O4 Debye Sears - Hochschule Bochum

Physik-Labor
Fachbereich Elektrotechnik und Informatik
Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau
Physikalisches Praktikum
O 4 Debye-Sears Effekt
Versuchsziel
Messung der Ultraschallwellenlänge.
Literatur
/1/
Bergmann/Schäfer: Lehrbuch der Experimentalphysik. Band 1: Mechanik,
Relativität, Wärme. Berlin/New York: Walter de Gruyter Verlag, 1998
/2/
Sternberg, M.; Müller, E.: Skript Physik 1. Hochschule Bochum, 2010
Grundlagen
1. Schallwellen
Schallwellen sind Wellen die sich in einem elastischen Medium ausbreiten. Ihre
Eigenschaften sind durch die elastischen Materialkonstanten (E-Modul, Kompressibilität),
sowie Druck und Dichte bestimmt. In Gasen und Flüssigkeiten existieren nur longitudinale,
in Festkörpern auch transversale Schallwellen.
Eine sich im eindimensionalen Ausbreitende Schallwelle genügt der Wellengleichung:
𝜕 2 𝜓(𝑥, 𝑡)
𝜕 2 𝜓(𝑥, 𝑡)
2
= 𝑐𝑝ℎ ∙
𝜕𝑡 2
𝜕𝑥 2
1
(1)
Dabei ist 𝑐𝑝ℎ die Phasengeschwindigkeit (Schallgeschwindigkeit) der Welle.
Eine Lösung dieser Differentialgleichung ist gegeben durch:
𝜓(𝑥, 𝑡) = 𝜓0 ∙ cos(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
(2)
𝜓(𝑥, 𝑡) beschreibt die longitudinale Verrückung der Mediumteilchen.
Dabei ist:
𝜔 = 2𝜋𝑓 Kreisfrequenz
𝑓 Frequenz
𝑐𝑝ℎ = 𝜆 ∙ 𝑓
𝜓0 Schwingungsamplitude
𝑘=
2𝜋
𝜆
𝜆 Wellenlänge
Wellenzahl
Die Schallschnelle 𝑣𝑆 , d.i. die Geschwindigkeit mit der sich ein Teilchen des Mediums
bewegt, ist dann nach Gl. (X) gegeben durch:
𝑣𝑆 =
𝜕𝜓(𝑥, 𝑡)
= −𝜓0 ∙ 𝜔 ∙ sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
𝜕𝑡
(3)
Die Schallwelle erzeugt damit in dem Medium einen sich periodisch ändernden Druck p:
𝑝(𝑥, 𝑡) = 𝑝𝑛 − 𝑝̂ sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥)
(4)
Dabei ist 𝑝𝑛 der Normaldruck und 𝑝𝑛 die Druckamplitude. Der zweite Summand
𝑝̂ sin(𝜔𝑡 − 𝑘𝑥) in Gl. (4) wird als Schallwechseldruck bezeichnet. Der Schallwechseldruck erzeugt in einer Flüssigkeit periodisch wechselnde Dichteunterschiede und
ist deutlich kleiner als pN. Druckverlauf und Auslenkung sind um 900 phasenverschoben.
Für die Ausbreitungsgeschwindigkeit 𝑣 longitudinaler Schallwellen in Gasen und
Flüssigkeiten gilt:
𝐾
𝑣=�
𝜌
In Gasen ist das Kompressionsmodul K gegeben durch
Dabei ist p der Druck,
𝑐𝑝
𝑐𝑣
𝐾=
𝑐𝑝
𝑐𝑣
∙𝑝
(5)
(6)
der Adiabaten Exponent und cp, cv die spezifische Wärmekapazität
bei konstantem Druck bzw. konstantem Volumen. Für Schallwellen in Gasen im Hörbereich
erfolgen die Druckwechsel sehr schnell (100- 10000mal pro Sekunde) so dass sich die
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dadurch hervorgerufenen Temperaturänderungen sich nicht ausgleichen können, da die
Wärmeleitung zu langsam ist (Adiabatische Zustandsänderung). Für K kann daher der
adiabatische Wert verwendet werden.
Aus der Temperaturabhänigkeit von 𝑝 und 𝜌 folgt in der Näherung der idealen Gase für die
Temperaturabhängigkeit der Phasengeschwindigkeit:
𝑣𝑡 = 𝑣0 √1 + 𝛼𝑡
(7)
𝛼 = Kubischer Ausdehnungskoeffizient des Gases
𝑡 = Temperatur in °C
𝑣𝑡 = Geschwindigkeit bei 0 °C
Für Luft ergibt sich bei einem Luftdruck von 1013 hPa:
𝑣𝑡 = 331,3
𝑚
0,004
�1 +
𝑡
𝑠
°C
(8)
3. Ultraschall
Als Ultraschall werden mechanische Schwingungen und Wellen bezeichnet deren Frequenz
zwischen 16000 Hz (der oberen Frequenzgrenze des menschlichen Hörbereichs) und 109
Hz liegen. Noch höhere Frequenzen bezeichnet man als Hyperschall. Aufgrund der kleinen
Wellenlängen lassen sich Ultraschallwellen sehr gut bündeln und gerichtet abstrahlen. Mit
Ultraschallwellen lassen sich in Flüssigkeiten und Festkörpern, aufgrund der hohen
Frequenz und großen Feldkennimpedanz (d.i. das Verhältnis von Schalldruck zur
Schwingungsgeschwindigkeit der Teilchens des Mediums), hohe Intensitäten
(Energieflußdichten) erzielen. Während beim Hörschall Intensitäten zwischen 10-10 W/cm2
und 10-5 W/cm2 erzielt werden, sind beim Ultraschall Intensitäten zwischen 10-3 W/cm2 und
103 W/cm2 üblich.
4. Beugung an Ultraschallwellen
Tritt Licht durch einen Spalt oder ein Gitter aus einzelnen Spalten, so beobachtet man auf
einem Schirm hinter dem Gitter Beugungserscheinungen. Das Gitter besteht im Prinzip aus
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einer periodischen Anordnung von lichtdurchlässigen Spalten, die durch lichtundurchlässige
Zonen von einander getrennt sind. Ein auf das Gitter fallender Lichtstrahl wird durch das
Gitter periodisch absorbiert. Da der Brechungsindex der Gitterspalte gleich ist, modulieren
sie nur die Amplitude der gebeugten Lichtwelle. Man nennt daher ein solches Gitter auch
Amplitudengitter.
Eine durch ein elastisches Medium laufende Schallwelle bewirkt in diesem periodische
Dichteschwankungen und damit periodische Änderungen des Brechungsindex. Es entsteht
ein Phasengitter. Ein senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Schallwelle einfallender
kohärenter Lichtstrahl erfährt aufgrund der unterschiedlichen Laufzeiten eine
Phasenänderung, während die Amplitude unverändert bleibt. Im Fernfeld führt dies dann zu
einer Überlagerung und einem Beugungsbild.
Mit der Schallwellenlänge Λ, der Lichtwellenlänge λ, der Schallgeschwindigkeit v und der
Schallfrequenz F ergibt sich für die Intensitätsmaxima m-ter Ordnung:
sin φ𝑚 =
𝑚λ 𝑚λF
=
Λ
v
(9)
Ist der Abstand zwischen Gitter und Schirm hinreichend groß (der Abstand der
Intensitätsmaxima ist viel kleiner als der Abstand von Gitter und Schirm), so kann man in
Gl. (9) sin φ𝑚 ≈ tan φ𝑚 setzen.
Durchführung und Auswertung
Abb.1: Versuchsaufbau Debye-Sears Effekt
1) Bestimmen Sie die Schallwellenlänge Λ. Messen Sie dazu den Abstand a der Küvette vom
Schirm und zeichnen Sie das entstehende Beugungsbild aller sichtbaren Intensitätsmaxima auf
ein Blatt Papier. Anschließend messen Sie die Abstände ∆𝑑𝑚 aller benachbarten
Intensitätsmaxima und berechnen Sie den Mittelwert ∆𝑑𝑚 .
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Nach Gl. (9) ergibt sich dann für die Schallwellenlänge:
Λ=
𝒂∙ 𝛌
(10)
∆𝒅𝒎
Berechnen Sie auch den absoluten Fehler nach dem Fehlerfortpflanzungsgesetz.
2) Bestimmen Sie die Schallwellenlänge aus der optischen Abbildung des Phasengitters.
Dazu wird in den Strahlengang zwischen Lichtquelle und Küvette eine Linse eingebracht.
Um den Abbildungsmaßstab zu ermitteln wird zunächst die Küvette entfernt und mit Hilfe
eines Strichgitters mit bekannter Gitterkonstanten der Abbildungsmaßstab ermittelt. Eine
Fehlerrechnung wird für diese Messung nicht durchgeführt.
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