Mathematik wirklich verstehen
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Mathematik wirklich verstehen Eine Einführung in ihre Grundbegriffe und Denkweisen Von Arnold Kirsch 3. verbesserte Auflage Aulis Verlag Deubner & Co KG • Köln Inhaltsverzeichnis Vorwort 11 Teil A Zahlen Vorbemerkungen 13 Kapitel 1 Natürliche Zahlen 14 1.1 Wozu verwendet man die natürlichen Zahlen? Was bedeuten dann die Operationen + , •, <? Ordinale und kardinale Verwendung Eineindeutige Zuordnungen Anzahlbestimmung durch eineindeutiges Zuordnen Endlich und unendlich Zur Bedeutung der Operationen +, •, < Aufgaben 1.1 14 14 15 16 18 19 20 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 Anzahlbestimmung mittels Summenregel und Produktregel Summenregel Geordnete Paare, Kreuzprodukt, Produktregel Allgemeine Produktregel Aufgaben 1.2 21 21 23 25 28 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 Die Stellenwertschreibweise für natürliche Zahlen; Beispiele für Algorithmen . Division mit Rest Darstellung natürlicher Zahlen in einem Stellenwertsystem Ausrechnen von Potenzsummen; Homer-Schema Wie spiegeln sich die Operationen + , •, < in der Stellenwertschreibweise wider? Ergänzung: Der euklidische Algorithmus Aufgaben 1.3 29 29 31 33 34 36 37 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 Primzahlen als „Bausteine" von IM Primzahlen Primfaktorzerlegung Die Unendlichkeit der Menge aller Primzahlen Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung Erste Folgerungen aus der Eindeutigkeit der PFZ Aufgaben 1.4 38 38 39 40 41 42 44 Kapitel 2 Bruchzahlen (positive rationale Zahlen) und Größen 44 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 Schreibweisen (Bezeichnungen) für Bruchzahlen Bezeichnung durch gewöhnliche Brüche; Addition und Multiplikation Bezeichnung durch Dezimalbrüche Stellt jeder periodische Dezimalbruch eine Bruchzahl dar, und wie findet man deren Bruchdarstellung? Aufgaben 2.1 45 45 47 Verwendung der Bruchzahlen als Maßzahlen; Rechnen mit Größen Größenmäßige Beschreibung von Gegenständen durch Maßzahl und Maßeinheit Was sind Größen; wie vergleicht und addiert man sie? Grundlegende Rechengesetze für Größen 50 50 52 53 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4 1.1.5 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 48 50 5 2.2.4 2.2.5 Teilbarkeitseigenschaft; Vervielfachung von Größen mit Bruchzahlen Division und Multiplikation von Größen Aufgaben 2.2 55 57 58 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 Wichtige Unterschiede zwischen den Zahlbereichen IN und (Q+ Lösbarkeit jeder Gleichung ax=b Dichtheit der Bruchzahlen Endlichkeit, Beschränktheit und größte Zahl einer Zahlenmenge Aufgaben 2.3 59 59 60 61 62 Kapitel 3 Rationale (insbesondere ganze, auch negative) Zahlen 3.1 63 Wozu verwendet man die rationalen Zahlen? Was bedeuten dann die Rechenoperationen? Verwendungszwecke Bedeutung der Kleinerbeziehung und der Addition Gegenzahlbildung, Subtraktion Bedeutung der Multiplikation Aufgaben 3.1 63 63 64 65 66 68 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation in (Q Körper-Axiome Erste Definitionen und Beweise Verwendung des Distributivgesetzes und der multiplikativen Inversen Aufgaben 3.2 69 69 70 72 74 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 Die Kleinerbeziehung in Q; Betrag einer rationalen Zahl Anordnungsaxiome Definitionen und Beweise auf Grund der Anordnungsaxiome Hinweise zur Gleichheitsbeziehung Betrag einer rationalen Zahl Aufgaben 3.3 74 74 75 77 77 79 3.4 3.4.1 3.4.2 3.4.3 3.4.4 Runden von Zahlen; elementare Fehlerrechnung Runden; zuverlässige und gesicherte Ziffern Absoluter und relativer (prozentualer) Fehler Fortpflanzung absoluter Fehler bei den Grundrechenarten Fortpflanzung relativer Fehler bei den Grundrechenarten Aufgaben 3.4 80 80 81 83 85 86 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 Kapitel 4 Reelle Zahlen 87 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 Wozu benötigt man die reellen Zahlen? Inkommensurable Streckenpaare Unzulänglichkeiten der rationalen Zahlen Reelle Zahlen; irrationale Zahlen Aufgaben 4.1 87 87 88 90 91 4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 Reelle Zahlen und Dezimalbrüche; Rechengesetze Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Dezimalbrüchen Rechengesetze für reelle Zahlen Intervallschachtelungs-Axiom, Archimedisches Axiom Aufgaben 4.2 91 91 94 95 97 4.3 Einiges über Wurzeln 97 6 4.3.1 Wurzeln und Gleichungslösungen 4.3.2 Arithmetisches und geometrisches Mittel 4.3.3 Verfahren zur Quadratwurzelberechnung Aufgaben 4.3 97 98 100 102 Teil B Mengen, Aussagen, Beweise 105 Vorbemerkungen 105 Kapitel 5 Aussageformen und ihre Erfüllungsmengen 105 5.1 5.1.1 5.1.2 5.1.3 5.1.4 105 105 107 108 110 112 Beschreibung von Mengen mittels Aussageformen Aufzählende und beschreibende Schreibweise Äquivalenz von Aussageformen „Gleichungslehre" Mengen von Zahlenpaaren; zweistellige Aussageformen Aufgaben 5.1 5.2 Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit von Aussageformen; Allaussagen und Existenzaussagen 5.2.1 Allgemeingültigkeit, Allaussagen 5.2.2 Erfüllbarkeit, Existenzaussagen 5.2.3 Teilweise (oder: schrittweise) Quantifizierung einer zweistelligen Aussageform 5.2.4 Negation von All- und Existenzaussagen Aufgaben 5.2 113 113 114 115 116 117 Kapitel 6 Operationen für Aussagen und Mengen 118 6.1 6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4 6.2 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4 6.2.5 Die aussagenlogischen Operationen und ihre Entsprechung zu Mengenoperationen 118 Erinnerung an die Aussagenlogik 118 Entsprechungen zwischen logischen und Mengenoperationen 119 Beispiele, insbesondere Gleichungs- und Ungleichungssysteme 119 Wichtige Kombinationen von „nicht", „und", „oder" 123 Aufgaben 6.1 124 Rechenregeln für die Mengenoperationen und Beweisverfahren dafür O, U,~ als Operationen in der Potenzmenge Wichtige Rechenregeln für n, U,~ Beweise mittels Zugehörigkeitstafeln Beweise mittels Venn-Diagrammen Beweise durch Folgern aus Grundgesetzen Aufgaben 6.2 125 125 125 127 128 129 131 6.3 Vereinigung und Durchschnitt von beliebig vielen Mengen; Klasseneinteilungen 6.3.1 Vereinigung unendlich vieler Mengen 6.3.2 Durchschnitt unendlich vieler Mengen 6.3.3 Klasseneinteilungen einer Menge Aufgaben 6.3 132 132 134 135 137 Kapitel 7 „Wenn — dann" und „also" 138 7.1 7.1.1 138 138 Implikation und Äquivalenz Der Junktor „=>" in der Aussagenlogik 7 7.1.2 7.1.3 7.1.4 7.1.5 Beispiele aus der Mathematik 139 Der Junktor „<=»" 141 Sprachliche Formulierungen für Wenn-dann-Aussagen und Genau-dann-wennAussagen 142 Umkehrung und Kontraposition von Wenn-dann-Aussagen 144 Aufgaben 7.1 145 7.2 7.2.1 7.2.2 Die Mengen-Inklusion und ihre Eigenschaften Entsprechungen zwischen der Implikation und der Mengeninklusion Wichtige Eigenschaften der Mengen-Inklusion Aufgaben 7.2 145 145 146 147 7.3 7.3.1 7.3.2 Hinweise zum Gebrauch des Wortes „also"; Schlußschemata Beispiele Die Abtrennungsregel und verwandte Schlußschemata 148 148 149 7.4 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion 7.4.1 Einführende Beispiele 7.4.2 Allgemeine Beschreibung und Diskussion des Beweisverfahrens 7.4.3 Die Sätze von der kleinsten Zahl einer Zahlenmenge und von der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung 7.4.4 Die Induktionseigenschaft als Charakteristikum der natürlichen Zahlen Aufgaben 7.4 151 151 153 155 157 158 Teil C Funktionen (Abbildungen) und Relationen 160 Kapitel 8 Der Funktionsbegriff (Abbildungsbegriff): Definitionen und Beispiele . . . 160 8.1 8.1.1 8.1.2 8.1.3 Funktionen auf dem Taschenrechner Einstellige Funktionen Plus-, Minus-, Mal und Durch-Operatoren Zweistellige Funktionen Aufgaben 8.1 160 160 161 162 164 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 Definitionen, Bezeichnungsweisen, Darstellungsweisen Funktion, Definitionsmenge, Zielmenge, Wertemenge Gleichheit von Funktionen; Namen für Funktionen Darstellungsweisen für Funktionen Injektiv, surjektiv, bijektiv Fortsetzen und Einschränken von Funktionen Aufgaben 8.2 164 164 166 167 169 170 172 8.3 Abbildungen endlicher Mengen; Folgen als Abbildungen 8.3.1 Abbildungen mit endlicher Definitions- und Zielmenge 8.3.2 Anzahlen solcher Abbildungen; Permutationen 8.3.3 Folgen als Abbildungen mit Definitionsbereich IN 8.3.4 Rekursive Definition von Folgen Aufgaben 8.3 173 173 175 176 177 178 8.4 Vier Typen geometrisch interpretierbarer Funktionen bzw. Abbildungen 8.4.1 Funktionen vom Typ IR -> IR 8.4.2 Funktionen vom Typ IR2 -» IR 8.4.3 Abbildungen vom Typ IR ->• IR2 8.4.4 Abbildungen vom Typ IR2 -» IR2 Aufgaben 8.4 180 180 183 186 189 193 8 8.5 8.5.1 8.5.2 8.5.3 Maßfunktionen Die Kardinalzahlfunktion Flächeninhalt, Kurvenlänge Bewertungsfunktionen Aufgaben 8.5 196 197 198 200 202 Kapitel 9 Operationen für Funktionen 203 9.1 9.1.1 9.1.2 9.1.3 9.1.4 Verketten und Umkehren von Funktionen Verketten Umkehren Ein Beispiel: Affine Abbildungen der Geraden Abbildungsgruppen Aufgaben 9.1 203 203 205 207 210 210 9.2 9.2.1 9.2.2 9.2.3 Elementargeometrische Abbildungen und ihre Verkettung Affine Abbildungen der Ebene Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen Kongruenzabbildungen als Spiegelungsketten und als Isometrien Aufgaben 9.2 211 211 213 216 219 9.3 9.3.1 9.3.2 9.3.3 9.3.4 9.3.5 Spezielle Operationen für reelle Funktionen Addition und Multiplikation Entsprechung zu den Mengenoperationen (Charakteristische Funktionen).... Verkettung von reellen Funktionen mit affinen Symmetrieeigenschaften von Funktionsgraphen Die Funktionalgleichungen der linearen und der Exponentialfunktionen Aufgaben 9.3 220 220 222 224 226 228 231 Kapitel 10 Relationen 233 10.1 10.1.1 10.1.2 10.1.3 10.1.4 Der Relationsbegriff in Beziehung zu anderen Begriffen Was ist eine Relation? Beispiele und Darstellungsweisen für Relationen Operationen mit Relationen Funktionen als spezielle Relationen Aufgaben 10.1 233 233 235 237 239 241 10.2 10.2.1 10.2.2 10.2.3 10.2.4 Eigenschaften von Relationen; Ordnungsrelationen Transitivität Reflexivität und Irreflexivität Symmetrie und Antisymmetrie, Trichotomie Ordnungsrelationen Aufgaben 10.2 241 241 242 243 244 246 10.3 10.3.1 10.3.2 10.3.3 10.3.4 10.3.5 Äquivalenzrelationen Äquivalenzrelationen und Gleichheit Äquivalenzrelationen und Abbildungsgruppen Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen Eine Anwendung: Grundaufgaben der Kombinatorik Begriffsbildung durch Abstraktion bzgl. einer Äquivalenzrelation Aufgaben 10.3 247 247 248 251 253 256 257 9 Kapitel 11 Begründung von Zahlbegriffen 2S8 11.1 11.1.1 11.1.2 11.1.3 11.1.4 Reelle Zahlen, rationale Zahlen Zahlen als Größenverhältnisse Rekonstruktion der Bruchzahlen als Operatoren für Größen Rekonstruktion der Bruchzahlen als Verhältnisse von natürlichen Zahlen . . . . Negative Zahlen Aufgaben 11.1 259 259 261 264 267 269 11.2 11.2.1 11.2.2 11.2.3 11.2.4 11.2.5 11.2.6 Gleichmächtigkeit von Mengen; Kardinalzahlen Die Gleichmächtigkeit als Äquivalenzrelation zwischen Mengen Nochmals: endliche und unendliche Mengen Abzählbar unendliche Mengen Kontinuum-unendliche Mengen Kardinalzahlen Gibt es noch größere Kardinalzahlen? Aufgaben 11.2 270 270 271 271 274 277 279 280 Lösungen der Aufgaben zu zu zu zu zu zu zu zu zu zu zu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 282 285 288 292 295 297 302 305 314 320 324 Stichwortverzeichnis 328 10 Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 282
