Lecture 9

Frage 1
Frage 3
Frage 2
5 %
5 %5 %
10 %
10 %
81 %
95 %
Antwort 1
Antwort 2
Antwort 3
Antwort 1
Antwort 2
Antwort 3
90 %
Antwort 1
Antwort 2
Antwort 3
3
Die Eigenenergien des harmonischen
Oszillators sind (Details inNullpunktsenergie
Lehrbüchern
zur Quantenmechanik):
lineare n-Abhängigkeit
E2
Die Energieniveaus sind äquidistant!
Harmonischer Oszillator
E1
Nullpunktsenergie
lineare
Dien-Abhängigkeit
Eigenfunktionen
Ep =
1 Dx
2
E
2
v=3
Einsetzen in (4.38) liefer
Gleichung
7
E = hω 0
2
ψ 22
ψ2
5
E = hω 0
2
v=2
ψ1
ψ 12
v=1
hω
ψ0
ψ 02
v=0
0
Hermite-Polynome:
E0
Hermite-Polynome:
ψ 23
ψ3
0
E 0 Anwendungsbeispiele der sta
4.2.
0
x
Die Energieniveaus sind äquidistant!
Die Eigenfunktionen sind
sind
E
E=
3
hω
2 0
1
E = hω 0
2
x
237
d2 H
dH
+ (C −
− 2ξ
2
dξ
dξ
Dies ist eine Hermite’sch
ren Lösungsfunktionen di
Hv (ξ) vom Grade v sin
Differentialgleichungen),
gleichung
Hv (ξ) = (−1) · e
v
ξ2
·
d
mit v = 0, 1, 2, . . . definie
setzen in (4.40) verifizi
summary last lecture
comparison with the classical harmonic oscillator
v = 10
classical and qm description are similar for high quantum numbers but very different
Potenzialtopf
particle in a box
ly high barriers
n
k=
a
summary last lecture
summary last lecture
Epot
particle in a box
Epot
summary last lecture
infinitely high barriers
(x) = Aeikx + Be
ikx
particle in a box
Epot
infinitely high barriers
(x) = Aeikx + Be
k=
0
n
k=
a
(x) = Aeikx + Be
En =
n
a
n ⇥ x
a
⇥(x) = 2iA sin
x
20
2
aa
22 2
n
E2n =
n2
2
2m a
⇥ 2m a
⇥
n
n ⇥(x)
= 2iA sin
x
n = 1, 2 . . .
= 2iA sin
x
a
n
=
1,
2
.
.
.
a
ikx
x
a
0
En =
x
2
2m
ikx
2 Nullpunktsenergie
zero point energy
n2
2
a
2
2
E1 =
n = 1, 2 . . .
zero point energy
zero point energy
22 2
2
E1E1== 2m a2 2
2m a
2m a2
lichkeit W(E) = |ψ| dx des Teilchens
Man braucht daher für die Anregung E 1 → E 2 die
Energie 3 · 0,368 eV ≈ 1,1 eV.
(Abb. 4.16a), die völlig analog zu den Schwingungen
einer an beiden Enden eingespannten Saite sind (siehe
Bd. 1, Abschn. 11.12). Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens |ψ(x)|2 dx im Intervall dx ist in
Abb. 4.16b illustriert.
Die aus (4.30b) folgenden Energiewerte
Potenzialtopf -
Man beachte:
Wenn die Wände des Potentialkastens nicht unendlich
hoch sind, sondern die Höhe E 0 haben, so kann das
Teilchen, wie schon in Abschn. 4.2.2 gezeigt wurde,
etwas in die Bereiche x ≤ 0 und x ≥ a eindringen.
Seine Wellenfunktion fällt dort wie in (4.27b) exponentiell ab. Die Wellenfunktionen ändern sich dadurch
!2 2
p2
!2 π 2 2
En =
=
k =
n
(4.31a)
2m
2m n 2m a2
sind gequantelt, sie steigen proportional zum Qua4.2. Anwendungsbeispiele der stationären Schrödingergleichung
drat der Quantenzahl n an (Abb. 4.17a,b), sind aber
a)
b)
Dies wird sofort aus der Heisenberg’schen
Unbeb)
umgekehrta) proportional zum Quadrat
der Potentialkasstimmtheitsrelation
klar, die verlangt,
E
E
E dass
E
tenbreite a. Mit E 1 = (!2 /2m) · (π/a)2 ergeben sich die
p · ∆x ≥ h/2 .
E4
16 E1
E6
E∆
Energiewerte
3
En = n2 · E1 .
ψn
ψn
2
(4.31b)
Die minimale Energie ist nicht null, sondern
E3
E1 =
2
2
! π
.
2m a2
E2
9 E1
133
Mit ∆x = a ergibt sich:
pmin π
h
⇒ kmin = E =
p ≥ ∆p ≥
2a
!5
a
⇒ λmax = 2a ,
was
wenn wir E =
E sich als identisch mit (4.32)Eerweist,
4
2
(4.32) p2 /2m
setzen.
4 E1
DieseE Nullpunktsenergie wird durch die Ortsbe1
x
x
a das Teilchen
0
0
schränkung
∆x = a für
bedingt.a Je
Abb.
4.16a,b.desto
Wellenfunktionen
und Energieeigenwerte
eigrößer
a wird,
kleiner wird
die Nullpunktsnes Teilchens im unendlich hohen eindimensionalen Potenenergie
E 1 . (a) Wellenfunktionen (b) Aufenthaltswahrscheintialkasten.
lichkeit W(E) = |ψ|2 dx des Teilchens
(Abb. 4.16a), die völlig analog zu den Schwingungen
E3
BEISPIEL
E
E2
Ein 1Elektron wird in einen eindimensionalen
PotentiE
1 Seine Energiewerte
x
x
alkasten
mit
a
=
1
nm
eingesperrt.
a
0
0
2a
sind dann
Abb. 4.17a,b.
Vergleich der Energieniveaus in einem ein!2 π 2 2
dimensionalen
Potentialkasten der Breite
En =
n =unendlich
368 meV · n 2hohen
.
2ma2
(a) ∆x = a (b) ∆x = 2a
Man braucht daher für die Anregung E 1 → E 2 die
Energie 3 · 0,368 eV ≈ 1,1 eV.
endlicher Potenzialtopf
134
4. Grundlagen der Quantenmechanik
$
E0
E3
E0
E2
0
0
a
E1
x
Abb. 4.18. Energieniveaus und Wellenfunktionen in einem
eindimensionalen Potentialkasten mit endlicher Höhe E 0
etwas, weil die Randbedingungen ψ(0) = ψ(a) = 0
nicht mehr gelten (Abb. 4.18). Die Änderung ist umso
√
jetzt k = 2m(E + E 0 )/
k $ · a = n · π wird, zeigt
die Reflexion also Mini
effekten beruhende Phän
atomaren Potentialen zu
querschnittes bei Energi
bei denen destruktive Int
de Broglie-Wellen auftritt
Zusammenfassend ste
Wird ein Teilchen au
eingeschränkt, so si
gequantelt. Seine min
E1 =
!2 π 2
.
mposites
example: semiconductor quantum dots
DOT
Quantum Dot Emission & Absorption Spectra
NANOMATERIALS
electron-hole pair (exciton)
confined in a nanocrystal
earch
!RBITRARYÖ5NITS
of semiconductor
meters (10mall sizes,
ng quantum
d enabling
operties at the
%VI$OTÖ#D3E:N3Ö!BSORPTIONÖ3PECTRA
omes from their
e sensitivity to
7AVELENGTHÖNM
on, which can be
ogies’ proprietary manufacturing techniques, and control over surfaces.
ntities
%VI$OTÖ#D3E:N3Ö%MISSIONÖ3PECTRA
!RBITRARYÖ5NITS
SPECIFICATIONS
CdSe semiconductor nanocrystals
7AVELENGTHÖNM
actually more like hydrogen
EviDot and EviComposites Quantumthis
Dot isProducts
atom not like particle in a box
Quantum Dot Test Kits with EviDots
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materials
Quantenpunkte
J. Am. Chem. SOC.,Vol. 115, No. 19, 1993 8709
theory
experiment
bulk
A
ange
th a
arge
ition
from Schmid et al. “Nanoparticles”, Wiley-VCH
io
Wavelength (nm)
Figure 3. Room temperature optical absorption spectra of CdSe
Atome - Historisches
1.1. historical review
Empedocles (490-430 B.C.)
„ ... everything is composed of four constituents: fire water air and soil ...“
Leucippus (440 B.C.)
Democritus (460-370 B.C.)
„ ... infinitely small particles fill the volume of macroscopic bodies ... “
bulk
atom
Greek ατομος or atomos meaning "indivisible"
Historisches
1.1. historical review
Plato (427 - 347 B.C.)
attributed geometric structures to the four elements
tetrahedron (fire), octahedron (air), icosahedron (water), cube (soil)
Aristoteles (384 - 322 B.C.)
did not accept the atomic concept
Epicurus (341 - 271 B.C.)
short revival of the atomic concept, attributed size and mass to an atom
lost again until the end of 18th century
Historisches
1.2. experimental hints
chemistry (1803)
Daltons Law of Constant Proportions (John Dalton, 1766-1844)
„...mass ratio of reactants forming chemical compounds is the same
for the same reaction but may differ for different reactions...“
14 g nitrogen + 16 g oxygen yield 30g NO
14 g nitrogen + 32 g oxygen yield 46 g NO2
ratio:
ratio:
7:8
7:16
atomic mass units
first based on hydrogen atom (Dalton)
now based on 12C (Berzelius, 1779-1848)
• all chemical elements consist of
very small particles which can
not be chemically divided
• all atoms of the same chemical
element have equal size, mass
and quality
• when A reacts with B to form
ABn the ratio of NB/NA is a
small integer
Historisches
1.2. experimental hints
kinetic gas theory (1805)
Gay-Lussac (1778-1850), von Humboldt (1769-1859)
volume of oxygen gas and hydrogen gas was always 1:2
when forming water vapor
2 litres of H2 and 1 litre of O2 make 2 litres of H2O
• when two or more different
gases completely recombine to
form a gaseous chemical
compound, the ratio of the
volumes of reactants and
reaction products at equal
pressure and temperature is
always given by the ratio of
small integer numbers
Avogadro (1776-1856)
definition of molecules
definition of the mole
1 mol = same number of particles
(atoms/molecules) as 0.012 kg 12C
NA=6.0221415x1023 mol-1
• the same volume of different
gases always contains the same
number of molecules at the
equal pressure and
temperature
Bestimmung Stoffmenge
1.2. experimental hints
determination of Avogadros number
-
+
from electrolysis
Faraday‘s law:
-
F=NA·e=96485.3383 C/mol
+
NA =
current · time
atomic mass
elementary charge deposited mass
AgNO3
many other ways...
Ag+ + NO3-
Bestimmung Stoffmenge
1.2. experimental hints
biology
Brownian motion (Robert Brown: 1827)
single R6G molecules in TEHOS
... small particles suspended in a liquid
perform irregular motion ...
atom
particle
theory of Brownian motion (Einstein, Smulochowski 1905)
thermal energy
mean square distance < ⇥ 2 >=
kB T
t
3⇤ r
viscous energy
measurement time
molecular „path“
1.3. the size of atoms
seeing atoms: field emission microscope
Erwin Müller (1936)
Barium atoms on a Tungsten tip
1.3. the size of atoms
seeing atoms: scanning tunneling microscope
Das Tunnelmikroskop: Prinzip und Realisierung
Tunnelspitze
tip
-
barrier
surface
Oberfläch
1.3. the size of atoms
STM image of a gold (111) surface
Silicon (111) surface with 7x7
reconstruction
7nm
http://svr.ssci.liv.ac.uk/gallery.html
t $ 70 – 80 Å. In interpreting these images, it can be deduced that
the grain boundary is amorphous and $5–7 Å in thickness.
Preferential etching during specimen preparation could not be
observed (Fig. 4.). The precise determination of the grain boundary
thickness is not further addressed in this investigation. We acknowledge, however, that it is important for the understanding of
the atomic structure bridging the entire grain boundary.
Figure 2(a) shows the remarkable shape of the Si3N4 hexagons
in the %-Si3N4 grain to the right that reach into the amorphous
seeing atoms: electron microscopy
Fig. 3. Phase-rec
images (b) of a sec
thickness is determ
Ziegler et al., J. Am. Ceram. Soc. 86, 1777 (2003).
intergranular laye
plete, not fully c
phous grain boun
dangling bonds c
the amorphous gr
additive ions can
particular atom-c
(B) Scherzer
imen ("100 Å):
images of a grain
presented in Figs
here are !f " #
Scherzer images o
thicker sample a
periodic manner
resulting phase r
disappear and the