VERALLGEMEINERTE ASYMPTOTISCHE DICHTEN Der Dichtesatz

VERALLGEMEINERTE ASYMPTOTISCHE DICHTEN
HANS ROHRBACH und
BODO VOLKMANN
Der Dichtesatz von M. Kneser für die asymptotische Dichte (Math. Zeitschr. 58, 1953) lässt sich durch Einführung von Gewichten verallgemeinern,
wie sie J. G. van der Corput (Proc. Ak. Wet. Amsterdam 50, 1947) bei seiner
Erweiterung des Mannschen Dichtesatzes für die finite Dichte betrachtet hat.
Es sei cpx eine für alle ganzzahligen x definierte reelle monoton nicht abnehmende Funktion, cpœ = 0 für x < 0 und cpœ > 0 für cp (x) = ^[-œ] die zugehörige
Treppenfunktion (x reell), insbesondere also cpi = cp(i) für i = 0, 1, 2, . . .
Ferner sei bei ganzzahligem x für eine Menge SÏ = {a1} a2, . . .} nichtnegativer
ganzer Zahlen mit ^ als charakteristischer Funktion
(pA(x)=îeicpi>
0(x) =
Ìlcp(t).
Ist dann Q die Menge der natürlichen Zahlen, so heisst
eine (durch die Gewichte q>t) verallgemeinerte asymptotische Dichte von 9Ï. Für
cp(x) = 1 ergibt sich die gewöhnliche Anzahlfunktion A(x) und asymptotische
Dichte D(%) = Hm — A(x) von %
Wir beschränken uns auf Funktionen cp(x), die den folgenden Bedingungen
genügen:
(1) Für jede reelle Konstante c sei Hm cp(x + c)l<p(%) = L
Q3->00
(2) Für jede Menge der Form Wt = {axh, a2h, . . .} sei
D9(Wi) = 1/AD,(«)
(h ganz).
2
(3) Für alle ganzzahligen x sei <p (# -}- 1) ^cp(x)
.cp(x-\-2).
Dann gilt zwar, dass für pseudorationale Mengen 9Ï im Sinne von B. Volkmann (Journ. f. Math, igo, 1952) stets 1^(31) = I>(91) ist, aber es lässt sich
durch Beispiele (etwa tp(x) = xa, a > 0) zeigen, dass 1^(31) ^ D(9Ï) ist bei
passendem 3Ï. Bezeichnet man nun für n ^ 1 Mengen 9^, . . ., 9In und jedes
# 2 ^ 0 mit at(x) das kleinste Element a ^ x von 9lz-, ist ferner # = ma,x(a1(x),
. „ ., an(x)) und
cp(x)
i})(^lt . . ., 8In; 9?) = Hm ——,
so gilt der folgende veraHgemeinerte Dichtesatz:
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Sind 3I0, 3I-L, . . ., 3In (n ^ 1) Mengen nichtnegativer ganzer Zahlen mit der
n
Summe 31 = 2 91$, für die bei geeigneter Numerierung y(3Ci* . . ., 9IW; <p) <oo
ist, so ist entweder
v
o£Tïo&(x)i=ov
oder es gibt eine ganze Zahl g derart, dass 91 ~ 3ÏG = 2 3lf und
«•=0
«-•OO #> (#) i=0
g
ist. Dabei bedeutet 31? die Menge aller w, für die es ein a^i e Sï^ mit m = at
(mod g) gibt, ferner die Äquivalenz SC '—' S3, dass 31 und SB bis auf höchstens
endlich viele Elemente übereinstimmen.
Der Beweis lässt sich im wesentHchen wie der des Kneserschen Dichtesatzes erbringen. Eine ausführliche DarsteHung erscheint im Journal für die
reine und angewandte Mathematik iç4 (1954/55).
MAINZ.
SUR LE PREMIER CAS DU (DERNIER) THÉORÈME DE FERMAT
B. SPYRIDON SARANTOPOULOS
En m'occupant avec le premier cas du théorème de Fermât j'ai obtenu
plusieurs résultats, dont nous donnons ici les suivants:
1. Si le nombre /A est premier et impair (^ > 2) et il existe des entiers
positifs x, y, z, premiers deux à deux, non divisible par a, satisfaisant à l'équation du Fermât
(1)
xP + y» = **,
ou, plus généralement, à la congruence
(2)
XP + y" =3 Z^fJL2)
et si s, rj, $ sont les restes correspondants de la division de x, y, z par fjb, alors les
congruences
ç,(a) = (a + 1)" - a* - 1 = O^ 2 ), rj = ae(^), 0 == (a + l)e(p)
seront satisfaites à même temps par une seule valeur de a appartenant à la
suite 1, 2, 3, . . ., ja — 2. Et inversement, e étant un nombre entier positif quelconque inférieur à ja — 1.
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