aussage ‘es regnet morgen nicht,
oder ich komme morgen nicht zur Vorlesung’.
Bemerke, dass die letzte Aussage sich auch so interpretieren lässt: ‘wenn es morgen regnet, dann komme ich nicht zur Vorlesung’. Diese Verknüpfung: wenn A,
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dann B, schreibt man A ⇒ B. Aus der natürlichen Sprache ist man gewohnt, dass
dann zwischen A und B eine gewisse Kausalität besteht. Oft ist das auch in der
Mathematik tatsächlich der Fall, aber es muss nicht so sein. So ist zum Beispiel
die Aussage ‘wenn 4 gerade ist, dann ist 7 eine Primzahl’ wahr, ohne dass eine
deutliche Beziehung zwischen den beiden Aussagen besteht. Die genaue Bedeutung
von A ⇒ B wird von dem letzten Beispiel oben suggeriert, nämlich:
A ⇒ B heisst nichts anders als (¬A) ∨ B.
Zugegeben, diese Interpretation von ⇒ bedürft einige Gewöhnung.
Die letzte wichtige Verknüpfung zweier Aussagen ist die Äquivalenz, geschrieben
A ⇔ B und gelesen ‘A genau dann wenn B’. Diese Aussage bedeutet dasselbe wie
(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).
Aufgaben!
Induktion. Zum Schluss betrachten wir jetzt noch eine der wichtigsten Beweisstrategien, welche es überhaupt in der Mathematik gibt, die Induktion. Bei der
Induktion geht es darum, etwas zu beweisen (eine Behauptung), wobei diese Behauptung von einem Wert n abhängig ist. Dafür wollen wir zuerst einsehen, dass
die Behauptung für einen gewissen Wert n0 (das ist meistens 0 oder 1) richtig ist.
Dann wird vorausgesetzt, dass die Behauptung richtig ist für alle Werte bis n − 1
und es wird gezeigt, dass die Behauptung unter dieser Voraussetzung richtig ist für
n. Daraus folgt dann, dass die Behauptung richtig ist für alle n ≥ n0 . Dies tönt
zuerst ein wenig verwirrend, darum schauen wir uns gleich mal ein Beispiel an:
Pn
für alle n ≥ 1 gilt. (Erinnerung:
Beispiel 12. Wir behaupten, dass i=1 i = n(n+1)
2
P
n
i=1 i = 1 + 2 + 3 + . . . + n). Zuerst versichern wir uns, dass diese Behauptung für
den kleinst möglichen Wert von n erfüllt ist, in unserem Fall also für n = 1 (da wir
n ≥ 1 verlangt haben):
1
X
i=1
= 1, und
1(1 + 1)
2
= =1
2
2
also stimmt unsere Behauptung für n = 1.
Nehmen wir nun an, dass die Behauptung für alle Werte bis zu n − 1 gilt (d.h.
Pn−1
(n−1)((n−1)+1)
= (n−1)n
) und zeigen, dass in diesem Falle, die Behaupi=1 i =
2
2
tung auch für n richtig ist:
!
n
n−1
X
X
(n − 1)n
(n2 − n) + 2n
n2 + n
n(n + 1)
i=
i +n=
+n=
=
=
.
2
2
2
2
i=1
i=1
Somit haben wir bewiesen, dass die Behauptung auch für n gilt.
Wir wissen nun also, dass die Behauptung für 1 gilt und dass, falls die Behauptung für n − 1 richtig ist, die Behauptung auch für n richtig ist. Da sie aber für
n = 1 korrekt ist, folgt somit, dass sie auch für n = 2 korrekt ist (denn dann ist
n − 1 = 1, und wir wissen dass sie für 1 korrekt ist, also stimmt die Voraussetzung,
dass sie für n − 1 korrekt ist und somit ist sie auch für n(= 2) korrekt). Sie stimmt
also sicher für 1 und für 2. Jetzt nehmen wir n = 3 an, und da sie für n − 1 = 2
korrekt ist, muss sie also auch für n = 3 stimmen, usw. So angeln wir uns nun
entlang der ganzen Zahlen hinauf bis wir zu einer beliebig grossen Zahl kommen,
und haben so bewiesen, dass die Behauptung für alle n ≥ 1 richtig ist.
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Der erste Schritt, also das Beweisen der Behauptung für einen Anfangswert n0 ,
wird Induktionsverankerung genannt. Die Voraussetzung, dass die Behauptung für
alle Werte bis n − 1 richtig ist, nennt man Induktionsvoraussetzung, und die Stelle,
wo die Induktionsvoraussetzung in den Beweis, dass die Behauptung für n stimmt,
einfliesst, diese Stelle nennt man den Induktionsschritt.
Am Mittwoch wurde der Begriff der geometrischen Folge behandelt (zur Erinnean
= q konstant für alle n ≥ 2 ist), und
rung: das ist eine Folge, für die gilt, dass an−1
wir haben gesehen, dass wir den Wert der Summe der ersten n Folgeglieder anhand
von einer Formel angeben können. Dies wollen wir nun per Induktion beweisen. Sei
also a1 , a2 , . . . eine geometrisch Folge mit q < 1.
Satz 13 (Behauptung).
sn =
n
X
ai = a1 ·
i=1
1 − qn
.
1−q
Beweis. Überlegen wir uns zuerst(auch per Induktion), dass an = a1 · q n−1 gilt:
Induktionsverankerung: Sei n = 1. Dann gilt a1 = a1 · q 0 , denn q 0 = 1.
Induktionsvoraussetzung: Wir setzen voraus, dass an−1 = a1 · q n−2 .
Da es sich um eine geometrische Reihe handelt, gilt an = an−1 · q. Somit folgt
Induktionsschritt: an = a1 · q n−2 · q = a1 · q n−1 .
Daraus folgt diese erste Zwischenbehauptung. Kommen wir nun zu dem, was wir
eigentlich beweisen möchten:
1
1−q
Induktionsverankerung: Sei n = 1. Dann ist s1 = a1 = a1 · 1−q
1−q (da 1−q =1).
Induktionsvoraussetzung: Wir setzen voraus, dass für ein bestimmtes n gilt:
sn−1 = a1 ·
1 − q n−1
.
1−q
Da sn = sn−1 + an folgt nun
Induktionsschritt:
1 − q n−1
1 − q n−1
sn = a1 ·
+ an = a1 ·
+ a1 · q n−1 ,
1−q
1−q
wobei wir beim letzten Schritt angewendet haben, was wir gerade vorher bewiesen
haben, nämlich dass an = a1 · q n−1 gilt. Da
1 − q n−1
1 − q n−1 + q n−1 (1 − q)
1 − qn
+ a1 · q n−1 = a1 ·
= a1 ·
1−q
1−q
1−q
gilt, folgt die Behauptung.
a1 ·
Aufgaben!