Blatt5 - an der Universität Duisburg

Universität Duisburg-Essen
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. D. Belomestny
Jun.-Prof. Dr. M. Urusov
WiSe 2012
Übungen zur Statistik
(Blatt 5)
Aufgabe 5.1. UMVUE-Schätzer, keine exponentielle Familie
(a) (6 Punkte) Seien X1 , . . . , Xn iid U(0, θ), wobei θ > 0 ein unbekannter Parameter ist.
Sei α > 0 fest. Schalgen Sie den UMVUE-Schätzer für θα vor.
(b) (ohne Punkte) Wird in (a) die untere Schranke der Cramér-Rao-Informationsungleichung
angenommen?
Aufgabe 5.2. UMVUE-Schätzer in exponentieller Familie
(a) (6 Punkte) Seien X1 , . . . , Xn iid Po(θ), wobei θ > 0 ein unbekannter Parameter ist.
Schalgen Sie den UMVUE-Schätzer für eθ vor.
(b) (ohne Punkte) Wird in (a) die untere Schranke der Cramér-Rao-Informationsungleichung
angenommen?
(c) (ohne Punkte) Nimmt X als ein unverzerrter Schätzer für θ die untere Schranke der
Cramér-Rao-Informationsungleichung an?
Aufgabe 5.3. Transformationen von asymptotisch normalverteilten Statistiken
(a) (2 Punkte) Sei die Folge Tn := Tn (X1 , . . . , Xn ), n = 1, 2, . . ., von Statistiken asymptotisch normalverteilt mit asymptotischen Parametern (µn (θ), σn2 (θ)), d.h. für alle θ ∈ Θ
gilt
Tn − µn (θ) L
−−−→ N(0, 1).
n→∞
σn (θ)
(Intuition: für große n ist Tn etwa wie N(µn (θ), σn2 (θ))-verteilt.) Wie würden Sie die Wahrscheinlichkeit Pθ (Tn ≤ z) für ein großes n approximieren?
(b) (4 Punkte) Nehmen wir zusätzlich an, dass σn2 (θ) → 0, n → ∞, und µn (θ) ≡ q(θ)
von n nicht abhängt. (Intuition: wir möchten q(θ) mit Hilfe von Tn Abschätzen. Wenn
n → ∞, wird der Schätzer immer genauer, weil die asymptotische Varianz σn2 (θ) → 0.) Ist
die Folge Tn konsistent für q(θ)?
Hinweis. Sie können folgende Behauptungen aus der Wahrscheinlichkeitstheorie benutzen,
wobei unten Zufallsvariablen mit ηn , ξn , ξ und reelle Konstanten mit c bezeichnet werden.
P
L
L
Behauptung 5.1. ηn −
→ c, ξn −
→ ξ =⇒ ηn ξn −
→ cξ
P
L
Behauptung 5.2. ξn −
→ c ⇐⇒ ξn −
→c
Bemerkungen. (i) Ein Spezialfall der Behauptung 5.1 ist der Fall ηn ≡ cn , wobei cn eine
Folge von Zahlen ist, cn → c.
(ii) Es ist zu betonen, dass ηn in Behauptung 5.1 gegen eine Konstante stochastisch konvergieren. Falls der Grenzwert von ηn eine nicht degenerierte Zufallsvariable wäre, dann
wäre die entsprechende Aussage nicht korrekt.
(iii) Ebenfalls gilt Behauptung 5.2 nur für Konvergenz gegen eine Konstante. Falls der
Grenzwert eine nicht degenerierte Zufallsvariable ist, ist die stochastische Konvergenz strikt
stärker als die Konvergenz in Verteilung.
(c) (6 Punkte) Es gelten Annahmen des Teils (b). Sei g : R → R eine stetig differenzierbare
Funktion mit g 0 (q(θ)) 6= 0. Ist die Folge von g(Tn ) asymptotisch normalverteilt? Wenn ja,
finden Sie die entsprechende asymptotische Parameter.
Hinweis. Erinnern Sie Sich an den Mittelwertsatz der Differentialrechnung
(http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung), an Continuous
Mapping Theorem (Satz 1.27 in der Vorlesung) und an Behauptung 5.1 von oben.
Aufgabe 5.4. (6 Punkte) Asymptotische Normalität der Momentenschätzer
Seien X1 , . . . , Xn iid Exp(θ), wobei θ > 0 ein unbekannter Parameter ist. Berechnen Sie
den Momentenschätzer für θ basierend auf dem ersten Moment. Ist er asymptotisch normalverteilt? Wenn ja, finden Sie die entsprechende asymptotische Parameter.
Abgabe:
15.01.2013 oder 16.01.2013, vor der Vorlesung oder vor der Übung