Unterrichtsentwurf_Ungleichungen gesamt

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Ungleichungen
1. STUNDE
 Wiederholung (Begriff, Bedeutung, konkretes Beispiel))
Zu Beginn der Einheit werden Grundbegriffe die „Gleichung, Term,
Ungleichheit, Gleichheitszeichen“ wiederholt. Auch werden
Äquivalenzumformungen nochmals wiederholt und somit die Rechenregeln von
Gleichungen wiederholt.
De Schüler erhalten daher nach und nach eine Definition vom Begriff
Ungleichung bis sie sich schlussendlich folgende mit einem einführenden
Beispiel in ihrem Heft notieren sollen.
Def.: Eine Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eine
Relationszeichen (<,>,≤…) in Beziehung gesetzt sind. Wie bei den
Gleichungen kann man auch Ungleichungen usw. einteilen.
Beispiel: Lösen der Ungleichung mittels Äquivalenzumformung
x-5 < 3
/+5
x < 3+5
x<8
Dazu wird erklärt, dass man im Prinzip mit Ungleichungen genauso rechnen
kann wie mit Gleichungen. Addition, Subtraktion und Multiplikation sind
Äquivalenzumformungen, bei denen sich nichts am Ungleichheitszeichen
ändert.
Wie sieht also die Lösung einer Ungleichung aus?
(1) in ℕ, L={}
x <-3
(2) in ℤ, L={…,-5,-4}
(3) in ℝ, L={xϵℝ|x < -3}=]-∞,-3[
(4) in ℚ, L={xϵℚ|x < -3}
Dazu sollen Schüler zusätzlich auf einer Zahlengeraden die Lösungen von (1)-(3)
einzeichnen und dann folgenden Merksatz aufschreiben. Dann sollen sie
herausfinden was der Unterschied nun zwischen der Lösung einer Gleichung
und einer Ungleichung ist.
Merke: Ein wichtiger Unterschied zwischen linearen Gleichungen und linearen
Ungleichungen besteht darin, dass eine lineare Gleichung stets genau eine
Lösung besitzt, während eine lineare Ungleichung mehrere Lösungen, sogar
unendlich viele Lösungen, besitzen kann. In solch einem Fall ist es sinnvoll, alle
Lösungen der Ungleichung zu einer Lösungsmenge zusammenzufassen.
Nun gibt es noch eine weitere Besonderheit von Ungleichungen zu besprechen
nämlich:
Was passiert, wenn man beide Seiten der Ungleichung mit einer negativen Zahl
dividiert? Das Ungleichheitszeichen ändert sich (oder man tauscht die Seiten).
Beispiel:
2x + 3 > 5x – 7
2x > 5x – 10
-3x > -10
X<
10
3
/-3
/-5
/: (-3)
Wieder wird nach dem anschaulichen Beispiel auch ein Merksatz verfasst.
Merke: Wird bei einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder
dividiert, dreht sich das Relationszeichen um.
Nun dürfen die Schüler selbstständig Beispiele aus dem Schulbuch rechnen.
Zum Rechnen in der Unterrichtsstunde: 2.02. a), d), e),f)
Hausübung sind die nicht geschafften Beispiele zuhause fertig zu rechnen und
folgendes Beispiel:
Löse in der angegebene Grundmenge und stelle die Lösungsmenge grafisch dar:
2x – 7 < x + 11
G=ℕ
2x – 9 < 5x – 1
G=ℤ
2.-4. STUNDE
Folgende Arbeitsblätter werden in der 2.-4. Stunde bearbeitet.
A) Systeme linearer Ungleichungen mit einer Variablen
1. Konjunktive Ungleichungssysteme mit einer Variablen
Beispiel: Löse das Ungleichungssystem (2𝑥 − 5 < 7) ∧ (−3𝑥 − 1 ≤ −7) in ℕ!
Lösung: Wir vereinfachen vorerst beide Ungleichungen getrennt mittels Äquivalenzumformungen:
Wie sieht die Lösungsmenge einer solchen Ungleichung aus?
1. Übungsaufgaben: Löse die gegebenen Systeme für (1)G=ℕ, (2)G=ℤ, (3)G=ℝ! Veranschauliche
die Teillösungsmengen und die Gesamtlösung am Zahlenstrahl!
a) (5𝑥 + 11 ≥ ­4) ∧ (8𝑥 − 5 < 11)
b) (4𝑥 − 3 < 9) ∧ (6𝑥 − 3 > 9)
c) (3𝑥 + 12 > ­9) ∧ (­2𝑥 + 9 ≥ 10)
d) (3𝑥 − 6 > 3) ∧ (2𝑥 − 10 ≤ 3)
Eine andere, spezielle Schreibweise für konjunktive Ungleichungssysteme ist die folgende:
2. Fortlaufende Ungleichungen mit einer Variablen
Beispiel: Löse die fortlaufende Ungleichung ­3 < 2𝑥 + 1 ≤ 5𝑥 − 1 in ℝ!
Lösung:
2. Übungsaufgaben: Löse die gegebenen Systeme für (1)G=ℕ, (2)G=ℤ, (3)G=ℝ! Veranschauliche
die Teillösungsmengen und die Gesamtlösung am Zahlenstrahl!
a) ­9 ≤ 4𝑥 + 3 < ­1
b) ­4 ≤ 3𝑥 + 5 < 14
c) 6 − 𝑥 < 2𝑥 + 3 ≤ 𝑥 + 7
d) 3𝑥 − 1 ≤ 2𝑥 < 4𝑥 + 2
3. Disjunktive Ungleichungssysteme mit einer Variablen
Beispiel: Löse das Ungleichungssystem (2𝑥 − 5 < 1) ∨ (­3𝑥 − 1 ≤ ­13) in (1)ℕ und (2)ℝ!
Lösung:
Wie sieht die Lösungsmenge einer solchen Ungleichung aus?
3.
Übungsaufgaben:
4. Lineare Ungleichungen mit Beträgen
Beispiel:
Lösung:
Übungsaufgaben: Löse die gegebenen Systeme! Veranschauliche die Teillösungsmengen und die
Gesamtlösung am Zahlenstrahl!
a) |𝑥 + 1| > 4 , 𝐺 = ℕ
b) |4,2𝑥 + 3| ≤ 2,5 , 𝐺 = ℤ
𝑥
2
3
c) |3 + 5| < 4 , 𝐺 = ℝ
d) 2 ≤ |𝑥 − 5| < 5 , 𝐺 = ℝ
A) Ungleichung mit Bruchtermen
Beispiel: Löse die Ungleichung
𝑥
2𝑥−1
< 1 und veranschauliche die Lösungsmenge auf der
Zahlengeraden!
Lösung:
Beispiel: Löse die Ungleichung
𝑥−1
𝑥+2
< 2 und veranschauliche die Lösungsmenge auf der
Zahlengeraden!
Lösung:
Übungsaufgaben: Ermittle die Lösungsmenge der gegebenen Ungleichungen (1) in ℝ, (2) in ℤ!
Stelle die Teillösungsmengen und die Gesamt Lösung am Zahlenstrahl dar!
a)
b)
c)
d)
3
𝑥−2
1
<2
5𝑥−1
𝑥
2𝑥−3
1−2𝑥
≥6
≥0
5𝑥−4
−2𝑥+1
≤ −3
e) Buch Seite 37/ Beispiel 2.08 f) + g) und 2.09 a) + e)
B) Lineare Ungleichungen mit Parametern
Beispiel: Für welche 𝑥 ∈ ℝ gilt
3−𝑎𝑥
2
< 1?
Lösung:
Übungsaufgaben: Buch Seite 37/ Beispiel 2.14 a) + d) + f) + g)
C) Quadratische Ungleichungen
Definition:
Beispiel: Für welche 𝑥 ∈ ℝ gilt 𝑥² − 5𝑥 + 6 > 0 ?
Beispiel: Für welche 𝑥 ∈ ℝ gilt 𝑥² − 5𝑥 + 4 < 0 ?
Übungsaufgaben: Buch Seite 38/ Beispiel 2.16 a) + c) + d) + h)
Ungleichungen
5. STUNDE
Quadratische Ungleichungen
Beispiel: Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung grafisch mit Hilfe der
Grundparabel und einer Geraden. Forme so um, dass 𝑥² alleine auf einer Seite steht.
3
a) 𝑥² − 𝑥 − 4 > 0
Lösung:
Wir zeichnen jeweils die Grundparabel und die Gerade.
3
Wir suchen die Bereiche für 𝑥, bei denen die Werte von 𝑥² „größer“ sind als die Werte von 𝑥 + 4.
Dies trifft für alle Stellen 𝑥 zu, an denen die Grundparabel „oberhalb“ der Geraden liegt. Wir lesen
die Lösungsmenge ab:
𝑳 = {𝒙 ∈ ℝ|𝒙 < −𝟎, 𝟓 ∨ 𝒙 > 𝟏, 𝟓}
Lineare Ungleichungen
a) 𝑦 > 2
b) 2𝑦 − 3𝑥 < 0
2𝑦 < 3𝑥
𝑦 < 1,5𝑥
Ungleichungen
6. STUNDE
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