Mathematik wirklich verstehen

Mathematik
wirklich verstehen
Eine Einführung in ihre Grundbegriffe und Denkweisen
Von Arnold Kirsch
3. verbesserte Auflage
Aulis Verlag Deubner & Co KG • Köln
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
11
Teil A Zahlen
Vorbemerkungen
13
Kapitel 1 Natürliche Zahlen
14
1.1
Wozu verwendet man die natürlichen Zahlen? Was bedeuten dann die Operationen + , •, <?
Ordinale und kardinale Verwendung
Eineindeutige Zuordnungen
Anzahlbestimmung durch eineindeutiges Zuordnen
Endlich und unendlich
Zur Bedeutung der Operationen +, •, <
Aufgaben 1.1
14
14
15
16
18
19
20
1.2
1.2.1
1.2.2
1.2.3
Anzahlbestimmung mittels Summenregel und Produktregel
Summenregel
Geordnete Paare, Kreuzprodukt, Produktregel
Allgemeine Produktregel
Aufgaben 1.2
21
21
23
25
28
1.3
1.3.1
1.3.2
1.3.3
1.3.4
1.3.5
Die Stellenwertschreibweise für natürliche Zahlen; Beispiele für Algorithmen .
Division mit Rest
Darstellung natürlicher Zahlen in einem Stellenwertsystem
Ausrechnen von Potenzsummen; Homer-Schema
Wie spiegeln sich die Operationen + , •, < in der Stellenwertschreibweise wider?
Ergänzung: Der euklidische Algorithmus
Aufgaben 1.3
29
29
31
33
34
36
37
1.4
1.4.1
1.4.2
1.4.3
1.4.4
1.4.5
Primzahlen als „Bausteine" von IM
Primzahlen
Primfaktorzerlegung
Die Unendlichkeit der Menge aller Primzahlen
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung
Erste Folgerungen aus der Eindeutigkeit der PFZ
Aufgaben 1.4
38
38
39
40
41
42
44
Kapitel 2 Bruchzahlen (positive rationale Zahlen) und Größen
44
2.1
2.1.1
2.1.2
2.1.3
Schreibweisen (Bezeichnungen) für Bruchzahlen
Bezeichnung durch gewöhnliche Brüche; Addition und Multiplikation
Bezeichnung durch Dezimalbrüche
Stellt jeder periodische Dezimalbruch eine Bruchzahl dar, und wie findet man
deren Bruchdarstellung?
Aufgaben 2.1
45
45
47
Verwendung der Bruchzahlen als Maßzahlen; Rechnen mit Größen
Größenmäßige Beschreibung von Gegenständen durch Maßzahl und Maßeinheit
Was sind Größen; wie vergleicht und addiert man sie?
Grundlegende Rechengesetze für Größen
50
50
52
53
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4
1.1.5
2.2
2.2.1
2.2.2
2.2.3
48
50
5
2.2.4
2.2.5
Teilbarkeitseigenschaft; Vervielfachung von Größen mit Bruchzahlen
Division und Multiplikation von Größen
Aufgaben 2.2
55
57
58
2.3
2.3.1
2.3.2
2.3.3
Wichtige Unterschiede zwischen den Zahlbereichen IN und (Q+
Lösbarkeit jeder Gleichung ax=b
Dichtheit der Bruchzahlen
Endlichkeit, Beschränktheit und größte Zahl einer Zahlenmenge
Aufgaben 2.3
59
59
60
61
62
Kapitel 3 Rationale (insbesondere ganze, auch negative) Zahlen
3.1
63
Wozu verwendet man die rationalen Zahlen? Was bedeuten dann die Rechenoperationen?
Verwendungszwecke
Bedeutung der Kleinerbeziehung und der Addition
Gegenzahlbildung, Subtraktion
Bedeutung der Multiplikation
Aufgaben 3.1
63
63
64
65
66
68
3.2
3.2.1
3.2.2
3.2.3
Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation in (Q
Körper-Axiome
Erste Definitionen und Beweise
Verwendung des Distributivgesetzes und der multiplikativen Inversen
Aufgaben 3.2
69
69
70
72
74
3.3
3.3.1
3.3.2
3.3.3
3.3.4
Die Kleinerbeziehung in Q; Betrag einer rationalen Zahl
Anordnungsaxiome
Definitionen und Beweise auf Grund der Anordnungsaxiome
Hinweise zur Gleichheitsbeziehung
Betrag einer rationalen Zahl
Aufgaben 3.3
74
74
75
77
77
79
3.4
3.4.1
3.4.2
3.4.3
3.4.4
Runden von Zahlen; elementare Fehlerrechnung
Runden; zuverlässige und gesicherte Ziffern
Absoluter und relativer (prozentualer) Fehler
Fortpflanzung absoluter Fehler bei den Grundrechenarten
Fortpflanzung relativer Fehler bei den Grundrechenarten
Aufgaben 3.4
80
80
81
83
85
86
3.1.1
3.1.2
3.1.3
3.1.4
Kapitel 4 Reelle Zahlen
87
4.1
4.1.1
4.1.2
4.1.3
Wozu benötigt man die reellen Zahlen?
Inkommensurable Streckenpaare
Unzulänglichkeiten der rationalen Zahlen
Reelle Zahlen; irrationale Zahlen
Aufgaben 4.1
87
87
88
90
91
4.2
4.2.1
4.2.2
4.2.3
Reelle Zahlen und Dezimalbrüche; Rechengesetze
Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Dezimalbrüchen
Rechengesetze für reelle Zahlen
Intervallschachtelungs-Axiom, Archimedisches Axiom
Aufgaben 4.2
91
91
94
95
97
4.3
Einiges über Wurzeln
97
6
4.3.1 Wurzeln und Gleichungslösungen
4.3.2 Arithmetisches und geometrisches Mittel
4.3.3 Verfahren zur Quadratwurzelberechnung
Aufgaben 4.3
97
98
100
102
Teil B Mengen, Aussagen, Beweise
105
Vorbemerkungen
105
Kapitel 5 Aussageformen und ihre Erfüllungsmengen
105
5.1
5.1.1
5.1.2
5.1.3
5.1.4
105
105
107
108
110
112
Beschreibung von Mengen mittels Aussageformen
Aufzählende und beschreibende Schreibweise
Äquivalenz von Aussageformen
„Gleichungslehre"
Mengen von Zahlenpaaren; zweistellige Aussageformen
Aufgaben 5.1
5.2
Allgemeingültigkeit und Erfüllbarkeit von Aussageformen; Allaussagen und
Existenzaussagen
5.2.1 Allgemeingültigkeit, Allaussagen
5.2.2 Erfüllbarkeit, Existenzaussagen
5.2.3 Teilweise (oder: schrittweise) Quantifizierung einer zweistelligen Aussageform
5.2.4 Negation von All- und Existenzaussagen
Aufgaben 5.2
113
113
114
115
116
117
Kapitel 6 Operationen für Aussagen und Mengen
118
6.1
6.1.1
6.1.2
6.1.3
6.1.4
6.2
6.2.1
6.2.2
6.2.3
6.2.4
6.2.5
Die aussagenlogischen Operationen und ihre Entsprechung zu Mengenoperationen
118
Erinnerung an die Aussagenlogik
118
Entsprechungen zwischen logischen und Mengenoperationen
119
Beispiele, insbesondere Gleichungs- und Ungleichungssysteme
119
Wichtige Kombinationen von „nicht", „und", „oder"
123
Aufgaben 6.1
124
Rechenregeln für die Mengenoperationen und Beweisverfahren dafür
O, U,~ als Operationen in der Potenzmenge
Wichtige Rechenregeln für n, U,~
Beweise mittels Zugehörigkeitstafeln
Beweise mittels Venn-Diagrammen
Beweise durch Folgern aus Grundgesetzen
Aufgaben 6.2
125
125
125
127
128
129
131
6.3
Vereinigung und Durchschnitt von beliebig vielen Mengen; Klasseneinteilungen
6.3.1 Vereinigung unendlich vieler Mengen
6.3.2 Durchschnitt unendlich vieler Mengen
6.3.3 Klasseneinteilungen einer Menge
Aufgaben 6.3
132
132
134
135
137
Kapitel 7 „Wenn — dann" und „also"
138
7.1
7.1.1
138
138
Implikation und Äquivalenz
Der Junktor „=>" in der Aussagenlogik
7
7.1.2
7.1.3
7.1.4
7.1.5
Beispiele aus der Mathematik
139
Der Junktor „<=»"
141
Sprachliche Formulierungen für Wenn-dann-Aussagen und Genau-dann-wennAussagen
142
Umkehrung und Kontraposition von Wenn-dann-Aussagen
144
Aufgaben 7.1
145
7.2
7.2.1
7.2.2
Die Mengen-Inklusion und ihre Eigenschaften
Entsprechungen zwischen der Implikation und der Mengeninklusion
Wichtige Eigenschaften der Mengen-Inklusion
Aufgaben 7.2
145
145
146
147
7.3
7.3.1
7.3.2
Hinweise zum Gebrauch des Wortes „also"; Schlußschemata
Beispiele
Die Abtrennungsregel und verwandte Schlußschemata
148
148
149
7.4
Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion
7.4.1 Einführende Beispiele
7.4.2 Allgemeine Beschreibung und Diskussion des Beweisverfahrens
7.4.3 Die Sätze von der kleinsten Zahl einer Zahlenmenge und von der Eindeutigkeit
der Primfaktorzerlegung
7.4.4 Die Induktionseigenschaft als Charakteristikum der natürlichen Zahlen
Aufgaben 7.4
151
151
153
155
157
158
Teil C Funktionen (Abbildungen) und Relationen
160
Kapitel 8 Der Funktionsbegriff (Abbildungsbegriff): Definitionen und Beispiele . . .
160
8.1
8.1.1
8.1.2
8.1.3
Funktionen auf dem Taschenrechner
Einstellige Funktionen
Plus-, Minus-, Mal und Durch-Operatoren
Zweistellige Funktionen
Aufgaben 8.1
160
160
161
162
164
8.2
8.2.1
8.2.2
8.2.3
8.2.4
8.2.5
Definitionen, Bezeichnungsweisen, Darstellungsweisen
Funktion, Definitionsmenge, Zielmenge, Wertemenge
Gleichheit von Funktionen; Namen für Funktionen
Darstellungsweisen für Funktionen
Injektiv, surjektiv, bijektiv
Fortsetzen und Einschränken von Funktionen
Aufgaben 8.2
164
164
166
167
169
170
172
8.3
Abbildungen endlicher Mengen; Folgen als Abbildungen
8.3.1 Abbildungen mit endlicher Definitions- und Zielmenge
8.3.2 Anzahlen solcher Abbildungen; Permutationen
8.3.3 Folgen als Abbildungen mit Definitionsbereich IN
8.3.4 Rekursive Definition von Folgen
Aufgaben 8.3
173
173
175
176
177
178
8.4
Vier Typen geometrisch interpretierbarer Funktionen bzw. Abbildungen
8.4.1 Funktionen vom Typ IR -> IR
8.4.2 Funktionen vom Typ IR2 -» IR
8.4.3 Abbildungen vom Typ IR ->• IR2
8.4.4 Abbildungen vom Typ IR2 -» IR2
Aufgaben 8.4
180
180
183
186
189
193
8
8.5
8.5.1
8.5.2
8.5.3
Maßfunktionen
Die Kardinalzahlfunktion
Flächeninhalt, Kurvenlänge
Bewertungsfunktionen
Aufgaben 8.5
196
197
198
200
202
Kapitel 9 Operationen für Funktionen
203
9.1
9.1.1
9.1.2
9.1.3
9.1.4
Verketten und Umkehren von Funktionen
Verketten
Umkehren
Ein Beispiel: Affine Abbildungen der Geraden
Abbildungsgruppen
Aufgaben 9.1
203
203
205
207
210
210
9.2
9.2.1
9.2.2
9.2.3
Elementargeometrische Abbildungen und ihre Verkettung
Affine Abbildungen der Ebene
Geradenspiegelungen, Verschiebungen, Drehungen
Kongruenzabbildungen als Spiegelungsketten und als Isometrien
Aufgaben 9.2
211
211
213
216
219
9.3
9.3.1
9.3.2
9.3.3
9.3.4
9.3.5
Spezielle Operationen für reelle Funktionen
Addition und Multiplikation
Entsprechung zu den Mengenoperationen (Charakteristische Funktionen)....
Verkettung von reellen Funktionen mit affinen
Symmetrieeigenschaften von Funktionsgraphen
Die Funktionalgleichungen der linearen und der Exponentialfunktionen
Aufgaben 9.3
220
220
222
224
226
228
231
Kapitel 10 Relationen
233
10.1
10.1.1
10.1.2
10.1.3
10.1.4
Der Relationsbegriff in Beziehung zu anderen Begriffen
Was ist eine Relation?
Beispiele und Darstellungsweisen für Relationen
Operationen mit Relationen
Funktionen als spezielle Relationen
Aufgaben 10.1
233
233
235
237
239
241
10.2
10.2.1
10.2.2
10.2.3
10.2.4
Eigenschaften von Relationen; Ordnungsrelationen
Transitivität
Reflexivität und Irreflexivität
Symmetrie und Antisymmetrie, Trichotomie
Ordnungsrelationen
Aufgaben 10.2
241
241
242
243
244
246
10.3
10.3.1
10.3.2
10.3.3
10.3.4
10.3.5
Äquivalenzrelationen
Äquivalenzrelationen und Gleichheit
Äquivalenzrelationen und Abbildungsgruppen
Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen
Eine Anwendung: Grundaufgaben der Kombinatorik
Begriffsbildung durch Abstraktion bzgl. einer Äquivalenzrelation
Aufgaben 10.3
247
247
248
251
253
256
257
9
Kapitel 11 Begründung von Zahlbegriffen
2S8
11.1
11.1.1
11.1.2
11.1.3
11.1.4
Reelle Zahlen, rationale Zahlen
Zahlen als Größenverhältnisse
Rekonstruktion der Bruchzahlen als Operatoren für Größen
Rekonstruktion der Bruchzahlen als Verhältnisse von natürlichen Zahlen . . . .
Negative Zahlen
Aufgaben 11.1
259
259
261
264
267
269
11.2
11.2.1
11.2.2
11.2.3
11.2.4
11.2.5
11.2.6
Gleichmächtigkeit von Mengen; Kardinalzahlen
Die Gleichmächtigkeit als Äquivalenzrelation zwischen Mengen
Nochmals: endliche und unendliche Mengen
Abzählbar unendliche Mengen
Kontinuum-unendliche Mengen
Kardinalzahlen
Gibt es noch größere Kardinalzahlen?
Aufgaben 11.2
270
270
271
271
274
277
279
280
Lösungen der Aufgaben
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
zu
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
282
285
288
292
295
297
302
305
314
320
324
Stichwortverzeichnis
328
10
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
Kapitel
282