Mathematik wirklich verstehen

Mathematik
wirklich verstehen
Eine Einfuhrung in ihre Grundbegriffe und Denkweisen
Von Arnold Kirsch
3. verbesserte Auflage
Aulis Verlag Deubner & Co KG • Köln
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
TeilA
11
Zahlen
Vorbemerkungen
13
Kapitel 1
14
1.1
Natürliche Zahlen
Wozu verwendet man die natürlichen Zahlen? Was bedeuten dann die Operationen + , •, < ?
Ordinale und kardinale Verwendung
Eineindeutige Zuordnungen
Anzahlbestimmung durch eineindeutiges Zuordnen
Endlich und unendlich
Zur Bedeutung der Operationen +, •, <
Aufgaben 1.1
14
14
15
16
18
19
20
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
Anzahlbestimmung mittels Summenregel und Produktregel
Summenregel
Geordnete Paare, Kreuzprodukt, Produktregel
Allgemeine Produktregel
Aufgaben 1.2
21
21
23
25
28
1.3
1.3.1
.3.2
.3.3
.3.4
.3.5
Die Stellenwertschreibweise für natürliche Zahlen; Beispiele für Algorithmen .
Division mit Rest
Darstellung natürlicher Zahlen in einem Stellenwertsystem
Ausrechnen von Potenzsummen; Horner-Schema
Wie spiegeln sich die Operationen +, • , < in der Stellenwertschreibweise wider?
Ergänzung: Der euklidische Algorithmus
Aufgaben 1.3
29
29
31
33
34
36
37
Primzahlen als „Bausteine" von N
Primzahlen
Primfaktorzerlegung
Die Unendlichkeit der Menge aller Primzahlen
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
Erste Folgerungen aus der Eindeutigkeit der PFZ
Aufgaben 1.4
38
38
39
40
41
42
44
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
.4
.4.1
.4.2
.4.3
.4.4
.4.5
Kapitel 2
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
Bruchzahlen (positive rationale Zahlen) und Größen
44
Schreibweisen (Bezeichnungen) für Bruchzahlen
Bezeichnung durch gewöhnliche Brüche; Addition und Multiplikation
Bezeichnung durch Dezimalbrüche
Stellt jeder periodische Dezimalbruch eine Bruchzahl dar, und wie findet man
deren Bruchdarstellung?
Aufgaben 2.1
45
45
47
Verwendung der Bruchzahlen als Maßzahlen; Rechnen mit Größen
Größenmäßige Beschreibung von Gegenständen durch Maßzahl und Maßeinheit
Was sind Größen; wie vergleicht und addiert man sie?
Grundlegende Rechengesetze für Größen
50
50
52
53
48
50
2.2.4
2.2.5
Teilbarkeitseigenschaft; Vervielfachung von Größen mit Bruchzahlen
Division und Multiplikation von Größen
Aufgaben 2.2
55
57
58
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
Wichtige Unterschiede zwischen den Zahlbereichen N und <Q+
Lösbarkeit jeder Gleichung a x = b
Dichtheit der Bruchzahlen
Endlichkeit, Beschränktheit und größte Zahl einer Zahlenmenge
Aufgaben 2.3
59
59
60
61
62
Kapitel 3
3.1
Rationale (insbesondere ganze, auch negative) Zahlen
63
Wozu verwendet man die rationalen Zahlen? Was bedeuten dann die Rechenoperationen?
Verwendungszwecke
Bedeutung der Kleinerbeziehung und der Addition
Gegenzahlbildung, Subtraktion
Bedeutung der Multiplikation
Aufgaben 3.1
63
63
64
65
66
68
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation in Q
Körper-Axiome
Erste Definitionen und Beweise
Verwendung des Distributivgesetzes und der multiplikativen Inversen
Aufgaben 3.2
69
69
70
72
74
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
Die Kleinerbeziehung in Q; Betrag einer rationalen Zahl
Anordnungsaxiome
Definitionen und Beweise auf Grund der Anordnungsaxiome
Hinweise zur Gleichheitsbeziehung
Betrag einer rationalen Zahl
Aufgaben 3.3
74
74
75
77
77
79
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
Runden von Zahlen; elementare Fehlerrechnung
Runden; zuverlässige und gesicherte Ziffern
Absoluter und relativer (prozentualer) Fehler
Fortpflanzung absoluter Fehler bei den Grundrechenarten
Fortpflanzung relativer Fehler bei den Grundrechenarten
Aufgaben 3.4
80
80
81
83
85
86
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
Kapitel 4
Reelle Zahlen
87
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
Wozu benötigt man die reellen Zahlen?
Inkommensurable Streckenpaare
Unzulänglichkeiten der rationalen Zahlen
Reelle Zahlen; irrationale Zahlen
Aufgaben 4.1
87
87
88
90
91
4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.3
Reelle Zahlen und Dezimalbrüche; Rechengesetze
Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Dezimalbrüchen
Rechengesetze für reelle Zahlen
Intervallschachtelungs-Axiom, Archimedisches Axiom
Aufgaben 4.2
91
91
94
95
97
4.3
Einiges über Wurzeln
97
4.3.1
4.3.2
4.3.3
Wurzeln und Gleichungslösungen
Arithmetisches und geometrisches Mittel
Verfahren zur Quadratwurzelberechnung
Aufgaben 4.3
97
98
100
102
Teil B Mengen, Aussagen, Beweise
105
Vorbemerkungen
105
Kapitel 5 Aussageformen und ihre Erfüllungsmengen
105
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
Beschreibung von Mengen mittels Aussageformen
Aufzählende und beschreibende Schreibweise
Äquivalenz von Aussageformen
„Gleichungslehre"
Mengen von Zahlenpaaren; zweistellige Aussageformen
Aufgaben 5.1
105
105
107
108
110
112
5.2
Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit von Aussageformen; Allaussagen und
Existenzaussagen
Allgemeingültigkeit, Allaussagen
Erfüllbarkeit, Existenzaussagen
Teilweise (oder: schrittweise) Quantifizierung einer zweistelligen Aussageform
Negation von All- und Existenzaussagen
Aufgaben 5.2
113
113
114
U5
116
117
5.2.1
5.2.2
5.2.3
5.2.4
Kapitel 6
6.1
Operationen für Aussagen und Mengen
118
Die aussagenlogischen Operationen und ihre Entsprechung zu Mengenoperationen
Erinnerung an die Aussagenlogik
Entsprechungen zwischen logischen und Mengenoperationen
Beispiele, insbesondere Gleichungs- und Ungleichungssysteme
Wichtige Kombinationen von „nicht", „und", „oder"
Aufgaben 6.1
118
118
119
119
123
124
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
Rechenregeln für die Mengenoperationen und Beweisverfahren dafür
D, U,~ als Operationen in der Potenzmenge
Wichtige Rechenregeln für n, U,~
Beweise mittels Zugehörigkeitstafeln
Beweise mittels Venn-Diagrammen
Beweise durch Folgern aus Grundgesetzen
Aufgaben 6.2
125
125
125
127
128
129
131
6.3
6.3.1
6.3.2
6.3.3
Vereinigung und Durchschnitt von beliebig vielen Mengen; Klasseneinteilungen
Vereinigung unendlich vieler Mengen
Durchschnitt unendlich vieler Mengen
Klasseneinteilungen einer Menge
Aufgaben 6.3
132
132
134
135
137
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.1.4
Kapitel 7
7.1
7.1.1
„Wenn — dann" und „also"
Implikation und Äquivalenz
Der Junktor „=>" in der Aussagenlogik
138
138
138
7.1.2
7.1.3
7.1.4
Beispiele aus der Mathematik
Der Junktor „«*"
Sprachliche Formulierungen für Wenn-dann-Aussagen und Genau-dann-wennAussagen
Umkehrung und Kontraposition von Wenn-dann-Aussagen
Aufgaben 7.1
142
144
145
7.2
7.2.1
7.2.2
Die Mengen-Inklusion und ihre Eigenschaften
Entsprechungen zwischen der Implikation und der Mengeninklusion
Wichtige Eigenschaften der Mengen-Inklusion
Aufgaben 7.2
145
145
146
147
7.3
7.3.1
7.3.2
Hinweise zum Gebrauch des Wortes „also"; Schlußschemata
Beispiele
Die Abtrennungsregel und verwandte Schlußschemata
148
148
149
7.4
7.4.1
7.4.2
7.4.3
Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion
Einführende Beispiele
Allgemeine Beschreibung und Diskussion des Beweisverfahrens
Die Sätze von der kleinsten Zahl einer Zahlenmenge und von der Eindeutigkeit
der Primfaktorzerlegung
Die Induktionseigenschaft als Charakteristikum der natürlichen Zahlen
Aufgaben 7.4
151
151
153
7.1.5
7.4.4
139
141
155
157
158
Teil C Funktionen (Abbildungen) und Relationen
160
Kapitel 8
160
Der Funktionsbegriff (Abbildungsbegriff): Definitionen und Beispiele . . .
8.1
8.1.1
8.1.2
8.1.3
Funktionen auf dem Taschenrechner
Einstellige Funktionen
Plus-, Minus-, Mal und Durch-Operatoren
Zweistellige Funktionen
Aufgaben 8.1
160
160
161
162
164
8.2
8.2.1
8.2.2
8.2.3
8.2.4
8.2.5
Definitionen, Bezeichnungsweisen, Darstellungsweisen
Funktion, Definitionsmenge, Zielmenge, Wertemenge
Gleichheit von Funktionen; Namen für Funktionen
Darstellungsweisen für Funktionen
Injektiv, surjektiv, bijektiv
Fortsetzen und Einschränken von Funktionen
Aufgaben 8.2
164
164
166
167
169
170
172
8.3
8.3.1
8.3.2
8.3.3
8.3.4
Abbildungen endlicher Mengen; Folgen als Abbildungen
Abbildungen mit endlicher Definitions- und Zielmenge
Anzahlen solcher Abbildungen; Permutationen
Folgen als Abbildungen mit Definitionsbereich N
Rekursive Definition von Folgen
Aufgaben 8.3
173
173
175
176
177
178
8.4
Vier Typen geometrisch interpretierbarer Funktionen bzw. Abbildungen
8.4.1 Funktionen vom Typ [R —• [R
8.4.2 Funktionen vom Typ IR2 -» IR
8.4.3 Abbildungen vom Typ IR -• IR2
8.4.4 Abbildungen vom Typ IR2 -> IR2
Aufgaben 8.4
8
180
180
183
186
189
193
8.5
8.5.1
8.5.2
8.5.3
Maßfunktionen
Die Kardinalzahlfunktion
Flächeninhalt, Kurvenlänge
Bewertungsfunktionen
Aufgaben 8.5
Kapitel 9
Operationen für Funktionen
196
197
198
200
202
203
9.1
9.1.1
9.1.2
9.1.3
9.1.4
Verketten und Umkehren von Funktionen
Verketten
Umkehren
Ein Beispiel: Affine Abbildungen der Geraden
Abbildungsgruppen
Aufgaben 9.1
203
203
205
207
210
210
9.2
9.2.1
9.2.2
9.2.3
Elementargeometrische Abbildungen und ihre Verkettung
Affine Abbildungen der Ebene
Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen
Kongruenzabbildungen als Spiegelungsketten und als Isometrien
Aufgaben 9.2
211
211
213
216
219
9.3
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.3.4
9.3.5
Spezielle Operationen für reelle Funktionen
Addition und Multiplikation
Entsprechung zu den Mengenoperationen (Charakteristische Funktionen)
Verkettung von reellen Funktionen mit affinen
Symmetrieeigenschaften von Funktionsgraphen
Die Funktionalgleichungen der linearen und der Exponentialfunktionen
Aufgaben 9.3
220
220
222
224
226
228
231
Kapitel 10 Relationen
233
10.1
10.1.1
10.1.2
10.1.3
10.1.4
Der Relationsbegriff in Beziehung zu anderen Begriffen
Was ist eine Relation?
Beispiele und Darstellungsweisen für Relationen
Operationen mit Relationen
Funktionen als spezielle Relationen
Aufgaben 10.1
233
233
235
237
239
241
10.2
10.2.1
10.2.2
10.2.3
10.2.4
Eigenschaften von Relationen; Ordnungsrelationen
Transitivität
Reflexivität und Irreflexivität
Symmetrie und Antisymmetrie, Trichotomie
Ordnungsrelationen
Aufgaben 10.2
241
241
242
243
244
246
10.3
10.3.1
10.3.2
10.3.3
10.3.4
10.3.5
Äquivalenzrelationen
Äquivalenzrelationen und Gleichheit
Äquivalenzrelationen und Abbildungsgruppen
Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen
Eine Anwendung: Grundaufgaben der Kombinatorik
Begriffsbildung durch Abstraktion bzgl. einer Äquivalenzrelation
Aufgaben 10.3
247
247
248
251
253
256
257
Kapitel 11
Begründung von Zahlbegriffen
258
11.1
Reelle Zahlen, rationale Zahlen
11.1.1 Zahlen als Größenverhältnisse
11.1.2 Rekonstruktion der Bruchzahlen als Operatoren für Größen
11.1.3 Rekonstruktion der Bruchzahlen als Verhältnisse von natürlichen Zahlen
11.1.4 Negative Zahlen
Aufgaben 11.1
259
259
261
264
267
269
11.2
11.2.1
11.2.2
11.2.3
11.2.4
11.2.5
11.2.6
270
270
271
271
274
277
279
280
Gleichmächtigkeit von Mengen; Kardinalzahlen
Die Gleichmächtigkeit als Äquivalenzrelation zwischen Mengen
Nochmals: endliche und unendliche Mengen
Abzählbar unendliche Mengen
Kontinuum-unendliche Mengen
Kardinalzahlen
Gibt es noch größere Kardinalzahlen?
Aufgaben 11.2
Lösungen der Aufgaben
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Stichwortverzeichnis
10
282
282
285
288
292
295
297
302
305
314
320
324
328