Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1
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Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 89 1etv3-2 3.4 3.4.1 Grundstromkreis Definition des Grundstromkreises Der Lernende kann den Grundstromkreis definieren und die Schaltung des Grundstromkreises skizzieren Beispiele für Grundstromkreise nennen den Grundstromkreis in einen aktiven und einen passiven Zweipol aufteilen Der Grundstromkreis ist die einfachste Stromkreisrealisierung und besteht aus der Zusammenschaltung einer Quelle mit einem Verbraucher. Im allgemeinen Fall wird der Zweipol Quelle mit dem Zweipol Verbraucher zusammen geschaltet (Abb. 3.4.1 a). Zum Beispiel kann als Quelle eine Batterie als Verbraucher eine Glühlampe verwendet werden. Die Schaltung wird in ein Netzwerk idealer Bauelemente überführt (Abb 3.4.1 b), um sie der Berechnung zugänglich zu machen. I I Quelle Verbraucher RBa Uq U aktiver Zweipol Abb. 3.4.1 a) Grundstromkreis mit Quelle und Verbraucher RB passiver Zweipol b) Netzwerk des Grundstromkreises Die Eigenschaften der realen Batterie, eine Spannung an den Klemmen bereit zu stellen und Erwärmung bei Belastung werden durch eine ideale Spannungsquelle und durch einen in Reihe geschalteten Widerstand, an dem die Verlustleistung entstehen kann, modelliert. Dieser Teil des Stromkreises wird als aktiver Zweipol bezeichnet. Die Glühlampe lässt sich durch einen Verluste erzeugendende Widerstand modellieren. Es entsteht ein passiver Zweipol 3.4.2 Quellen, Quellenersatzschaltungen Der Lernende kann den Grundstromkreis mit Spannungs- und Stromzählpfeilen versehen die Begriffe Leerlauf und Kurzschluss als extreme Betriebszustände definieren Quellen durch eine Spannungsquellen- oder Stromquellen-Ersatzschaltung beschreiben die Kenngrößen der Quellenersatzschaltungen bestimmen Reihen und Parallelschaltungen von Quellen realisieren Im Netzwerk der Abb. 3.4.1 b) werden für den aktiven Zweipol Erzeugerzählpfeile verwendet. Das hat in der Zusammenschaltung mit dem passiven Zweipol den Vorteil, dass nur ein Stromzählpfeil und ein Spannungszählpfeil zwischen den Klemmen für beide Zweipole verwendet werden muss. Im allgemeinen Fall kann der aktive Zweipol aus mehreren Quellen und Widerständen bestehen. Das wird in Abb. 3.4.2 symbolisch angedeutet. Der passive Zweipol soll als verstellbarer Widerstand mit dem Stellbereich 0 ≤ RB < ∞ ausgeführt sein. Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 90 1etv3-2 a) Betriebsfälle Bei der Zusammenschaltung der zwei Zweipole treten in Abhängigkeit vom Widerstand RB zwei extreme Betriebsfälle auf: 2. Kurzschluss: Belastungswiderstand RB = 0 Es fließt der Kurzschlussstrom I = IK. Wegen U = I ⋅ RB ist bei RB = 0 und I = IK U = 0. . Dieser Betriebsfall ist durch das Wertepaar: U = 0; I = IK gekennzeichnet. In Abb. 3.4.3 ist der aktive Zweipol im Kurzschlussbetrieb dargestellt. I=0 U0 Ra= 8 1. Leerlauf: Belastungswiderstand RB = ∞ Der Strom ist I = 0. An den Klemmen tritt die Leerlaufspannung U0 auf. Dieser Betriebsfall ist durch das Wertepaar: U = U0 ; I = 0 gekennzeichnet. In Abb. 3.4.2 ist der aktive Zweipol im Leerlaufbetrieb dargestellt. Abb. 3.4.2 Aktiver Zweipol im Leerlauf I=IK U=0 Ra=0 Abb. 3.4.3 Aktiver Zweipol im Kurzschluss Die beiden Wertepaare U; I sind für U Leerlauf und Kurzschluss in Abb. 3.4.4 in U0 das u-I-Diagramm eingetragen. Unter der Voraussetzung, dass der aktive Zweipol nur ideale Quellen und lineare Widerstände enthält, ergibt sich zwischen den zwei Punkten Leerlauf und Kurzschluss für alle anderen Belastungsfälle, die mit variablem RB I IK einstellbar sind, im U-I- Diagramm eine Abb. 3.4.4 U-I-Kennlinie des aktiven Zweipols Gerade mit der Gleichung: U=− U0 ⋅ I + U0 IK (3.4.01) Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 91 1etv3-2 b) Ersatzschaltungen: Die Ersatzschaltung einer realen Anordnung weist bezüglich einer bestimmten Problemstellung das gleiche Verhalten auf wie die zugehörige reale Anordnung. In unserem Fall soll die Ersatzschaltung das gleich U-I-Verhalten wie die reale Quelle haben. Das Verhalten der realen Quelle lässt sich unter Verwendung einer idealen Spannungsquelle oder einer idealen Stromquelle nachbilden. Die Verwendung einer idealen Spannungsquelle führt zur Spannungsquellenersatzschaltung (Abb. 3.4.5). Die Spannungsquellenersatzschaltung weist eine ideale Spannungsquelle Uq I in Reihenschaltung mit einem Widerstand R auf. Aus Leerlauf und R=Ri Kurzschluss ergibt sich: Ra Uq=U0 U U U Uq = U0 R = Ri = q = 0 IK IK Ri ist der Innenwiderstand der Quelle. Der Innenwiderstand der Quelle gibt die Beziehung zwischen Leerlaufspannung und Kurzschlussstrom an. Das Abb. 3.4.5 Spannungsquellen-Ersatzschaltung Klemmenverhalten der Spannungsquellen-Ersatzschaltung wird durch di e Gleichung beschrieben: U = U0 − I ⋅ Ri (3.4.02) Die Verwendung einer idealen Stromquelle führt zur Stromquellenersatzschaltung: Die Ersatzschaltung ist in Abb. 3.4.6 I dargestellt. Aus Kurzschluss Iq = IK und Leerlauf IK U RB Ri U0 IK 1 IK Gi = = Ri U0 erhält man die Werte der Elemente der Ersatzschaltung. Das Klemmenverhalten Abb. 3.4.6 Stromquellen-Ersatzschaltung der Ersatzschaltung wird durch die folgende Gleichung beschrieben: I (3.4.03) I = − K ⋅ U + IK Uo U0 = Iq ⋅ Ri Ri = Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 92 1etv3-2 c) Kenngrößenbestimmung Die U-I-Kennlinie einer realen Quelle kann durch die Schaltung nach Abb.3.4.7 aufgenommen werden. Leerlaufspannung A U0 und Kurzschlussstrom IK werden durch Messungen im Leerlauf bei RB = ∞ und V Kurzschluss bei RB = 0 bestimmt. Aus RB den beiden Messungen kann Ri errechnet werden. U I (3.4.04) Gi = K Ri = 0 U0 IK Abb. 3.4.7 Schaltung zur Aufnahme der U-IDie U-I-Kennlinie des aktiven Zweipols Kennlinie eines aktiven Zweipols lässt sich dann folgendermaßen formulieren: U I U = − 0 ⋅ I + U0 I = − K ⋅ U + IK IK Uo U0 ideale Spannungsquelle e al re lle ue Q Die ideale Spannungsquelle hat Ri = 0 und damit U U = U0 Die ideale Stromquelle mit Gi = 0; Ri = ∞ ideale Stromquelle In Abb. 3.4.8 sind neben der U-IKennlinie einer realen Quelle die Kennlinien der idealen Spannungsquelle und der idealen Stromquelle mit eingetragen IK I = IK Abb. 3.4.8 U-I-Kennlinien von Quellen Beispiel 3.4.01 Die Messungen an einer realen Quelle ergaben mit der Messschaltung nach Abb. 3.4.7 folgende Werte: U0 = 12.5V; IK = 15.5A. Zu bestimmen ist Innenwiderstand Ri und Innenleitwert der Quelle: Ri = U0 12.5 V = = 0.806Ω IK 15.5 A Gi = IK 15.5 A = = 1.24S U0 12.5 V Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 93 1etv3-2 d) Quellenschaltungen Da das U-I-Verhalten einer Quelle durch die Spannungsquellenersatzschaltung oder die Stromquellenersatzschaltung modelliert werden kann, sind beide Ersatzschaltungen gleichwertig und ineinander überführbar. In Abb. 3.4.9 sind beide Ersatzschaltungen gegenübergestellt. Stromquellenersatzschaltung Spannungsquellenersatzschaltung I I Ri U0 U Ra IK U Ri Gi Ra Abb. 3.4.9 Überführung der Ersatzschaltungen Der Innenwiderstand oder der Innenleitwert beider Darstellungen ist der gleiche. Wird die Spannungsquellenersatzschaltung in eine Stromquellenersatzschaltung umgewandelt, berechnet sich der Quellenstrom nach: U0 = U0 ⋅ Gi (3.4.05) Ri Bei der Überführung muss die Polarität der Spannung U an den Klemmen beibehalten werden. Bei der Stromquellenersatzschaltung entsteht die Leerlaufspannung als Spannungsabfall an Ri. Wird eine Stromquellenersatzschaltung in eine Spannungsquellenersatzschaltung überführt, wird die Leerlaufspannung berechnet mit: IK = U0 = IK ⋅ Ri (3.4.06) Reihenschaltungen U01 Ri1 U02 Ri2 U0 Ri Abb. 3.4.10 Reihenschaltung zweier Spannungsquellen Die Parameter der Spannungsquellenersatzschaltung zweier in Reihe geschalteter Spannungsquellen nach Abb. 3.4.10 berechnen sich mit folgenden Gleichungen, die sich aus der Anwendung des Maschensatzes und der Reihenschaltung von Widerständen ergeben: U0 = U01 + U02 Ri = Ri1 + Ri2 (3.4.07) Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 94 1etv3-2 IK1 IK IK2 Ri2 Ri1 Ri Abb. 3.4.11 Reihenschaltung zweier Stromquellen Bei der Reihenschaltung zweier Stromquellen nach Abb. 3.4.11 werden zunächst beide Stromquellen in Spannungsquellen umgewandelt: U01 = IK1 Ri1 U02 = IK2 Ri2 U0 = U01 + U02 Ri = Ri1 + Ri2 Anschließend wird entsprechend Abb. 3.4.10 die Reihenschaltung der Spannungsquellen berechnet und schließlich die Spannungsquellenersatzschaltung in die Stromquellenersatzschaltung umgerechnet: IK = U0 U01 + U02 IK1 ⋅ R i1 + IK 2 ⋅ R i2 = = Ri R i1 + R i2 R i1 + R i2 (3.4.08) Parallelschaltungen a) b) U01 U02 c) IK1 Ri1 IK Ri1 Ri2 Ri IK2 Ri2 Gi1 = 1 Ri1 IK1 = U01 ⋅ Gi1 Gi2 = 1 Ri 2 d) U0 Ri Abb. 3.4.12 Parallelschaltung von Quellen a) Parallelschaltung zweier Spannungsquellen c) Stromquellenersatzschaltung IK 2 = U02 ⋅ Gi2 Gi1 = 1/Ri1 IK = IK1 + IK2 Gi = Gi1 + Gi2 (3.4.09) I 1 Ri = U0 = K Gi Gi U ⋅ G + U02 ⋅ Gi2 U01 ⋅ R i2 + U02 ⋅ R i1 = U0 = 01 i1 Gi1 + Gi2 R i1 + R i2 (3.4.10) b) d) Parallelschaltung zweier Stromquellen Spannungsquellenersatzschaltung Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 95 1etv3-2 Bei Parallelschaltungen von Quellen wird nach Abb. 3.4.12 verfahren. Die Ersatzquellenschaltung paralleler Quellen wird mit der Stromquellenersatzschaltung durchgeführt. Der Quellenstrom ergibt sich nach dem Knotensatz, der Innenwiderstand aus der Parallelschaltung von Widerständen. Beispiel 3.4.02 Es sind die Parameter der Ersatzspannungsquelle und der Ersatzstromquelle zu ermitteln! b) 1Ω 0.9 Ω IK1 = + Ri1 IK1 Ri2 IK2 1.5 V 1.4 V 1.5 V Ri3 IK3 IK 2 = IK 3 = - 1.4 Ω Uq1 R i1 U q2 R i2 U q3 R i3 = 1 .5 V = 1. 5 A 1Ω = 1 .4 V = 1.56 A 0 .9 Ω = 1 .5 V = 1.07 A 1 .4 Ω IK = IK1 + IK 2 + IK 3 + IK - IK = 1.5 A + 1.56 A + 1.07 A = 4.13 A + Uq Ri - Ri 1 = 0.354Ω 1/ 1Ω + 1/ 0.9Ω + 1/ 1.4Ω Uq = IK ⋅ R i = 4.13 A ⋅ 0.354Ω = 1.46 V RI = Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 96 1etv3-2 3.4.3 Verbraucher Der Lernende kann den Verbraucherzweipol definieren die U-I-Kennlinien des linearen Verbraucherzweipols gleichungsmäßig angeben und skizzieren die U-I-Kennlinien des nichtlinearen Verbraucherzweipols beispielhaft skizzieren Ist der Verbraucher ein Widerstandsnetzwerk linearer Widerstände, so können die Widerstände zu einem Ersatzwiderstand zusammengefasst werden. Der Verbraucherzweipol hat mit den Verbraucherzählpfeilen der Abb. 3.4.14 die Gleichung U U=RI (3.4.11) I I R1 Rn R2 U RB Abb. 3.4.14 linearer Verbraucherzweipol Im U-I-Diagramm ergeben sich für den Verbraucherzweipol Ursprungsgeraden, deren Anstieg durch den Widerstand bestimmt wird. In Abb. 3.1.15 sind die Kennlinien für die drei Widerstände RB3 > RB2 > RB1 dargestellt. Ist der Verbraucher ein nichtlinearer Widerstand, liegt dessen U-I-Kennlinie im allgemeinen grafisch vor oder wird durch eine mathematische Beziehung angenähert. Für die in Abb. 3.4.16 dargestellte Diodenkennlinie gilt die Näherung: U = UT ln (I/Is + 1) mit dem Sättigungsstrom Is = (10-15 ....10-4) A und der Temperaturspannung UT = 25.9mV für T = 300K. I U RB3 I U 50mA RB2 25mA UZ RB1 −50 −0.5 −0.1µA I Abb. 3.4.15 Kennlinien des linearen Verbraucherzweipols −0.2µA Abb. 3.4.16 Diodenkennlinie 0.5 UF U/ V Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 97 1etv3-2 3.4.4 Gleichungen Der Lernende kann die Maschengleichungen im Grundstromkreis aufstellen die Spannungsgleichung und die Stromgleichung als normierte Gleichungen ableiten die normierten Gleichungen im Diagramm darstellen und diskutieren Für den in Abb. 3.4.17 dargestellten Grundstromkreis ergeben sich die Maschengleichungen I I Ri U0 Ma: −U0 + I ⋅ Ri + U = 0 Mb: .. −U + I ⋅ Ra = 0 Mc: −U0 + I ⋅ Ri + I ⋅ Ra = 0 Ma Mc U Mb Ra Abb. 3.4.17 Grundstromkreis Aus Ma erhält man die Gleichung des aktiven Zweipols: und aus Mb die Gleichung des passiven Zweipols: Aus Mc kann der Strom I berechnet werden: Leerlauf: Ra = ∞ U = Uo I=0 Ra = 0 U=0 I = IK = U = U0 − I ⋅ Ri U = I ⋅ Ra U0 I= Ri + R a (3.4.12) (3.4.13) (3.4.14) U0 Ri Für allgemeine Aussagen ist es zweckmäßig, genormte Gleichungen zu verwenden. Für die Normierung werden folgende Beziehungen verwendet: U U I Ra U0 = IK ⋅ Ri IK = o Ri U0 IK Ri Ra I ⋅ Ra Ra U Ri = = = (3.4.15) Uo I ⋅ (Ra + Ri ) Ra + Ri Ra + 1 Ri Uo I R Ri 1 (3.4.16) = ⋅ i = = IK Ra + Ri Uo Ra + Ri Ra + 1 Ri In Tabelle 3.4.1 sind für einige ausgewählte bezogene Belastungen Ra/Ri die bezogenen U Spannungen und Ströme angegeben, in Abb. 3.4.18 sind die Funktionen = f ( R a / Ri ) U0 I = f (Ra / Ri ) dargestellt. und IK Die Beschreibung des Grundstromkreises mit bezogenen Größen hat den Vorteil, dass man unabhängig von der konkreten Dimensionierung das Verhalten der Schaltung darstellen kann. Kurzschluss: Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 98 1etv3-2 1 Ra/Ri 0 1 2 4 ∞ U/Uo 0.00 0.500 0.667 0.800 1.00 I/IK 1.00 0.5 0.333 0.200 0.00 0,9 0,8 0,7 U/U0 I/IK 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 Tab 3.4.1. Wertetabelle der normierten Kennlinien des Grundstromkreises 0,1 0 0 2 4 6 8 Ra/Ri 10 Abb. 3.4.18 Normierte Kennlinien des Grundstromkreises Beispiel 3.4.03 Der Innenwiderstand eines Gleichstromgenerators beträgt Ri = 3.5Ω und seine Leerlaufspannung U0 = 125V. Der Gesamtwiderstand des äußeren Stromkreises ist Ra = 65Ω . Zu berechnen sind Strom und Spannung an den Klemmen des Generators. U 125V U0 = IK⋅ Ri IK = 0 = = 35.7 A Ri 3.5Ω Ra 65Ω R a / Ri 18.6 = = 18.6 U = U0 ⋅ = 125V ⋅ = 118.6V Ri 3.5Ω R a / Ri + 1 18.6 + 1 1 1 I = IK ⋅ = 35.7A ⋅ = 1.82A R a / Ri + 1 18.6 + 1 3.4.5 Kennlinien Der Lernende kann die U-I-Kennlinien des aktiven und des passiven Zweipols in einem Diagramm darstellen den Schnittpunkt der Kennlinien als Arbeitspunkt definieren die grafische und die analytische Lösung im Grundstromkreis ermitteln Für den aktiven Zweipol des Grundstromkreises hatten wir die U-IBeziehung durch die Gleichungen beschrieben: U I U = − 0 ⋅ I + U0 I = − K ⋅ U + IK IK Uo (3.4.17) Für den passiven Zweipol gelten für die U-I-Beziehung die Gleichungen U = I Ra oder I = Ga U (3.4.18) I aktiver Zweipol U passiver Zweipol Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 99 1etv3-2 Schaltet man aktiven und passiven Zweipol zusammen, so wird Gleichheit Ga1 > Ga2 > Ga3 der Spannungen und Ströme erzwungen. Ra3 > Ra2 >Ra1 In Abb. 3.4.19 sind die U-I-Kennlinien in U einem Diagramm dargestellt. Gleichheit Ra3 U0 der Spannungen und Ströme ist nur in Ga3 den Schnittpunkten der Kennlinien Ra2 A3 gegeben. Diese Schnittpunkte werden Ga2 Arbeitspunkt (A) genannt. Mit dieser Ra1 A2 Ga1 grafische Lösung sind die Parameter der A 1 Arbeitspunkte bestimmbar. IK I Abb. 3.4.19 Grafische Bestimmung des Arbeitspunktes im Grundstromkreis Beispiel 3.4.04 Gegeben ist eine Spannungsquelle mit Uo = 12V und Ri = 1.0Ω, sowie zwei Verbraucher mit den Widerständen Ra1 = 10Ω Ra2 = 20Ω. Zu zeichnen sind die U-I-Kennlinien der Quelle und der Verbraucher. Es sind grafisch die Arbeitspunkte zu ermitteln. Kennlinie der Spannungsquelle: U = 12V - 1.0Ω I 14 12 Kennlinien der Verbraucher: (1) U = 10Ω I (2) U = 20 Ω I 10 A2 U/ V A1 8 Arbeitspunkte Grafische Lösung A1: I1 = 1.1A; U1 = 10.9V A2: I2 = 0.57A; U2 =11.4V 6 4 2 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 I/A 1,2 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 100 1etv3-2 Beispiel 3.4.05 Eine Glühlampe mit dem Widerstand Ra = 12.5 Ω wird an einer Spannungsquelle (Leerlaufspannung U0 = 7.5 V; Kurzschlussstrom Ik = 1.2 A) betrieben. a) Zu berechnen sind Strom und Spannung an der Lampe für den sich einstellenden Arbeitspunkt b) Die Kennlinien U = f(I) sind sowohl für die Quelle als auch für die Lampe in einem Diagramm darzustellen, der Arbeitspunkt ist zu kennzeichnen a) −U0 + I ⋅ Ri + U = 0 I U0 7.5V = = 6.25Ω IK 1.2A Uo 7.5V I= = = 0.4A Ri + Ra 6.25Ω + 12.5Ω U = I ⋅ Ra = 0.4A ⋅ 12.5Ω = 5V Ri U0 Ri = U Ra b) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 U in V Glühlampe Batterie A I in A 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 101 1etv3-2 3.4.6 Leistung, Wirkungsgrad Der Lernende kann das Leistungsflussdiagramm des Grundstromkreises skizzieren die Leistung am Verbraucher berechnen den Verbraucherwiderstand angeben, bei dem die maximale Leistung auf den Verbraucher übertragen wird den Wirkungsgrad im Grundstromkreis definieren die Größe des Wirkungsgrades für die Anwendung des Grundstromkreises in der Nachrichtenund in der Energietechnik angeben a) Leistung im Grundstromkreis Die Leistungsbilanz des Grundstromkreises erhält man, wenn die Spannungsgleichung mit dem Strom I multipliziert wird. Pv I Pzu U0 ⋅ I = U ⋅ I + I ⋅ Ri 2 Pab Ri U U0 U0 = U + I ⋅ Ri I Ra (3.4.19) Dabei ist: Pzu = U0 ⋅ I (3.4.20) Leistung, die dem Grundstromkreis aus der Quelle zugeführt wird Pv = I 2⋅ Ri (3.4.21) Verluste am Innenwiderstand Pab = U ⋅ I (3.4.22) Leistung des Verbrauchers Pzu Pv Pab Abb. 3.4.20 Leistungsfluss-Diagramm Die Leistung an Pab wird über die Spannungs- und Stromgleichung in der normierten Form berechnet. R a / Ri 1 U 1 U = U0 = 0⋅ I = IK ⋅ (1 + Ra / Ri ) Ri (1 + Ra / Ri ) 1 + R a / Ri Pab = U I = U02 R a / Ri Ri (1 + Ra / Ri )2 (3.4.23) Die Kurve Pab = f (Ra / Ri ) muss einen Extremwert haben, da Pab = 0 sowohl für Ra = 0 als auch für Ra = ∞ gilt. Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 102 1etv3-2 Der Extremwert kann in der üblichen mathematischen Weise bestimmt werden. Von der Leistungsfunktion wird die 1. Ableitung gebildet und diese gleich Null gesetzt. Für die Variable führen wir x = Ra / Ri ein. U02 R a / Ri U02 x ⋅ = ⋅ 2 Ri (1 + Ra / Ri ) Ri (1 + x)2 P ⋅R y = ab 2 i , so ergibt sich Setzen wir U0 Pab = (3.4.24) x dy (1 + x)2 − 2x(1 + x) l y = = und dx (1 + x)4 (1 + x)2 (1 + xE )2 − 2x(1 + xE ) l erhalten wir xE = 1 Mit y = 0 = (1 + xE )4 Das Maximum der Leistung und tritt also bei Ra = Ri auf. y= U02 4 ⋅ Ri Bezieht man die Leistung auf die maximale Leistung ergibt sich: Pab max = (3.4.25) Pab 4 ⋅ R a / Ri (3.4.26) = Pab max (Ra / Ri + 1)2 Die Funktion ist in Abb. 3.4.21 dargestellt. Sollten Sie mit Extremwertbestimmung in der angegebnen Weise noch nicht vertraut sein, können Sie Maximumbestimmung auch mit dem Taschenrechner numerisch für die Funktion x y= (1 + x)2 durchführen. Als Taschenrechner sollten Sie ein eine Ausführung verwenden, die auch im Sinne der Aufgaben in den weiteren Kapiteln dieser Lehrbriefreihe neben Programmen für die Extremwertbestimmung, Nullstellenbestimmung von Gleichungen, Lösung linearer Gleichungssysteme und komplexe Rechnungen zulässt. Rechner ab etwa 80€ weisen diese Merkmale auf. b) Wirkungsgrad Der Wirkungsgrad des Grundstromkreises ist definiert als das Verhältnis: η= Pab U ⋅ I R a / Ri U = = = Pzu Uo ⋅ I Uo (Ra / Ri + 1) (3.4.27) Der Wirkungsgrad ist damit eine Funktion des Belastungswiderstandes Ra und wird durch die gleiche Beziehung wie die bezogene Spannung beschrieben. In der Tabelle 3.4.2 sind Werte des Wirkungsgrades und der bezogenen Leistung für unterschiedliche Belastungen aufgeführt. In Abb. 3.4.21 sind die Funktionen im Diagramm dargestellt. Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 103 1etv3-2 Ra/Ri 0 1 2 4 ∞ Pa/Pa,max 0.00 1.00 0.89 0.64 0.00 1,2 η 0.00 0.500 0.667 0.8 1.00 Pa/Pamax 1 0,8 0,6 η 0,4 Tab. 3.4.2 Wertetabelle der bezogenen Leistung und des Wirkungsgrades 0,2 Ra/Ri 0 0 1 2 3 4 5 Abb. 3.4.21 Leistung und Wirkungsgrad als Funktion der Belastung Um größere Wertebereiche des Belastungswiderstandes zu erfassen, wird die Abszisse oft logarithmisch geteilt. Durch diese Maßnahme wird die Darstellung der Funktion in ihrer Aussage wesentlich erhöht. In Abb. 3.4.22 sind die normierten Strom- und Spannungsverläufe und die normierte Leistung über dem lg (Ra/Ri) aufgetragen. Es ergeben sich zum Wert Ra/Ri = 1 symmetrische Kurvenverläufe. a) b) 1,2 1,2 Pa/Pamax 1 1 U/U0 I/IK 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 0 -3 -2 -1 0 1 2 lg(Ra/Ri) 0 3 -3 -1 Abb. 3.4.22 a) Normierte Leistung und b) Normierte Spannung und normierter Strom als Funktion von lg(Ra/Ri) 1 lg(Ra/Ri 3 Prof. Dr.- Ing. Herzig Vorlesung "Grundlagen der Elektrotechnik 1" 104 1etv3-2 Der Grundstromkreis wird in den unterschiedlichen Bereichen der Elektrotechnik unterschiedlich dimensioniert. In der Energietechnik soll die Leistungsübertragung mit möglichst geringen Verluste erfolgen. Der Wirkungsgrad muss demzufolge groß sein. Das bedeutete Ra >> Ri . Die Widerstände der Übertragungsnetze müssen im Vergleich mit den Widerständen der Verbraucher klein sein. in der Nachrichtentechnik wird mit der Übertragung maximaler Leistung auf den Verbraucher gearbeitet. Der Verbraucher wird mit Ra = Ri an die Quelle angepasst. Das bedeutet maximale Übertragung der Information. Dabei treten sehr kleine Leistungen auf, so dass der Wirkungsgrad η = 0.5 unerheblich ist. Beispiel 3.4.06 Zwei Batterien (U01 = 12 V: U02 = 9 V; Ri2 = 2.7 Ω) werden parallel betrieben, wobei sich die Klemmenspannung U = 11.7 V einstellt. Berechnen Sie den Innenwiderstand Ri1 der ersten Batterie! Ri1 U01 M1 I U M1 : −U01 + I ⋅ Ri1 + U = 0 Ri2 M2 M2 : −U + I ⋅ Ri2 + U02 = 0 U02 I= U − Uo 2 11.7 V − 9 V = 1.00 A = Ri 2 2 .7 Ω Ri1 = U01 − U 12V − 11.7 V = = 0.300Ω I 1A
