Ungleichungen und Gleichungen Aufgaben zur Wiederholung Arbeitsblatt 1 lgebraisches Lösen linearer Ungleichungen A Löse die Gleichung über ℝ, gib die Lösungsmenge an und stelle sie grafisch dar. a) (3 x − 5)×8 < 15 + 2×(5 x − 3) b) 70 − 21 x < 10 − 3×(2 x + 5) c) 2×(6 x − 1) ≥ 12 x + 27 d) 3×(x + 4) ≤ 6 + 5×(x − 2) e) (x + 2)(x − 3) > (x − 4)(x + 1) f) (x − 4)2 ≤ (x + 3)(x − 3) 2 ngleichungsketten U Für welche reellen Zahlen x gilt die Ungleichungskette? Löse durch Aufspalten in zwei Ungleichungen. Gib die Lösungsmenge an und stelle sie grafisch dar. a) 12 − x ≤ 3 x < 12 + x b) 3 − 5 x ≤ 3 + 9 x ≤ 15 + x c) 4 − 3 x < x − 2 < 4 + 3 x x − 2 x x d) 2×(x + 1) < 25 − x < 7 x + 3 e) _ < 6 − _ < 3×(2 x + 1) f) 5 − 3 x ≤ _ − 2 ≤ 0 3 3 3 ngleichungen mit Fallunterscheidungen U Löse die Ungleichung in ℝ, stelle die Lösungsmenge grafisch dar und führe eine geeignete Überprüfung durch. 3 x + 4 a) _ < 1 2 x − 7 b) _ ≥ 3 3 x + 9 3 c) _ < − _ d) |3 x + 8| < 5 e) |5 − 4 x| ≤ 2 f) | − 2 x − 5| > 3 5 − x 2 x + 5 g)x2 − 4 x − 21 > 0 h) 7 − 2 x x2 − 14 x + 49 ≤ 0 2 i) (x − 5)(x + 6) ≥ 0 Wurzelgleichungen ⊳ Beispiel: _____ __ _____ Löse für die Grundmenge G = ℝ die Gleichung √ x + 1 + √ 2 – x = √ 6 . Lösung: In dieser Gleichung treten _____ mehrere __ Wurzeln auf. _____ √x + 1 + √ 2 – x = √ 6 |2 _____ _____ ) = 6 ( √x + 1 + √ 2 – x 2 Die linke Seite wird nach (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 aufgelöst. _____ _____ (x + 1) + 2×√x + 1 ×√ 2 – x + (2 – x) = 6 _____ _____ √x + 1 2× ×√ 2 – x + 3 = 6 | – 3 Durch Äquivalenzumformungen wird die Wurzel auf einer Seite der Gleichung isoliert. ____________ 2× ) = 3 √(x + 1)×(2 – x |÷2 ____________ (x + 1)×(2 – x ) = 1,5 √ | 2 (x + 1)×(2 – x) = 2,25 – x2 + x + 2 = 2,25 | + x2 – x – 2 0 = x2 – x + 0,25 x1 = x2 = 0,5 ___ ____ __ √ 1,5 = √ 6 Probe: √ 1,5 + ___ ___ _____ √1,5 + √ 1,5 = √ 4×1,5 ___ ___ 2× √1,5 = 2× √1,5 wahre Aussage _____ _____ __ Die Lösungsmenge der Gleichung √ x + 1 + √ 2 – x = √ 6 ist L = {0,5}. © 2015 Verlag E. DORNER, Wien Dimensionen – Mathematik 6 1 Ungleichungen und Gleichungen 4 urzelgleichungen W Löse______ die Gleichung für G = ℝ und überprüfe ______ ______ die__Lösung. _____ ______ _____ √x + 7 ___ √______ a) 2 x + 5 + √ 2 x – 3 = 4 b)√______ 4 x + 9 – √_____ x = √ x + 5 c)√______ x + 14 = 7 – ______ d)√2 x – 3 + 4 = 0 e)√2 x + 5 – √ x – 6 = 3 f)√2 x – 2 + √ 2 x + 8 = √ 20 Löse______ die folgenden Aufgaben mithilfe eines elektronischen Tools. ______ ______ √2 x + 4 = √ g)√_____ 2 x – 3 + _____ 8 x + 1 ______ _____ √x + 1 + h) √ x + 2 = √ x + 34 – √ x + 7 y (in km) i)Ein Hubschrauber, der im Punkt (0 | 0) stationiert ist, hat die Aufgabe, verletzte Personen von der Autobahn (Gerade y = 20) 40 in das Krankenhaus, das im Punkt (80 | – 40) liegt, zu bringen. Autobahn V Der Pilot setzt den Verletzten im Krankenhaus ab und notiert 20 20 x (in km) im Logbuch 140 geflogene Kilometer. An welcher Stelle x der H x Autobahn hat der Pilot den Verletzten aufgenommen? 20 40 60 80 – 20 O j) Zwei Orte A und B haben von einer geradlinig verlaufen– 20 ___ 40 den Eisenbahnstrecke die Abstände AC = a = 5 km und ___ ___ – 40 KH BD = b = 7 km. Die Gleislänge CD = c beträgt 12 km. An der 80 x Strecke CD befindet sich ein Bahnhof. Die Strecke von A zum Bahnhof und anschließend zu B beträgt 17,5 km. Wie weit ist der Bahnhof von C entfernt? Für diese Aufgabe gibt es zwei Lösungen. 5 äherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen N Löse die Gleichung grafisch und mithilfe der Regula falsi auf 2 Dezimalstellen genau. a)0,1x3 − 0,3x2 + 0,5 x − 0,7 = 0 b) − 32x3 − 4,2x2 − 0,06 x + 1,33 = 0 c) − 2x3 + 5,6x2 − 4,44 x − 5,68 = 0 © 2015 Verlag E. DORNER, Wien Dimensionen – Mathematik 6 2