Beweise zum Satz des Pythagoras, Sätze im Umfeld
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Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 1 Mathe-AG des SFZ Inhaltsverzeichnis Beweise zum Satz des Pythagoras, Sätze im Umfeld .................................................................. 1 Klassischer Beweis von Euklid ................................................................................................... 3 Ergänzungsbeweis ....................................................................................................................... 4 Arithmetischer Beweis mit der 2. Binomischen Formel ............................................................. 4 Beweis des 20. amerikanischen Präsidenten Garfield (1876) ..................................................... 4 1.Ähnlichkeitsbeweis .................................................................................................................. 5 2. Ähnlichkeitsbeweis ................................................................................................................. 5 Beweis mit dem Strahlensatz ...................................................................................................... 6 Möndchen des Hippokrates .......................................................................................................... 7 Höhensatz ....................................................................................................................................... 8 Kosinussatz eines beliebigen Dreiecks ......................................................................................... 8 Pythagoreische Zahlen .................................................................................................................. 9 Quellen.......................................................................................................................................... 12 Beweise zum Satz des Pythagoras, Sätze im Umfeld Behauptung: In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Flächensumme der Quadrate über den Katheten ist gleich groß, wie die Quadratfläche über der Hypotenuse. Kurz a 2 b 2 c 2 Dazu soll es einige Hundert Beweise geben, zumindest 90 findet man in einer Internetquelle. Ergänzung 1: Für ein beliebiges Dreieck gilt der Kosinussatz. Kurz: c2 a 2 b2 2ab cos Das heißt der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes. Ergänzung 2: Möndchen des Hippokrates Ergänzung 3: Ein Tripel natürlicher Zahlen (a,b,c) heißt pythagoreisches Zahlentripel, wenn a 2 b2 c2 Beispiele: (3,4,5), (5,12, 13), (28, 96, 100), … Frage: Welche Tripel sind pythagoreisch? Konstruiere alle, … Ergänzung 4: Pythagoras ist um 600 oder um 570 v. Chr. geboren Er ist in Samos aufgewachsen, unternahm Reisen nach Phönizien, Ägypten und Babylon, kehrte nach Samos zurück, wanderte um 525 nach Kroton in Süditalien aus und gründete dort einen Orden, dessen Mitglieder insbesondere auf eine bestimmte, genau festgelegte Lebensweise verpflichtet wurden. Bekannt geblieben ist Pythagoras durch den nach ihm benannten Satz, der aber schon vor ihm babylonischen und ägyptischen Mathematikern, und unabhängig von ihm chinesischen und indischen Mathematikern, bekannt gewesen ist. Allerdings war Pythagoras sicher ein sehr intelligenter und gelehrter Grieche. In der Astronomie verfügte Pythagoras über bemerkenswerte Kenntnisse. So erkannte er als einer der ersten, dass der Abendstern Venus und der Morgenstern Venus ein und derselbe Planet sind, und dass die Mondbahn gegen den Erdäquator geneigt ist. Außerdem betrachtete er die Erde als Kugel, die im Mittelpunkt des Universums ruht. Für Pythagoras ist alle Zahl und er meinte damit die Brüche oder besser noch die natürlichen MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 2 Mathe-AG des SFZ Zahlen. Er gehört damit in die Reihe der Griechen, die alles aus ein oder ein paar Dingen erklären wollten. Siehe auch i MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 3 Mathe-AG des SFZ Klassischer Beweis von Euklid Euklid beweist eigentlich den sogenannten Kathetensatz, aus dem sofort der Satz des Pythagoras (Kathefolgt: a 2 c p und b2 c q ii tensatz Skizze rechts, siehe ) Beweis In der Skizze unten (Quelle iii) gilt: 1) Quadratfläche(ACEF) = 2* Dreiecksfläche ACF 2) Dreiecksfläche ACF = Dreiecksfläche ABF (etwa: gleiche Grundseite und gleiche Höhe ) 3) Das Dreieck AHC erhalten wir aus ABF durch Drehen um 90° am Punkt A. Die Dreiecke sind kongruent, da sie in den beiden Seiten c und b übereinstimmen und im eingeschlossenen Winkel bei A: 90°+β 4) Dreiecksfläche AHC = Dreiecksfläche AHD 5) Rechtecksfläche AHG = 2*Dreiecksfläche AHD. MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 4 Mathe-AG des SFZ Ergänzungsbeweis Die an der Spitze zusammengelegten Quadrate a2 und b2 kann man mit vier Dreiecken ABC zu einem Quadrat der Seitenlänge a+b ergänzen (siehe Skizze oben, iv). Ebenso kann man das Quadrat c2 mit vier Dreiecken ABC ergänzen (siehe rechts), die Seitenlänge dieses Quadrats ist ebenfalls a+b. Arithmetischer Beweis mit der 2. Binomischen Formel Wenn wir vier rechtwinklige Dreieck wie oben gezeigt zusammenlegen, erhalten wir ein Quadrat 1 der Seitenlänge c. Die Fläche der vier Dreiecke ist 4 a b 2ab die Lücke im Zentrum ist ein 2 Quadrat mit der Seitenlänge b-a (wenn b die längere Kathete ist. Damit gilt: 2 c2 2ab b a 2ab b2 2ab a 2 a 2 b2 Beweis des 20. amerikanischen Präsidenten Garfield (1876) MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 5 Mathe-AG des SFZ Legen wir die zwei Dreiecke mit den Katheten a und b wie in der Skizze oben (siehe v) zusammen, so erhalten wir ein Trapez der Höhe a+b mit der unteren Seite a und der oberen Seite b. 1 1 1 1 Die Trapezfläche ist damit A a b a b a 2 2ab b2 2 2 2 2 Andererseits entnimmt man der Skizze, dass die Fläche auch aus zwei Dreiecken und einem hal1 1 1 ben Quadrat besteht: A 2 ab c 2 ab c 2 2 2 2 1 1 1 Setzt man die beiden Flächenterme gleich, so erhält man a 2 b2 c2 . 2 2 2 1.Ähnlichkeitsbeweis Die beiden Dreiecke DCF und CEF sind kongruent. Beide sind ähnlich zu ABC, da die Winkel a ' b' c' gleich sind. Damit gilt für alle drei, dass Höhe: Grundseite stets groß ist, also k a b c Die Dreiecksfläche von ABC ist gleich wie die Fläche der beiden Dreieck ADC und ABC. Also 1 1 1 gilt c c ' b b ' a a ' . Multiplizieren wir diese Gleichung mit 2 und ersetzen a ' a k 2 2 2 usw. so folgt nach Kürzen mit k: c 2 a 2 b 2 2. Ähnlichkeitsbeweis Die Formel a 2 b 2 c 2 ist genau dann richtig, wenn für eine Zahl k>0 gilt ka 2 kb 2 kc 2 Wir dürfen also die Quadrate über den Seiten durch Flächen ersetzen, die untereinander ähnlich sind - da die ähnlichen Flächen jeweils ein k-faches der Quadratfläche sind. Wir können uns dies durch die beiden folgenden Skizzen veranschaulichen (siehe vi) oder MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc oder W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 6 Mathe-AG des SFZ In der dritten Skizze (erstellt mit Geogebra) gilt: Das Dreieck ADB ist ähnlich zu Dreieck ABC, da jeweils zwei Winkel gleich sind, z.B. ein rechter und der Winkel bei B. Ebenso ist das Dreieck ACD und ACB ähnlich. Wir können die Dreiecke nach außen klappen, indem wir sie an den einzelnen Seiten spiegeln. Da auch dies Dreiecke ähnlich sind, gibt es eine Zahl k, sodass Dreiecksfläche ( ADB) k b2 , Dreiecksfläche ( ACD) k a 2 und Dreiecksfläche (CBA) k c 2 , Da die Fläche der beiden Kathetendreiecke sicher gleich groß ist wie die des Hypotenusenquadrats, gilt ka 2 kb 2 kc 2 oder c 2 a 2 b 2 Selbstverständlich sind damit auch die Halbkreise über den Katheten flächengleich zum Halbkreis über der Hypotenuse (dies benötigen wir später bei den Möndchen des Hippokrates ) Beweis mit dem Strahlensatz Wir können das rechtwinklige Dreieck entlang der Höhe in zwei Teildreiecke ADC und DBC zerschneiden. Der rechte Winkel bei C wird dabei in zwei Teile zerteilt, von denen der linke 90°Die Höhe zerteilt den rechten Winkel bei C in zwei Teile. Der linke Teil ist so groß wie, der Winkel β bei B (er ist ja 90°- α), der linke so groß wie α, der Winkel bei A (er ist 90°- β). Damit sind die beiden Dreiecke 1 und 2 ähnlich. 1) Wir können die Teildreiecke 1 und 2 also so übereinander legen, dass die Winkel β zur h q Deckung kommen und AC auf BC zu liegen kommt. Jetzt liefert der Strahlensatz: p h oder h2 p q . (Dies heißt Höhensatz, siehe unten) 2) Wir können das Teildreieck 2 verdreht auf das ursprüngliche legen, so dass die Winkel β zur Deckung kommen, aber die Seite BD auf der Seite BC liegt. Aufgrund der Kongruenz a c gilt DC’ parallel zu CA. Dann gilt oder a 2 p c (dies ist der erste der beiden Kap a thetensätze, siehe oben Euklids Beweis des Pythagoras) MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 7 Mathe-AG des SFZ 3) Analog legen wir das Teildreieck 1 verdreht auf das ursprüngliche, so dass die Winkel α zur Deckung kommen, aber die Seite AD auf der Seite AC liegt und DC’ parallel zu CB b c ist. Dann gilt oder b 2 a c q b 2 4) Damit gilt a b2 cp cq c( p q) c 2 Möndchen des Hippokrates Der griechische Mathematiker Hippokrates von Chios (um 450 v. Chr.) hat gezeigt, dass auch krummlinig begrenzte Flächenstücke durch rationale Zahlen berechnet werden können, ja sogar ganzzahlig sein können. Behauptung: Die Gesamtfläche der beiden roten Möndchen ist flächengleich zum grünen Dreieck. Wenn das grüne Dreieck z.B. die Seiten 3 4 und 5 hat, so ist die Fläche der beiden roten Möndchen 6 Flächeneinheiten. (Quelle der Skizzen vii) Beweis: Wir bezeichnen die Fläche des gelben Halbkreises mit g, die des blauen mit b und die des roten mit r. Die Dreiecksfläche soll w sein. Der Satz des Pythagoras sagt, dass g b r (siehe oben der 2. Ähnlichkeitsbeweis). Oder, wenn wir auf beiden Seiten die Dreiecksfläche addieren g b w r w bzw. g b w r w Die linke Seite besteht genau aus dem gelben und dem blauen Möndchen. MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 8 Mathe-AG des SFZ Höhensatz Behauptung: Im rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe über c gleich groß wie das Produkt der beiden durch die Höhe erzeugten Abschnitte der Hypotenuse. Kurz h2 p q Beweis A: Wir zerteilen das Dreieck entlang der Höhe in zwei Dreiecke 1 und 2. Mit den beiden so entstanden Dreiecken können wir sowohl das Quadrat der Höhe h2 als auch das Recheck der Hypotenusenabschnitte wie in der Skizze jeweils zu einem gleichgroßen Dreieck ergänzen: bzw. Beweis B: siehe oben bei Pythagoras, Beweis mit dem Strahlensatz, erster Teil Kosinussatz eines beliebigen Dreiecks Behauptung: Für ein beliebiges Dreieck gilt der Kosinussatz . c2 a 2 b2 2ab cos Ein einfacher Beweis findet sich bei Wikipedia: Falls γ < 90°: Satz des Pythagoras für das linke Dreieck: h 2 b 2 e 2 Satz des Pythagoras für das rechte Dreieck;: c 2 h 2 d 2 mit d a e folgt aus den beiden obigen Gleichungen c2 h2 d 2 b2 e2 (a e)2 b2 e2 a 2 2ae e2 a 2 b2 2ae e Da cos( ) oder b cos( ) e ist gilt schließlich b 2 2 2 c a b 2ae a 2 b2 2ab cos( ) MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 9 Mathe-AG des SFZ Pythagoreische Zahlen Ein Tripel natürlicher Zahlen (a,b,c) heißt pythagoreisches Zahlentripel, wenn a 2 b 2 c 2 Schon den Babyloniern und Ägyptern war bekannt, die Strecken 3, 4 und 5 ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Dies wurde z.B. beim Bau der Pyramiden benutzt. Wir wollen nun die pythagoreische Zahlentripel genauer beschreiben, so dass wir alle einfach berechnen können. (Quelle der folgenden Überlegung siehe viii) Es ist klar, dass mit (a,b,c) auch (ka, kb, kc) ein pythagoreisches Tripel bilden. Wenn man alle solche Tripel bestimmen will, kann man sich also auf die Tripel mit dem ggT (a, b, c ) 1 beschränken.. Weiter gilt: Wenn t ein Teiler von a und b ist, so ist er aufgrund der Bedingung a 2 b 2 c 2 auch ein Teiler von c. Also genügt es die Tripel mit ggT (a, b) 1 zu bestimmen. Im folgenden soll immer gelten, dass ggT (a, b) 1 (und damit auch ggT (a, b, c ) 1 ) ist und a 2 b2 c2 Im ersten Schritt zeigen wir, dass genau eine der beiden Zahlen a und b gerade, die andere ungerade sein muss. 1) Wenn beide Zahlen und b ungerade sind, etwa a=2n+1 und b=2m+1, so gilt 2 2 a 2 b2 2n 1 2m 1 4n2 4n 4m2 4m 2 . Damit ist c 2 gerade, also c gerade. Was zur Folge hat, dass a 2 b 2 c 2 durch 4 teilbar ist. Damit müsste auch 2 durch 4 teilbar sein. Also können nicht beide Zahlen a und b ungerade sein. 2) Wenn beide Zahlen a und b gerade sind, so ist der ggT (a, b) 1 . Wir können also weiter annehmen, dass a gerade und b ungerade ist (andernfalls benennen wir die Zahlen um). Da a und c ebenfalls teilerfrei sein müssen, ist damit auch c ungerade. Damit sind c+b und c-b gerade Zahlen, man kann sie also durch 2 ohne Rest teilen, das Ergebnis sei c b c b 4 xy . dabei x bzw. y. Es gilt damit a 2 c 2 b 2 c b c b 4 2 2 cb c b Im nächsten Schritt zeigen wir, dass die beiden Zahlen x und y teilerfremd sind. 2 2 • Hätten sie einen gemeinsamen Teiler, so wäre dieser auch Teiler von c x y und b x y ist. Diese sind aber teilerfremd. a2 • Damit ist jeder der Primfaktoren von entweder ein Primfaktor von x oder y (aber 4 a2 nicht von beiden). Also Da ein Quadratzahl ist, d.h. jeder Primfaktor geradzahlig 4 auftritt, sind auch x und y Quadratzahlen. cb c b 2 Damit ist also x s 2 und y t . Und damit und c s 2 t 2 . Damit ist außerdem 2 2 a 2 s t Wir haben also gezeigt: Wenn (a,b,c) ein pythagoreisches Tripel ist, das keinen gemeinsamen Teiler hat, so gibt es natürliche Zahlen s und t mit s t (damit b>0), so dass a 2 s t , b s 2 t 2 und c s 2 t 2 . Dabei muss außerdem genau eine der Zahlen s und t gerade sein, damit b und c beide ungerade sind. Wir zeigen nun, dass alle solche Zahlen, d.h. alle Zahlen a,b,c mit a 2 s t , b s 2 t 2 und c s 2 t 2 auch pythagoreische Tripel sind (falls alle Zahlen größer 0 sind, was noch ein paar Einschränkungen für s und t bedeutet). MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 10 Mathe-AG des SFZ Dies ist trivialerweise der Fall, denn a2 b2 2st s 2 t 2 4s 2t 2 s 4 2s 2t 2 t 4 s 2 t 2 c 2 2 2 2 Damit ist die Menge aller pythagoreischen Zahlen a, b, c | Es gibt s, t , k mit s,t teilerfremd, genau eine gerade und s t : a 2 s t k , b s 2 t 2 k und c s 2 t 2 k Die Zahlen, für die k=1 ist, heißen primitive pythagoreische Tripel Anmerkung zur Geschichte: Auf einer Babylonischen Tontafel, die heute nach ihrem Entdecker Plimpton 322 genannt wird, finden sich die folgenden Zahlenreihen (hier natürlich aus dem Babylonischen Hexagesimalsystem ins Dezimalsystem übertragen, siehe ix) Im 19. Jh. wurden eine halbe Million Tontäfelchen aus den Jahren 1800 bis 1650 v.Chr. gefunden, von denen sich 400 mit Mathematik beschäftigen. Bei einer davon handelt es sich um pythagoreische Zahlen, was bedeutet, dass die Babylonier 1000 Jahre vor Pythagoras die Bedeutung dieser Zahlen kannten (siehex) 1 119 169 2 3367 4825 3 4601 6649 4 12709 18541 5 65 97 6 319 481 7 2291 3541 8 799 1249 9 481 769 10 4961 8161 11 45 75 12 1679 2929 13 161 289 14 1771 3229 15 56 106 Man stellte dabei fest, dass die zweite Reihe von der Form b s 2 t 2 und die dritte Spalte von der Form c s 2 t 2 . Wenn man etwa die Differenz der zweiten und dritten Spalte berechnet, erhält man das Doppelte einer Quadratzahl. Damit kann man aus diesen Zahlen s und t bestimmen und damit auch a 2 s t . Die Tabelle enthält also pythagoreische Zahlentripel. n 1 2 3 4 MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc s 12 64 75 125 t 5 27 32 54 a=2st 120 3456 4800 13500 b=s2 - t2 119 3367 4601 12709 W.Seyboldt c=s2 + t2 169 4825 6649 18541 Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 11 Mathe-AG des SFZ 5 9 4 72 65 97 6 20 9 360 319 481 7 54 25 2700 2291 3541 8 32 15 960 799 1249 9 25 12 600 481 769 10 81 40 6480 4961 8161 11 2 1 4(*15=60) 3(*15 = 45) 5(*15 = 75) 12 48 25 2400 1679 2929 13 15 8 240 161 289 14 50 27 2700 1771 3229 15 9 5 90 56 106 Übrigens sind alle Zahlen s und t außer in Zeile 11 teilerfremd, in der obigen Spalte wurden die entsprechenden primitiven Zahlentripel ersetzt, d.h. die Zahlen wurden durch k=15 dividiert. MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12 Arbeitsblatt, Satz des Pythagoras Seite 12 Mathe-AG des SFZ Quellen • • • • • • Siehe Unterlagen der Uni Würzburg: http://www.didaktik.mathematik.uniwuerzburg.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/ 90 unterschiedliche Beweise auf englisch http://www.cut-theknot.org/pythagoras/index.shtml Seminararbeit http://jones.math.unibas.ch/~walser/Stud_Arbeiten/Pythagoras/Christen/Pythagoras.pdf Mathematische Spielerei: http://www.matheonline.at/materialien/Franz.Embacher/files/Pythagoras/Pythagoras.html Möndchen http://did.mat.uni-bayreuth.de/geonet/beispiele/pdf/pythagoras.pdf Pythagoreische Zahlen http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/pythtripel.html i http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/pythagoraeer.html Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Satzgruppe_des_Pythagoras iii Uni Würzburg http://www.didaktik.mathematik.uniwuerzburg.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/beweis_des_kathetensatzes/ iv Uni Würzburg http://www.didaktik.mathematik.uniwuerzburg.de/materialien/unterrichtsmaterial/pythagoras/ergaenzungsbeweis/ v 90 Beweise: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml , proof 5 vi 90 Beweise: http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml , proof 7 vii Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6ndchen_des_Hippokrates viii http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/pythtripel.html ix http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/babylonisch.html x http://de.wikipedia.org/wiki/Plimpton_322 und http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m446-03/pl322/pl322.html ii MatheSFZ_AB04_Pythagoras.doc W.Seyboldt Stand: 15.10.12
