Aufgabensammlung

Aufgaben- und Formelsammlung
zur Lehrveranstaltung
NICHTLINEARE ELEKTROTECHNIK
Technischen Universität Ilmenau
Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik
Institut für Informationstechnik
Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
Version vom 07.10.2010
H ERRN
M EINEM L EHRER
P ROFESSOR D R . SC . TECHN . D R . MULT. E UGEN S. P HILIPPOW
IN D ANKBARKEIT GEWIDMET
N ICHTLINEARE E LEKTROTECHNIK
5
E INFÜHRUNG
1 Einführung
Aufgabe 1.1 – Einführungsaufgabe, Besonderheiten der Nichtlinearität
(a) Erläutern Sie den prinzipiellen Unterschied zwischen linearen und nichtlinearen Bauelementen! Geben Sie die Schaltungssymbole an!
(b) Worin besteht der Vorteil der Normierung der Netzwerksgleichungen?
(c) Charakterisieren Sie ein nichtlineares resistives Netzwerk!
(d) Begründen Sie die Ungültigkeit des Superpositionsprinzips!
Aufgabe 1.2 – Klassifikation nichtlinearer Bauelemente, Effektivwertkennlinie
Die statische U-I-Kennlinie eines nichtlinearen Widerstandes werde durch die Funktion
U = KI 3
mit
K = 0, 1
mV
(mA)3
(a) Zeichnen Sie die Kennlinie im Bereich von −5mA ≤ I ≤ 5mA in ein geeignetes Koordinatensystem. Welche technischen Bauelemente haben diesen qualitativen Kennlinienverlauf?
(b) Wie lautet der analytische Ausdruck für die Momentanwertkennlinie (u = f (i )) und den
dynamischen Widerstand ( R∂ = R∂ ( I p )), wenn es sich bei dem Widerstand um ein trägheitsloses Bauelement handelt (I p Strom im Arbeitspunkt)?
(c) Berechnen Sie den Verlauf des dynamischen Widerstandes, wenn die Kennlinie zu einem
sehr trägen Element gehört.
(d) Ermitteln Sie grafisch und analytisch den zeitlichen Verlauf der Spannung am trägheitslos
angenommenen Widerstand, wenn dieser von einem sinusförmigen Wechselstrom
i = Î sin ωt
( Î = 5mA)
durchflossen wird.
(e) Ermitteln Sie für den unter d) angenommenen Fall analytisch und durch Zerlegung in Harmonische Anteile den Effektivwert der Spannung!
(f) Wie kann die Effektivwertkennlinie ermittelt werden?
Aufgabe 1.3 – statischer, differentieller Widerstand
(a) Die Strom-Spannungs-Kennlinie eines nichtlinearen Zweipols ist durch die Beziehung
I = a U + b U 3 gegeben. Bestimmen Sie den statischen und den differentiellen Widerstand
dieses Zweipols im Arbeitspunkt U = 4 V mit a = 8 ∗ 10−3 AV −1 und b = 5 ∗ 10−4 AV −3 .
Stellen Sie Kennlinien Rstat (U0 ) und Rd (U0 ) grafisch dar!
(b) Bestimmen Sie den statischen und differentiellen Widerstand eines nichtlinearen Zweipols
bei einer Spannung von 225 V, wenn die Strom-Spannungs-Kennlinie durch die Beziehung
I = 8 ∗ 10−5 A(U/V )3/2 gegeben ist!
Aufgabe 1.4 – differentielle Kapazität, Ersatzmodelle
Eine typische nichtlineare Kapazität wird durch die q-u-Kennlinie
k(u/V )3/2 : u ≥ 0
q=
−k(−u/V )3/2 : u < 0
charakterisiert, wobei k eine physikalische Konstante ist. An diese Kapazität wird eine Spannung
u(t) = (1/4) V cos 2 (t/1s) angelegt.
a) Bestimmen Sie die differentielle Kapazität Cd (u)!
b) Ermitteln Sie q(t) und i(t) = dq/dt!
c) Berechnen Sie i(t) mit Hilfe der differentiellen Kapazität Cd (u)!
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K ENNLINIENAPPROXIMATION
N ICHTLINEARE E LEKTROTECHNIK
2 Approximation und Interpolation
Aufgabe 2.1 – stückweise Geradenapproximation, nichtlinearer Ersatzzweipol
Die Strom-Spannungs-Charakteristik eines nichtlinearen Zweipols ist experimentell bestimmt
worden und liegt als Wertetabelle vor.
U/V
0
10
20
30
40
50
60
I/mA
0
120
175
210
235
260
285
Der Arbeitspunkt dieses Zweipols liegt im Bereich von 40 ... 60 V. Bestimmen Sie den statischen
und differentiellen Widerstand an den Grenzen des Arbeitsbereichs!
Wie groß sind die EMK der Quelle und der Widerstand eines äquivalenten Ersatzzweipols, der
den nichtlinearen Zweipol im Arbeitsbereich ersetzen kann?
Aufgabe 2.2 – Kennlinienapproximation, Rektifikationsmethode
Experimentell wurde die ψ-I-Kennlinie einer nichtlinearen Induktivität ermittelt.
Meßwerttabelle
I/mA
0
0,86
1,73
2,6
3,47
5,2
6,84
8,67
13,0
17,33
ψ/mVs
0
17,9
29,6
36,4
39,4
43,3
45,5
47,3
49,1
50,9
a) Leiten Sie mit vernünftigen Näherungen den Zusammenhang zwischen der B-H-Kennlinie
und der ψ-I-Kennlinie ab, wenn die Induktivität einen bewickelten Ringkern darstellt.
b) Die ψ-I-Kennlinie soll durch die Funktion I = a1 ψ + a3 ψ3 mit der Rektifikationsmethode
approximiert werden
α) im Anfangsbereich
β) im Sättigungsbereich
γ) im Bereich der größten Krümmung
δ) für den Gesamtbereich
c) Zeichnen Sie die Meßwertkurven und die Approximationen in ein Diagramm!
Aufgabe 2.3 – Kennlinienapproximation, Methode der kleinsten Fehlerquadrate
Bestimmen Sie für das gleiche Problem, wie in Aufgabe 2.2 die Approximationsfunktion vom Typ
I = a1 ψ + a n ψ n
(n = ganzzahlig, ungerade)
nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Der Koeffizient an und der Exponent n sind so
zu bestimmen, daß die Approximation bei vertretbarem Aufwand optimal wird. Verwenden Sie
daher zur Vereinfachung den in Aufgabe 6 ermittelten Wert für den Koeffizienten a1 . Stellen Sie
die Meßkurve und die Approximationskurve in einem Diagramm dar.
Aufgabe 2.4 – Kennlinienapproximation, Methode der ausgewählten Punkte
Die Q-U-Kennlinie eines nichtlinearen Kondensators ist durch folgende Wertetabelle gegeben:
U/V
0
19,2
29,2
35,9
40,8
44
46,5
49,5
Q/mAs
0
1
3
5
7
9
11
13
Bestimmen Sie K1 und K2 mit der Methode der ausgewählten Punkte, wenn die Kennlinie durch
den Ausdruck U = K1 Q1/2 + K2 Q approximiert werden soll.
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K ENNLINIENAPPROXIMATION
Aufgabe 2.5 – Kennlinienapproximation, Rektifikationsmethode mit vier Koeffizienten
Bestimmen Sie mit Hilfe der Rektifikationsmethode die Koeffizienten der Approximationsfunktion
y( x ) = aebx + cedx .
Aufgabe 2.6 – Kennlinienapproximation, Bewertung Approximationsfunktion
Meßwerttabelle
U/V
0
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
I/A
0
6 ∗ 10−5
4 ∗ 10−4
3 ∗ 10−3
2 ∗ 10−2
0,15
1,25
Die Kennlinie ist mit der Rektifikationsmethode zu approximieren! Verwenden Sie die Approximationsfunktionen:
a) I = a1 U + a3 U 3
b) I = α e βU
Welche Approximationsfunktion ist für die vorliegende Kennlinie besser geeignet?
Aufgabe 2.7 – Kennlinienapproximation, Vergleich verschiedener Approximationsmethoden
Die U-I-Kennlinie eines nichtlinearen resistiven Zweipols wird durch die Beziehung
U = U0 artanh( I/I0 ),
U0 = 1 V,
I0 = 1 A,
| I/I0 | < 1
beschrieben. Diese Kennlinie soll durch das unvollständige Potenzpolynom
U = a1 I + a3 I 3 + a5 I 5
approximiert werden.
(a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a1 , a3 und a5 durch Anwendung der Methode der kleinsten
Fehlerquadrate (5 Stützstellen). Wie groß ist die Fehlerquadratsumme?
(b) Wenden Sie zur Koeffizientenbestimmung die Methode der ausgewählten Punkte an und
berechnen Sie die Fehlerquadratsumme!
(c) Durch welche unendliche Reihe kann die Funktion y = artanh(x) ausgedrückt werden? Vergleichen Sie die von Ihnen berechneten Koeffizienten a1 , a3 und a5 mit den Koeffizienten der
unendlichen Reihe! Wie groß ist die Fehlerquadratsumme bei Berücksichtigung der ersten
drei Terme der Reihe?
Hinweis: Verwenden Sie zur Bestimmung der Fehlerquadratsumme die unter Punkt a) gewählten
Stützstellen!
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N ETZWERKANALYSE
N ICHTLINEARE E LEKTROTECHNIK
3 Analyse nichtlinearer Netzwerke
Aufgabe 3.1 – nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse
Gegeben ist ein nichtlinearer Zweipol, bestehend aus der Reihenschaltung eines nichtlinearen
Widerstand, dessen Kennlinie meßtechnisch bestimmt wurde, und einer Spannungsquelle Uq .
Uz(I )
I 00
11
00
11
00
11
U( I )
Meßwerttabelle
Uq
I/A
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
U/V
0
1,75
3,85
6,25
9,0
12,0
Approximieren Sie die Kennlinie U(I) des nichtlinearen Zweipols mit einem geeigneten Verfahren
unter Verwendung der Approximationsfunktion U = aI 2 + bI.
(a) Wie lautet die Kennlinie des Gesamtzweipols Uz ( I )?
(b) Zu diesem Zweipol werde ein Widerstand R in Reihe geschaltet. Wie lautet die Kennlinie
des erweiterten Zweipols UZR ( I ) ? Der erweiterte Zweipol wird kurzgeschlossen. Bestimmen Sie den Kurzschlußstrom in Abhängigkeit von Uq : Ik (Uq )!
(c) Wie groß sind der statische und dynamische Widerstand des als trägheitslos angenommenen Widerstands, des nichtlinearen Zweipols und des erweiterten nichtlinearen Zweipols,
wenn folgende Größen gegeben sind: Uq = 6 V, R = 25 V/A, Arbeitspunkt I A = I0 =
0, 5A?
Aufgabe 3.2 – Nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse
a I1
I2 2
000
111
000
111
I3 3
1
11
00
00
11
00
11
U1
b
U2
Es ist die U-I-Kennlinie des gegebenen passiven Zweipols zu
ermitteln.
Kennlinie 1: I1 = k1 ∗ U12 mit k1 = 1mAV −2
Kennlinie 2: I2 = k2 ∗ U23 mit k2 = 1mAV −3
Kennlinie 3: R3 = 200 Ω I3 = U2 /R3
Uab
a) Wie groß ist der Spannungsabfall U2 an der Parallelschaltung bei Uab = 4V?
b) Wie groß ist dann der statische Widerstand der Schaltung?
c) Unter welcher Bedingung kann die Schaltung zur Stabilisierung der Spannung am linearen
Widerstand verwendet werden?
Aufgabe 3.3 – Nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse, Dimensionierung
1
11
00
00
11
Kennlinien für R1
R1( I1) I
Uq
R2
I2
11
00
I5
R5
I4
1
0
0
1
0R4( I4)
1
R3( I3 ) I3
, R3
, R4
I/mA
0
1
4
9
12,25
U/V
0
1
2
3
3,5
Uq = 5 V und R2 = 225 Ω
Wie groß ist der Widerstand R5 zu wählen, damit der Strom I1 = 10mA wird?
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N ETZWERKANALYSE
Aufgabe 3.4 – Nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse, Arbeitspunkt
R3
11
00
00
11
R1
R4
R5
R2
Uq5
Uq1
Uq2
Uq1 = 100V; Uq2 = 35V; Uq5 = 50V
R1 = 40Ω; R2 = 40Ω;R4 = 30Ω;R5 = 330Ω
Kennlinie für R3
I = kU 2
k = 0, 03A/V 2
Berechnen Sie den Arbeitspunkt des nichtlinearen
Bauelementes R3 durch Zusammenfassen der
übrigen Bauelemente zu einem aktiven Zweipol.
Aufgabe 3.5 – Nichtlineare resistive Netzwerke, Funktionsbewertung
R1
R2
R6
In der angegebenen Brückenschaltung ist der Brückenstrom I5 als Funktion der äußeren Spannungsquelle Uq
darzustellen. In welchem Bereich arbeitet die Schaltung
nahezu linear?
Meßwerttabelle zur Diodenkennlinie:
R5
D2
D1
~
Uq
U/V
0,2
0,3
0,36
0,4
0,45
I/mA
0,25
2
5,5
10
17,5
R1 = R2 = 100Ω; R5 = 15Ω; R6 = 25Ω; Uqmax = 1V
Aufgabe 3.6 – Nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse
Uq1 = 5V, Uq2 = 1V, Uq3 = 2V
Uq2
Für das skizzierte Netzwerk sind alle Zweigströme auf
halbgrafischem Wege zu ermitteln. Alle Dioden haben
die gleiche Kennlinienapproximation
I = kU 2
I=0
U ≥ 0,
U<0
k = 1mA/V 2
Uq3
Uq1
Aufgabe 3.7 – nichtlineare resistive Netzwerke, Netzwerkanalyse, Iteration
Lösen Sie Aufgabe 3.6 mit Hilfe der Methode der schrittweisen Näherung.
Aufgabe 3.8 – Netzwerkanalyse, Dimensionierung von Gleichrichterschaltungen
Es soll ein umschaltbares Batterieladegerät dimenI1
sioniert werden. Der Ladestrom soll bei E06 = 6V
und bei E012 = 12V Id0 = 6A betragen. Primär
sei der Trafo an das Netz U1 = 220V angeschlosu1
sen und seine sekundärseitige Spannung betrage
U2 = 24V. Bei der Rechnung sollen die Wicklungsverluste des Trafos vernachlässigt und die
Gleichrichter und EMK’s als ideal angenommen
werden. Bestimmen Sie die notwendigen Daten
für Gleichrichter, Vorwiderstände und Typenleistung des Trafos!
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I2
E 06
R d6
Id
Rd12
E 012
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N ETZWERKANALYSE
N ICHTLINEARE E LEKTROTECHNIK
Aufgabe 3.9 – Netzwerkanalyse, Dimensionierung von Gleichrichterschaltungen
Ermitteln Sie ausgehend von der Methode der Stromflußwinkel für den vorgegebenen Verlauf
i2
ib
i cd
u1
u2 C
Rb
ub
der Spannung ub (siehe Bild) praktikable Formeln zur Dimensionierung der Gleichrichterschaltung, wenn die Gleichspannung Ub0 = 7V beträgt und die zugelassene Spannungsschwankung
nicht größer als ∆Ub = (umax − umin )/2 = 0, 5V sein soll. Der Maximalwert der Sekundärspannung des Trafos ist Û2 = 10V und die Netzfrequenz 50Hz. Der Widerstand Rb hat einen Wert von
100kΩ!
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HARMONISCHE A NALYSE
4 Harmonische Analyse
Aufgabe 4.1 – harmonische Analyse Einführung, Bewertung der Nichtlinearität
f ( t )
U
T
2T
3T
t
a) Stellen Sie den skizzierten Funktionsverlauf durch eine
Fourierreihe dar und zeichnen Sie das zugehörige Frequenzspektrum! Erläutern Sie dazu das Vorgehen bei der
analytischen Berechnung!
b) Berechnen Sie den Funktionsverlauf mit 10 Reihengliedern
und Gleichglied und stellen Sie das Ergebnis grafisch dar!
c) Erläutern Sie die Begriffe Verzerrungsfaktor, Klirrfaktor,
Formfaktor und Scheitelfaktor!
Aufgabe 4.2 – Numerische Ausführung der harmonischen Analyse, Schemaverfahren
Schreiben Sie einen Algorithmus zur numerische Ausführung des Schemaverfahrens! Ermitteln
Sie mit diesem Verfahren numerisch die Fourierkoeffizienten unter Verwendung von 20 Stützwerten für die Funktion aus Aufgabe 4.1 ! Vergleichen Sie die Ergebnisse beider Rechnungen
miteiander!
Aufgabe 4.3 – Harmonische Analyse, Methode der Stromflußwinkel
Gegeben ist eine Verstärkerstufe mit Feldeffekttransistor. Mittels der Methode des Stromflußwinkels sollen die Harmonischen bzw. das Gleichglied des Stromes durch R a ermittelt werden.
Ck
u(t)
n−Kanal
D
MOS−FET
G
S
U GS0
iD
Ra
UDS0
u GS (t) = u(t) + UGS0 = ÛGS cos ωt + UGS0
mit ÛGS = 5V UGSo = −2V
Von der dynamischen Übertragungskennlinie, die durch einen
gebrochenen Geradenzug approximiert werden soll, sind zwei
Wertepaare bekannt
i D1 = 13, 5mA,
u gs1 = 3V bzw. i D2 = 1, 2mA,
u gs2 = −4V
Aufgabe 4.4 – Harmonische Analyse, Vergleich verschiedener Verfahren
Eine Röhrenkennlinie soll infolge ihrer ausgeprägten Sättigungserscheinungen durch die Funktion
approximiert werden. Für
Ia0 = 5mA,
Ia = Ia0 [1 + tanh(cUg )]
c = 1/(2V ) u g (t) = Ug0 + Ûg cos ωt mit Ug0 = −2V,
Ûg = 1V
soll die harmonische Analyse durchgeführt und der Klirrfaktor bestimmt werden
a) mit dem Dreiordinatenverfahren
b) mit der Methode des Stromflußwinkels
c) durch Zerlegung der Approximationsfunktion.
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HARMONISCHE
A NALYSE
N ICHTLINEARE E LEKTROTECHNIK
Aufgabe 4.5 – Harmonische Analyse, Methode Stromflußwinkel, Dreiordinatenverfahren
Gegeben ist ein einfacher Vierpol mit einer Vakuumdiode, der eine Gleichrichterschaltung realisiert.
Die Kennlinie der Vakuumdiode ist durch folgende
Wertetabelle gegeben:
U/V
I
U
e
U
D
D
-80
-40
0
20
40
60
80
100
2
2
3
8
20
38
58
80
I/mA
R
U
a
Es sollen zwei Eingangssignale betrachtet werden:
(α) ue (t) = −20V + 60V ∗ cos(1s−1 t)
(β) ue (t) = 40V + 60V ∗ cos(1s−1 t)
Schaltung zu Aufg. 5
R = 2kΩ
a) Bestimmen Sie die Leerlaufspannungsübertragungskennlinie Ua (Ue )!
b) Konstruieren Sie u a (t) für die Eingangsspannungen α) und β)! Wie groß ist in beiden Fällen
der Stromflußwinkel? Legen Sie eine sinnvolle Definition des Stromflußwinkels zugrunde
und bestimmen Sie Gleich- und Grundwellenanteil der Ausgangssignale!
c) Für den Fall β) ist der Klirrfaktor der Ausgangsspannung mit Hilfe des Dreiordinatenverfahrens zu berechnen! Weshalb würde das Dreiordinatenverfahren im Fall α) ein stark fehlerhaftes Ergebnis liefern?
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5 Lösung nichtlinearer Gleichungen bzw. Systeme
Aufgabe 5.1 – Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme
Das nichtlineare algebraische Gleichungssystem
u21 + u22 − 1
u1 − u2
= 0
= 0
soll durch die Anwendung des Newton-Verfahrens gelöst werden.
a) Bestimmen Sie die Lösungen (u1 , u2 ) analytisch oder grafisch!
b) Geben Sie die vollständige Iterationsvorschrift für das vorgegebene Gleichungssystem an
und führen Sie mit der Anfangsbedingung u1 = u2 = 2 zwei Iterationsschritte aus!
c) Geben Sie einen kurzen Programmalgorithmus zur Lösung des vorgegebenen Gleichungssystems an. Überlegen Sie sich sinnvolle Kriterien für den Abbruch der Iteration!
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D YNAMISCHE N ETZWERKE
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6 Analyse nichtlinearer dynamischer Netzwerke
Aufgabe 6.1 – komplexe Rechnung und nichtlineare Netzwerke
a) Geben Sie eine allgemeine kurze Übersicht unter welcher Voraussetzung die Methode der
komplexen Rechnung auch auf nichtlineare Netzwerke angewendet werden kann.
b) Erläutern Sie das Vorgehen bei der Reihenschaltung bzw. der Parallelschaltung nichtlinearer
Elemente!
Aufgabe 6.2 – komplexe Rechnung und nichtlineare Netzwerke
Ein Reihenresonanzkreis ist an eine Wechselspannungsquelle u(t) = Û sin(ωt) mit Û = 0, 707V
und f = 800 Hz angeschlossen. Der Schwingkreis hat einen Dämpfungswiderstand R = 500Ω. Die
Induktivität L=L(I) ist nichtlinear. Ihre Effektivwertkennlinie ist bekannt.
I/mA
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1,0
U/V
0,2
0,5
0,725
0,85
0,92
0,96
1,0
1,025
1,07
R
U
R
U
a) Wie muß die Kapazität C dimensioniert werden, damit sich
ein eindeutiger Arbeitspunkt einstellt?
L ( I )
C
I
C
U
L
b) Ermitteln Sie grafisch den instabilen C-Bereich!
U
c) Bestimmen Sie für C=185 nF den Wert des Stromes I!
Schaltung zu Aufg. 6.2
Aufgabe 6.3 – nichtlineare dynamische Netzwerke
a) Geben Sie eine kurze Übersicht zur Klassifikation von Differentialgleichungen!
b) Stellen Sie für die vier auf Bild 6.3(a) bis 6.3(c) angegebenen einfachen Schaltungen die
Differentialgleichungen auf und normieren Sie sie!
11
00
00
11
R
u R(i)
Uq
R
Uq
L
11
00
Ψ (i)
Uq
11
00
00
11
u (i)
Uq
u (q)
C
R
C
Schaltungen zu Aufg. 6.3
Aufgabe 6.4 – nichtlineare dynamische Netzwerke
Eine Induktivität L=0,08 H und ein nichtlinearer resistiver Zweipol sind in Reihe geschaltet und
werden an eine Spannungsquelle E = 40 V angeschlossen. Die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes ist in der folgenden Tabelle wiedergegeben.
u/V
0,00
5,00
10,00
20,00
30,00
40,00
i/A
0,00
0,15
0,23
0,30
0,32
0,33
Bestimmen Sie den zeitlichen Verlauf des Stromes i mit dem Eulerverfahren (Zeitschrittweite
h = 0,1 ms).
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N ICHTLINEARE E LEKTROTECHNIK
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D YNAMISCHE N ETZWERKE
Aufgabe 6.5 – nichtlineare dynamische Netzwerke
Eine Spule mit Eisenkern soll über einen Widerstand R = 1, 6 kΩ
R
an eine Gleichspannungsquelle Uq = 24V angeschaltet werden.
Uq
Ψ (i)
Ermitteln Sie den Verlauf des Flusses ψ(t) und des Stromes i(t)
und stellen Sie beides grafisch dar! In der folgenden Tabelle ist
der Strom/Fluß-Zusammenhang der Spule angegeben.
Schaltung zu Aufg. 5
I/mA
17,30
13,00
8,60
6,80
5,20
3,50
2,60
1,70
0,89
ψ/Vs
50,90
49,10
47,30
45,50
43,30
39,40
29,6
29,60
17,90
Lösen Sie die Differentialgleichung
a) mit der Isoklinenmethode
b) mit der Methode von Frank
c) mit der Methode der bereichsweisen Linearisierung.
Vergleichen Sie die Ergebnisse der verschiedenen Methoden miteinander!
Aufgabe 6.6 – nichtlineare dynamische Netzwerke
Lösen Sie die in der 6.5 Aufgabe abgeleitete Differentialgleichung mit der Methode von Wolinkin!
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