Modelle fr Koordinationsmechanismen in der dezentralen

Modelle für Koordinationsmechanismen in der
dezentralen betrieblichen Planung
Claudia Schmidt
Justus-Liebig-Universität Gieÿen
BWL-Wirtschaftsinformatik
1 Einleitung
Mit der Identikation von relevanten Attributen für betriebliche Planungsprobleme (Anzahl der Aufträge, Zerlegbarkeit und Arten der Zerlegbarkeit)
können für sinnvolle Attributkombinationen Koordinationsmechanismen bestimmt werden, die in Hinblick auf den Einsatz in einem Elektronischen Markt
geeignet sind (vgl. [Gomber et al., 1997]), d. h.
die Mechanismen stellen eine eziente Allokation von Aufträgen auf eigenverantwortliche Organisationseinheiten sicher,
schlieÿen strategisches Verhalten ex ante aus, d. h. die Organisationseinheiten geben ihre wahren individuellen Bewertungen (dispositionsspezischen Deckungsbeiträge), unabhängig vom Marktverhalten der anderen
Organisationseinheiten an.
Die Mechanismen können auch negative Bewertungen handhaben und
weisen akzeptable Kommunikationskosten auf.
Die folgende Tabelle 1 enthält die neun Klassen von Planungsproblemen,
die sich aus relevanten Attributkombinationen ergeben, mit den jeweils geeigneten Koordinationsmechanismen.
Im folgenden Abschnitt werden für die verschiedenen Koordinationsmechanismen Modelle formuliert. Über eine Zuordnung der Modelle zu Problemklassen der Optimierung können abschlieÿend geeignete Lösungsverfahren für ihre
Implementation identiziert werden.
1
Anzahl Aufträge
mehrere Aufträge
ein Auftrag
nicht zerlegbar
2.1
Vickrey Auktion
identische
Aufträge
2.2
Matrix
Auktion
unterschiedliche
Aufträge
2.3
Matrix
Auktion
Zerlegbarkeit
zerlegbar
Zerlegung
bekannt
identische unterschiedliche
Teile
Teile
2.4
Matrix
Auktion
2.5
Matrix
Auktion
identische
Teile
unterschiedliche
Teile
2.6
Matrix
Auktion
Zerlegung
unbekannt
2.8
Mehrstuge
Erweiterte
Vickrey Auktion
2.7
Matrix
Auktion
2.9
Mehrstuge
Erweiterte
Vickrey Auktion
Tabelle 1: Klassen von Planungsproblemen und geeignete Koordinationsmechanismen
2 Mechanismen für verschiedene Problemklassen der Produktionsplanung
2.1 Mechanismus für einen, nicht zerlegbaren Auftrag
Die Vickrey Auktion [Vickrey, 1961] ist als ein geeigneter Koordinationsmechanismus für die Zuordnung eines einzelnen nicht zerlegbaren Auftrags durch
MAS identiziert worden [Weinhardt und Gomber, 1996]. Den Zuschlag erhält
der Bieter mit dem höchsten Gebot zu einem Preis in Höhe des zweithöchsten
Gebots.
Mit den Parameter- und Variablenbezeichnungen
i = 1; :::; B
Index für Bieter
dbi i = 1; :::; B Bewertung des Auftrag durch Bieter i
pi i = 1; :::; B Preis des Auftrags für Bieter i
erhält der Bieter b mit dbb = maxi=1;:::;B fdbig den Zuschlag zu einem Preis
von pb = max i=1i6=;:::;B
fdbig:
b
Der Spezialfall mehrerer identischer höchster Gebote, für den zur Ermittlung des Zuschlags eine Prioritätsregel (wie z. B. Zuschlag für den Bieter, der
als erstes sein Gebot abgegeben hat, oder zufällige Auswahl des Bieters, der
den Zuschlag erhält) herangezogen werden muÿ, wird im folgenden nicht weiter
2
betrachtet.
2.2 Mechanismus für mehrere, nicht zerlegbare, identische Aufträge
Sollen N identische Aufträge simultan zugeordnet werden, berechnen die Bieter
ihre individuellen Deckungsbeiträge für Pakete bestehend aus 1 bis N Aufträgen. Die Bieter übermitteln ihre Gebote dem Auktionator, der diese in einer
Matrix notiert, in deren Spalten die verschiedenen Paketgröÿen und in deren
Zeilen die Bieter eingetragen sind.
Mit den Parameter- und Variablenbezeichnungen
i = 1; :::; B
Index für Bieter
j = 1; :::; N
Index für Pakete von Aufträgen
dbij i = 1; :::; B j = 1; :::; N Bewertung eines Pakets mit j
Aufträgen durch Bieter i
xij i = 1; 8:::; B j = 1; :::; N Binärvariable der Zuordnung mit
<
xij = : 1; wenn Bieter i Zuschlag für Paketgröÿe j erhält
0; sonst
ergibt sich folgende Modellformulierung für das Zuordnungsproblem:
maximiere
B X
N
X
i=1 j =1
dbij xij
unter Beachtung von
N
X
j =1
B X
N
X
xij 1
i = 1; :::; B
xij j N
i=1 j =1
xij
(1)
(2)
2 f0; 1g i = 1; :::; B; j = 1; :::; N
Über die Zielfunktion wird eine eziente Allokation ermittelt, d. h. eine
Zuordnung bestimmt, die die Summe der Deckungsbeiträge maximiert. Dabei
ist zu berücksichtigen, daÿ maximal eine Zuordnung in jeder Zeile erfolgen darf
jeder Bieter erhält maximal ein Auftragspaket (siehe Nebenbedingung
(1)) und daÿ sich die Summe der mit der jeweiligen Paketgröÿe multiplizierten
Zuordnungen höchstens zu N der Gesamtzahl der AufträgeP addieren
darf
P
B
N
(siehe Nebenbedingung (2)). Die Nebenbedingung (2) lautet i=1 j=1 xij j =
N , wenn z. B. wegen vertraglicher Bindungen sichergestellt werden muÿ,
daÿ alle Aufträge zugeordnet werden.
Tabelle 2 stellt ein Beispiel für die Zuordnung von vier identischen Aufträgen auf fünf Bieter dar, wobei die grau unterlegten Zellen die optimale
3
Bieter
Zuordnung zeigen. Die Summe der Deckungsbeiträge in der optimalen Zuordnung beträgt 185: Bieter A und B erhalten jeweils einen Auftrag und Bieter
C erhält ein Paket von zwei Aufträgen.
A
B
C
D
E
Anzahl Aufträge
2
3
1
4
55
70
80
110
30
80
-10
nicht möglich
25
100
nicht möglich nicht möglich
-10
30
40
70
20
45
60
80
Tabelle 2: Matrix für die Allokation identischer Aufträge
Die Lösung des Zuordnungsproblems entspricht genau dann einer ezienten
Allokation, wenn die Bieter ihre wahren Bewertungen der Aufträge als Gebote
abgeben. Für eine Preissetzung nach der Generalized Vickrey Auction [Varian, 1995] wurde gezeigt [Gomber et al., 1998], daÿ es eine dominante
Strategie der Bieter ist, ihre wahren Bewertungen zu bieten. In der Generalized Vickrey Auction entspricht der Gewinn eines Bieters b der Höhe
seines Beitrags zu einer ezienten Allokation, d. h. der Dierenz zwischen
der Summe der Deckungsbeiträge in einer ezienten Allokation mit Teilnahme von b und der Summe der Deckungsbeiträge in einer ezienten Allokation
b
b
ohne Teilnahme von b. Sind x:
ij bzw. xij (i = 1; :::; B; j = 1; :::; N ) die
optimalen Lösungen der Zuordnungsprobleme ohne bzw. mit Teilnahme von
Bieter b, so beträgt sein Gewinn
gb =
B X
N
X
i=1 j =1
dbij xijb ;
B X
N
X
i=1 j =1
i6=b
b
dbij x:
ij :
Der Preis pb , den Bieter b zu zahlen hat, ergibt sich folglich als Dierenz
zwischen dem Deckungsbeitrag von b in der ezienten Allokation xijb und seinem Gewinn:
pb =
=
=
N
X
j =1
N
X
dbbj xbjb ; gb
dbbj xbjb ; (
j =1
B X
N
X
i=1 j =1
i6=b
B X
N
X
i=1 j =1
dbij xijb ;
b
b
dbij (x:
ij ; xij )
4
B X
N
X
i=1 j =1
i6=b
b
dbij x:
ij )
Bieter
pb entspricht demnach der Dierenz zwischen der Summe der Deckungsbeiträge in einer ezienten Allokation, an der Bieter b nicht teilnimmt, und der
Summe der Deckungsbeiträge aller anderen Bieter in einer ezienten Allokation, an der Bieter b teilnimmt.
Für obiges Beispiel mit einer ezienten Allokation von 185 ergibt sich der
Preis von Bieter C, indem die Summe der Deckungsbeiträge aller anderen
Bieter in der ezienten Allokation (hier: 55(A) + 30(B) = 85) von der Summe
der Deckungsbeiträge einer ezienten Allokation ohne Teilnahme von Bieter
C (siehe Tabelle 3) abgezogen wird. Dementsprechend zahlt Bieter C einen
Preis von pC = (55 + 80 + 20) ; (55 + 30) = 155 ; 85 = 70 für zwei Aufträge.
Bieter A bzw. B zahlen pA = 180 ; 130 = 50 bzw. pB = 175 ; 155 = 20.
A
B
D
E
1
Anzahl Aufträge
2
3
55
30
-10
20
Tabelle 3:
4
70
80
110
80
-10
nicht möglich
30
40
70
45
60
80
Optimale Zuordnung ohne Bieter C
Als Alternative zur Preissetzung durch die Generalized Vickrey Auction, für die bis zu maxfB; N g + 1 Zuordnungsprobleme zu lösen sind, wurde
das Pricing Per Column eingeführt [Gomber et al., 1997], das die Anzahl
der zu lösenden Zuordnungsprobleme auf 1 reduziert. Die Preissetzung nach
dem Pricing Per Column basiert auf dem Vickrey-Prinzip: ein Bieter b,
der den Zuschlag für eine bestimmte Anzahl von Aufträgen (Paketgröÿe) j 0
erhält, zahlt als Preis pb das nächstniedrigere Gebot, das für diese Paketgröÿe
abgegeben wurde:
pb = i=1max
fdbij0 g
;:::;B
dbij 0 <dbbj 0
Erhalten mehrere Bieter den Zuschlag für Pakete derselben Gröÿe, wird eine Mehrfachauktion angewendet. Diesen Koordinationsmechanismus für die
Vergabe von m identischen Objekten beschreibt Vickrey [Vickrey, 1961]: Die
m Objekte werden an die m höchsten Bieter zum Preis des (m + 1)höchsten
Gebots verkauft. Erhalten für eine bestimmte Anzahl von Aufträgen j 0 die
Bieter b1 ; :::; bm den Zuschlag, ergibt sich der Preis als:
pb1 = ::: = pbm =
max
i=1;:::;B
dbij 0 <minfdbb1 j 0 ;:::;dbbm j 0 g
fdbij0 g
In dem Beispiel der Tabelle 2 zahlt C demnach pC = 80 für zwei Aufträge
und A und B zahlen jeweils pA = pB = 25 für einen Auftrag.
5
2.3 Mechanismus für mehrere, nicht zerlegbare, unterschiedliche Aufträge
Betrachtet werden mehrere, nicht zerlegbare Aufträge, wobei im Unterschied zu 2.2 die N Aufträge nicht identisch sind. Damit erhöhen sich die
an die Bieter zu übermittelnden Informationen. Die Bieter berechnen die Bewertung für jede der 2N ; 1 möglichen Kombinationen von Aufträgen. Um
eine eziente Allokation zu ermitteln, stellt der Auktionator eine Matrix mit
den 2N ; 1 Kombinationen in den Spalten und den Bietern in den Zeilen auf.
Bei der Ermittlung einer ezienten Allokation (d. h. einer Zuordnung, die
die Summe der Deckungsbeiträge maximiert) muÿ berücksichtigt werden, daÿ
jeder Bieter maximal für eine Auftragskombination den Zuschlag erhält, d. h.
daÿ in jeder Zeile maximal eine Zuordnung erfolgt, und daÿ jeder Auftrag
höchstens einmal zugeordnet wird, d. h. daÿ Kombinationen von Aufträgen
(Spalten), die irgendeinen Auftrag gemeinsam haben, nicht zusammen ausgewählt werden.
Für die Modellierung des zugrunde liegenden Zuordnungsproblems ist demnach zunächst ein Zusammenhang zwischen Spalten und zugehörigen Kombinationen von Aufträgen abzubilden. Im folgenden erweist es sich als günstig,
diese Zuordnung so vorzunehmen, wie sie in Tabelle 4 für ein Beispiel mit vier
unterschiedlichen Aufträgen dargestellt ist.
Spalte j 1 2 3 4 5 6
Aufträge 1
1
1
2 2
2
3 3 3
7 8 9 10 11 12 13 14 15
1
1
1
1
1
2
2 2
2 2
3
3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4
Bieter
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Tabelle 4: Schreibweise für die Zuordnung von Spalten zu Kombinationen von
Aufträgen
Tabelle 5 verdeutlicht, daÿ unter Verwendung dieser Schreibweise jeder Auftrag k (k = 1; :::; N ) als ein Bit einer Dualzahl aufgefaÿt werden
kann und daÿ die Kombination von Aufträgen k, die zu einer Spalte j (j =
1; :::; 2N ; 1) gehört, den Einsen an der k-ten Stelle einer Binärkodierung von
j entsprechen.
Die Spalten, in denen ein Auftrag k vorhanden ist, lassen sich explizit darstellen:
6
Spalte j
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
k = 1 2k;1 = 1 1
1
1
1
1
1
1
k = 2 2k;1 = 2
1 1
1 1
1 1
1
k
;
1
k=3 2 =4
1 1 1 1
1 1 1
k
;
1
k=4 2 =8
1 1 1 1 1 1 1
Tabelle 5: Erläuterung der Zuordnung von Aufträgen zu Spalten
15
1
1
1
1
=1:
(1 3 5 7 9 11 13 15)
=(1+2 0 ; 0 1+2 1 ; 0 1+2 2 ; 0 1+2 3 ; 0 1+2 4 ; 0 1+2 5 ; 0 1+2 6 ; 0 1+2 7 ; 0)
=f1+2 ( ; 1) ; ( ; 1) mod 1 j = 1 2N ;1 g
k
;
;
;
;
;
;
;
;
;
t
t
;
t
;
;
;
;
; :::;
=2:
(2 3 6 7 10 11 14 15)
=(2+2 0 ; 0 2+2 1 ; 2 2+2 2 ; 0 2+2 3 ; 1 2+2 4 ; 0 2+2 5 ; 1 2+2 6 ; 0 2+2 7 ; 1)
=f2+2 ( ; 1) ; ( ; 1) mod 2 j = 1 2N ;1 g
k
;
;
;
;
;
;
;
;
;
t
t
;
t
;
;
;
;
; :::;
=3:
(4 5 6 7 12 13 14 15)
=(4+2 0 ; 0 4+2 1 ; 1 4+2 2 ; 2 4+2 3 ; 3 4+2 4 ; 0 4+2 5 ; 1 4+2 6 ; 2 4+2 7 ; 3)
=f4+2 ( ; 1) ; ( ; 1) mod 4 j = 1 2N ;1 g
k
;
;
;
;
;
;
;
;
;
t
t
;
t
;
;
;
;
; :::;
=4:
(8 9 10 11 12 13 14 15)
=(8+2 0 ; 0 8+2 1 ; 1 8+2 2 ; 2 8+2 3 ; 3 8+2 4 ; 4 8+2 5 ; 5 8+2 6 ; 6 8+2 7 ; 7)
=f8+2 ( ; 1) ; ( ; 1) mod 8 j = 1 2N ;1 g
k
;
;
;
;
;
;
;
t
;
;
t
;
t
;
;
;
; :::;
Allgemein gilt also:
Auftrag k (k = 1; :::; N ) ist enthalten in den Spalten der Menge
ff (t; k) := 2k;1 + 2(t ; 1) ; (t ; 1) mod 2k;1 j t = 1; :::; 2N ;1g:
(Der Beweis durch vollständige Induktion ndet sich im Anhang A.1.)
Mit den Parameter- und Variablenbezeichnungen
7
;
i = 1; :::; B
k = 1; :::; N
j = 1; :::; 2N ; 1
t = 1; :::; 2N ;1
dbij i = 1; :::; B j = 1; :::; 2N ; 1
Index für Bieter
Index für Aufträge
Index für Spalten
Index für Spalteneinträge
Bewertung der Aufträge in Spalte j
durch Bieter i
N
xij i = 1; 8:::; B j = 1; :::; 2 ; 1 Binärvariable der Zuordnung mit
<
xij = : 1; wenn Bieter i Zuschlag für Aufträge in Spalte j erhält
0; sonst
ergibt sich folgende Modellformulierung für das Zuordnungsproblem:
maximiere
N ;1
B 2X
X
i=1 j =1
dbij xij
unter Beachtung von
N ;1
2X
N ;1
B 2X
X
i=1 t=1
xij 1
i = 1; :::; B
(1 )
xi 2k;1+2(t;1);(t;1) mod 2k;1 1
k = 1; :::; N
(2)
j =1
xij 2 f0; 1g i = 1; :::; B; j = 1; :::; 2N ; 1
Über die Zielfunktion wird wiederum eine Zuordnung bestimmt, die die
Summe der Deckungsbeiträge maximiert. Für dieses Zuordnungsproblem muÿ
berücksichtigt werden, daÿ maximal eine Zuordnung in jeder Zeile erfolgt jeder Bieter erhält für höchstens eine Auftragskombination den Zuschlag (siehe Nebenbedingung (1)) und daÿ Kombinationen von Aufträgen (Spalten)
j , die irgendeinen Auftrag k gemeinsam haben, nicht zusammen ausgewählt
werden (siehe Nebenbedingung (2)). Die Formulierung der Bedingung (2)
als Gleichheits-Nebenbedingung sichert (analog zu 2.2) die Zuordnung aller
Aufträge.
Tabelle 6 stellt ein Beispiel für die Zuordnung von drei unterschiedlichen
Aufträgen auf vier Bieter dar, wobei die grau unterlegten Zellen die optimale
Zuordnung zeigen. Die Summe der Deckungsbeiträge in der optimalen Zuordnung beträgt 150: Bieter B erhält Auftragskombination {1,3} und Bieter C
Auftrag {2}.
Eine Preisfestsetzung nach der Generalized Vickrey Auction erfolgt
analog 2.2. Der Preis pb, den ein Bieter b für eine bestimmte Kombination
von Aufträgen zu zahlen hat, ergibt sich als Dierenz zwischen der Summe der
Deckungsbeiträge in einer ezienten Allokation, an der er nicht teilnimmt,
und der Summe der Deckungsbeiträge aller anderen Bieter in einer ezienten
b
b
Allokation, an der er teilnimmt. Sind x:
ij bzw. xij i = 1; :::; B; j = 1; :::; N
8
Bieter
A
B
C
D
{1}
Auftragskombination
{2} {1,2} {3} {1,3} {2,3} {1,2,3}
10
30
65
40
-20
10
-60
5
-10
-30
30
80
40
80
-10
70
40
60
45
-20
10
5
40
40
35
-30
60
50
Tabelle 6: Matrix für die Allokation von Auftragskombinationen
die optimalen Lösungen des obigen Zuordnungsproblems ohne bzw. mit Bieter
b, so ergibt sich sein Preis als:
pb =
N ;1
B 2X
X
i=1 j =1
i6=b
b
b
dbij (x:
ij ; xij )
Im Beispiel zahlt C pC = 120 ; 80 = 40 für Auftrag {2} und B pB = 125 ; 70 =
55 für die Auftragskombination {1,3}.
Die Preissetzung nach dem Pricing Per Column ergibt sich wie in 2.2,
wobei jedoch keine Mehrfachauktionen auftreten können. Erhält ein Bieter b
den Zuschlag für eine Auftragskombination j 0, beträgt sein Preis:
pb = i=1max
fdbij0 g
;:::;B
dbij 0 <dbbj 0
Im Beispiel zahlt C pC = 40 für Auftrag {2} und B pB = 45 für die Auftragskombination {1,3}.
In Abschnitt 2.2 und 2.3 werden zwei Varianten von Koordinationsmechanismen für die Allokation identischer bzw. unterschiedlicher Aufträge dargestellt. Obwohl beiden Mechanismen unterschiedliche Zuordnungsprobleme zu
Grunde liegen und mit der Generalized Vickrey Auction und dem Pricing Per Column unterschiedliche Mechanismen der Preissetzung denkbar
sind, nutzen beide das Vickrey-Prinzip und ermitteln die Zuordnung über eine Matrix. Daher werden derartige Mechanismen im folgenden als Matrix
Auktion bezeichnet.
2.4 Mechanismus für einen, zerlegbaren Auftrag mit gegebener Zerlegung in identische Teile
Identische Zerlegungen eines Auftrags können wie identische Aufträge, die
nicht zerlegbar sind, gehandhabt werden. Daher wird diese Problemklasse
wie das Zuordnungsproblem
in 2.2 modelliert. Die Nebenbedingung (2) wird
P
P
B
N
in der Regel i=1 j=1 xij = N lauten, da Teilaufträge nicht abgelehnt werden
können.
9
2.5 Mechanismus für einen, zerlegbaren Auftrag mit gegebener Zerlegung in unterschiedliche Teile
Diese Problemklasse weist im Hinblick auf den erforderlichen Koordinationsmechanismus dieselben Anforderungen auf, wie ein Allokationsproblem mit
mehreren, nicht identischen Aufträgen. Also kann für die Allokation nicht
identischer Aufträge die Modellierung aus 2.3 herangezogen werden. Auch hier
wird Nebenbedingung (2) zumeist als Gleichheits-Nebenbedingung formuliert
sein (siehe auch 2.4).
2.6 Mechanismus für mehrere, zerlegbare Aufträge mit
gegebener Zerlegung in identische Teile
Wird das Zuordnungsproblem aus 2.2 von einem Auftrag auf mehrere Aufträge, die in identische Teile zerlegt werden, erweitert, beeinuÿt dies nicht den
Koordinationsmechanismus als solchen, sondern führt zu einer Erhöhung der
Anzahl zuzuordnender Elemente. Wird Auftrag j (j = 1; :::; N ) in tj Teilaufträge zerlegt, beträgt die Anzahl identischer
Teilaufträge, d. h. die Anzahl der
Spalten in der Zuordnungsmatrix, PNj=1 tj .
2.7 Mechanismus für mehrere, zerlegbare Aufträge mit
gegebener Zerlegung in unterschiedliche Teile
Betrachtet man N Aufträge mit einer gegebenen Zerlegung eines Auftrags j in
tj unterschiedliche Teile kann das Zuordnungsproblem analog zu 2.3 formuliert
werden. Es erhöht sich die Anzahl der Teilaufträge und damit die Anzahl
PN tj der
Kombinationsmöglichkeiten (Spalten in der Zuordnungsmatrix) auf 2 j=1 ; 1
.
2.8 Mechanismus für einen, zerlegbaren Auftrag mit unbekannter Zerlegung
Ist ein Auftrag zerlegbar, so kann der Auftrag durch mehrere kooperierende
Bieter (Koalitionen) durchgeführt werden. Während bei einer gegebenen Zerlegung die zuzuordnenden Teilaufträge ex ante bekannt sind, muÿ bei einer
unbekannten Zerlegung eine günstige Zerlegung durch bi- oder multilaterale
Verhandlungen zwischen Bietern ermittelt werden. Mit der Mehrstufigen
Erweiterten Vickrey Auktion [Gomber et al., 1996] wurde ein Mechanismus identiziert, der den genannten Anforderungen an Koordinationsmechanismen genügt:
I. In einem mehrstugen Bietprozeÿ werden in einer Stufe i ausschlieÿlich
Koalitionen der Gröÿe i aufgefordert, Gebote abzugeben, d. h. die Anzahl der Stufen entspricht der Anzahl der teilnehmenden Bieter.
10
II. Der Auktionator speichert in jeder Runde die Gebote mit den zugehörigen Koalitionen. Eine Rückmeldung erfolgt nicht in den einzelnen Runden, sondern nur am Ende der letzten Runde.
III. Den Zuschlag erhält die Koalition mit dem höchsten Gebot aller Runden
zum Preis des zweithöchsten Gebots aller Runden. Dabei bleiben Gebote unberücksichtigt, die von den Teilnehmern der Koalition, die den
Zuschlag erhält, in vorhergehenden Runden abgegeben wurden.
IV. Der Auktionator ermittelt einen Referenzgewinn, wenn eine Teilmenge
der Koalition mit dem höchsten Gebot bei alleiniger Gebotsabgabe den
Zuschlag erhalten hätte, d. h. der Referenzgewinn entspricht einem
Mindestgewinn, den eine Koalition bei alleiniger Gebotsabgabe erzielen
würde.
Abstrahiert man von einer Modellierung der Verhandlungen zur Ermittlung der Koalitionspartner und einer gemeinsamen Bewertung des Auftrags,
ergibt sich aus Sicht des Auktionators das folgende Zuordnungsproblem, um
Zuschlag, Preis und Referenzgewinne zu ermitteln.
Es gelten folgende Parameter- und Variablenbezeichnungen:
i = 1; :::; B
Index für Bieter
B
j = 1; :::; 2 ; 1
Index für Koalitionen
dbj j = 1; :::; 2B ; 1 Bewertung des Auftrags durch Koalition j
Den Zuschlag erhält die Koalition b mit dem höchsten Gebot aller Runden,
d. h. mit
dbb = j=1max
fdb g:
;:::;2B ;1 j
Abbildung 1 zeigt ein Beispiel mit vier Bietern, d. h. es wird in vier Stufen
geboten.
In Stufe 1 geben alle vier Bieter alleine Gebote ab (Bieter 1 bietet dbf1g =
4:000, 2 bietet dbf2g = 6:000 und 3 bzw. 4 bieten dbf3g = 6:500 bzw. dbf4g =
5:000). In Stufe 2 gibt nur die Zweier-Koalition {1,2} ein Gebot in Höhe von
dbf1;2g = 7:000 ab. Die Koalition {1,2,3} ist mit dbf1;2;3g = 8:000 alleiniger
Bieter der Stufe 3 und in der letzten Stufe 4 gehen keine Gebote ein. Nach der
letzten Runde erfolgt eine Rückmeldung bzgl. des Zuschlages und Preises. Die
Koalition {1,2,3} erhält als höchster Bieter mit einem Deckungsbeitrag von
8.000 den Zuschlag.
Bei der Ermittlung des Preises bleiben Gebote, die die Koalitionsteilnehmer von b in früheren Runden abgegeben haben, unberücksichtigt. (Durch
die Zahlung von Referenzgewinnen ist es ökonomisch nicht rational, Gebote
aus vorherigen Runden aufrechtzuerhalten (siehe auch [Gomber et al., 1996]).)
11
8 .0 0 0
4
7 .0 0 0
1
4 .0 0 0
2
5 .0 0 0
6 .0 0 0
3
6 .5 0 0
Abbildung 1: Beispiel für die Mehrstufige Erweiterte Vickrey Auktion mit vier Bietern
Für die Preissetzung wird zunächst der Zusammenhang zwischen einer Koalition j (j = 1; :::; 2B;1 ) und zugehörigen Bietern i (i = 1; :::; B ) abgebildet. Dies
geschieht analog zu 2.3: Dort wurde der Zusammenhang zwischen einer Spalte
j und einer zugehörigen Kombination von Teilaufträgen abgebildet. Die Bieter
i in einer Koalition j entsprechen den Einsen an der i-ten Stelle einer Binärkodierung von j . Für ein Beispiel mit vier Bietern erhält man die in Tabelle 7
dargestellte Beziehung.
Koalition
1 2
i = 1 2i;1 = 1 1
i = 2 2i;1 = 2
1
i = 3 2i;1 = 4
i = 4 2i;1 = 8
Tabelle 7:
3 4 5 6
1
1
1
1
1 1 1
7 8 9 10 11 12
1
1
1
1
1 1
1
1
1 1 1 1 1
Zuordnung von Bietern zu Koalitionen
13 14 15
1
1
1 1
1 1 1
1 1 1
Allgemein gilt also:
In einer Koalition j (j = 1; :::; 2B ; 1) sind die Bieter aus der Menge
Ij := f (j mod 2i) div 2i;1 = 1 j i 2 f1; :::; B gg enthalten (siehe auch Anhang
A.2).
Bei der Bestimmung des Preises von b werden nur Gebote betrachtet, die
von Koalitionen abgegeben werden, in denen kein Mitglied der Menge Ib enthalten ist.
Die Spalten bzw. Koalitionen j , in denen ein Teilnehmer i aus Ib nicht
enthalten ist, lassen sich explizit darstellen:
12
i=1:
(2; 4; 6; 8; 10; 12; 14)
= (2 ; 0; 4 ; 0; 6 ; 0; 8 ; 0; 10 ; 0; 12 ; 0; 14 ; 0)
= f2t ; t mod 1 j t = 1; :::; 2N ;1 ; 1g
i=2:
(1; 4; 5; 8; 9; 12; 13)
= (2 ; 1; 4 ; 0; 6 ; 1; 8 ; 0; 10 ; 1; 12 ; 0; 14 ; 1)
= f2t ; t mod 2 j t = 1; :::; 2N ;1 ; 1g
i=3:
(1; 2; 3; 8; 9; 10; 11)
= (2 ; 1; 4 ; 2; 6 ; 3; 8 ; 0; 10 ; 1; 12 ; 2; 14 ; 3)
= f2t ; t mod 4 j t = 1; :::; 2N ;1 ; 1g
i=4:
(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7)
= (2 ; 1; 4 ; 2; 6 ; 3; 8 ; 4; 10 ; 5; 12 ; 6; 14 ; 7)
= f2t ; t mod 8 j t = 1; :::; 2N ;1 ; 1g
Allgemein gilt also:
Bieter i (i = 1; :::; B ) ist nicht enthalten in den Spalten der Menge
Ji := f2t ; t mod 2i;1 j t = 1; :::; 2B;1 ; 1g:
(Der Beweis durch vollständige Induktion verläuft analog zu dem in Anhang
A.1.)
Betrachtet man die Schnittmenge der Ji für alle Koalitionsmitglieder i der
Koalition b (d. h. für alle i 2 Ib), erhält man alle Spalten j , in denen kein
Mitglied der Koalition b enthalten ist. Der Preis pb, den die Koalition b zu
zahlen hat, entspricht also gerade dem gröÿten Deckungsbeitrag einer Koalition
in dieser Schnittmenge:
pb = max
T fdbj g
j 2 i2I Ji
b
Die Matrix, die sich im obigen Beispiel für den Auktionator ergibt, ist in
Tabelle 8 dargestellt. Mit Ib = f1; 2; 3g erhält man
T
i 2 Ib Ji = J1 \ J2 \ J3
= f2; 4; 6; 8; 10; 12; 14g \ f1; 4; 5; 8; 9; 12; 13g \ f1; 2; 3; 8; 9; 10; 11g = 8
und damit ergibt sich für die Koalition {1,2,3} in Spalte 7 ein Preis von
p7 = (pf1;2;3g =) maxj2f8gfdbj g = db8 = 5:000, d. h. in Höhe des Gebots von
Bieter {4} in Spalte 8.
13
Spalte j
Koalition
1 2 3
1
1
2 2
4
5 6 7 8 9 10
1
1
1
2 2
2
3 3 3 3
4 4 4
4 6 7 6.5 8 5 11 12 13
1
1
2
3 3
4 4 4
14 15
1
2 2
3 3
4 4
Gebote
(in Tausend)
Tabelle 8: Matrix des Auktionators mit Koalitionen und abgegebenen Geboten
Ein zwingender Anreiz zur Koalitionsbildung wird über Referenzgewinne
rj (j = 1; :::; 2B ; 1) gesetzt. In Analogie zur Idee der Generalized Vickrey
Auction ist sicherzustellen, daÿ der (Referenz-)Gewinn einer Koalition der
Höhe ihres Beitrags zur ezienten Allokation entspricht.
Hat eine echte Teilmenge b0 von b das höchste Gebot einer Runde abgegeben, ergibt sich ihr Referenzgewinn rb0 demnach aus der Dierenz zwischen
dem Gebot von b0 und dem höchsten Gebot der Runde ohne Teilnahme der
Koalition b0 .
Im folgenden wird dargestellt, wie dieses höchste Gebot ermittelt werden
kann:
Relevante Gebote der Runde sind Gebote von Koalitionen mit einer Gröÿe
jb0j, wobei Gebote, die von echten Teilmengen der Koalition b0 abgegeben
werden, wiederum unberücksichtigt bleiben.
Gesucht werden also zunächst Spalten j (j = 1; :::; 2B ; 1) mit einer bestimmten Anzahl u (u = 1; :::; B ) von Koalitionsteilnehmern. Für vier Bieter
erhält man (siehe auch Tabelle 7):
u=1:
(1; 2; 4; 8)
= (20; 21; 22; 23)
= f2i1;1 j i1 = 1; :::; B g
u=2:
(3; 5; 6; 9; 10; 12)
= (21 + 20; 22 + 20 ; 22 + 21; 23 + 20; 23 + 21; 23 + 22 )
= f2i1;1 + 2i2 ;1 j i1 = 1; :::; B; i2 = 1; :::; i1 ; 1g
u=3:
(7; 11; 13; 14)
= (22 + 21 + 20 ; 23 + 21 + 20; 23 + 22 + 20; 23 + 22 + 21 )
= f2i1;1 + 2i2 ;1 + 2i3 ;1 j i1 = 1; :::; B; i2 = 1; :::; i1 ; 1; i3 = 1; :::; i2 ; 1g
14
u=4:
(15)
= (23 + 22 + 21 + 20)
= f2i1;1 + 2i2 ;1 + 2i3 ;1 + 2i4 ;1 j
i1 = 1; :::; B; i2 = 1; :::; i1 ; 1; i3 = 1; :::; i2 ; 1; i4 = 1; :::; i3 ; 1g
Allgemein gilt also:
Koalitionen der Gröÿe u (u = 1; :::; B ) sind enthalten in den Spalten der Menge
Ku := fPum=1 2im;1 j im 2 f1; :::; B g; im < im+1 g:
(Der Beweis durch vollständige Induktion ndet sich im Anhang A.3.)
Die relevanten Gebote der Runde lassen sich darstellen als
Gebote von Koalitionen der Gröÿe u jb0 j, d. h. es werden nur Spalten
j aus [ujb0jKu betrachtet, und
Gebote, die nicht von einer Teilmenge der Koalition b0 abgegeben wurden,
d. h. es werden nur Spalten j aus \i2Ib0 Ji betrachtet.
Der Referenzgewinn der Koalition b0 als Dierenz zwischen dbb0 (dem
Gebot von b0 ) und dem nächsthöchsten Gebot der Runde wird ermittelt
als:
rb0 = dbb0 ;
maxT
j 2 uj[b0 j Ku
\
i2Ib0 Ji
fdbj g
Liegt wiederum das höchste, von einer echten Teilmenge b00 von b0 abgegebene Gebot über dem Preis pb, so vermindert sich der Referenzgewinn rb0
der Koalition b0 um den Referenzgewinn rb00 . Betrachtet werden also Teilnehmer der Koalition Ib0 . Dieses Vorgehen zur Bestimmung von Referenzgewinnen
wird iterativ bis zu Teilmengen der Gröÿe eins fortgesetzt.
Für das obige Beispiel ergibt sich, daÿ die Koalition {1,2} einen Referenzgewinn von r3 = (rf1;2g =)500 erhält, da diese in Runde 2 mit db3 = 7:000
das höchste Gebot abgegeben hat und den Zuschlag zum Preis von p3 = 6:500
erhalten hätte. Weitere Referenzgewinne entstehen nicht.
2.9 Mechanismus für mehrere, zerlegbare Aufträge mit
unbekannter Zerlegung
Die Ausweitung des in 2.8 beschriebenen Planungsproblems von einem auf
mehrere Aufträge mit einer unbekannten Zerlegung hat keinen Einuÿ auf die
Auswahl des Koordinationsmechanismus. Da eine eziente Allokation nur auf
15
der Basis bi- oder multilateraler Verhandlungen zwischen den Bietern bezüglich aller vorstellbaren Teilaufträge sichergestellt werden kann, ist eine Mehrstufige Erweiterte Vickrey Auktion für die Gesamtheit der Aufträge
durchzuführen.
3 Fazit
Mit der Modellierung der verschiedenen Koordinationsmechanismen ist jetzt
eine Zuordnung zu Problemklassen der Optimierung und die Identikation
geeigneter Lösungsverfahren möglich. Für die Problemklasse 2.1 ist das Maximum einer Menge von Daten ohne Nebenbedingungen zu bestimmen. Die
Modellierung der Klassen 2.2 2.7 führt zu Problemen der binären Optimierung, die z. B. über ein Branch&Bound-Verfahren lösbar sind. Eine Relaxation
entsteht durch Weglassen der Binärbedingung. Das Branching kann durch eine
Verzweigungsregel vorgenommen werden, die in jeder Stufe eine der Binärvariablen xij xiert. Ein Bounding ist durch die Lösung der Linearen Optimierungsprobleme möglich, die durch Branching und Relaxation entstehen. Die
Klassen 2.8 und 2.9 führen wie 2.1 zu Problemen, in denen ein Maximum aus
einer Menge von Daten ermittelt wird. Die Schwierigkeit liegt hier in der in 2.8
vorgestellten Modellierung der jeweils relevanten Teilmengen zur Bestimmung
von Zuschlag, Preis bzw. Referenzgewinnen.
Ausgangspunkt dieses Papers sind früheren Arbeiten (vgl. hierzu z. B.
[Gomber et al., 1997] ), die betriebliche Planungsprobleme klassizieren und
adäquate Koordinationsmechanismen im Hinblick auf den Einsatz in einem
elektronischen Markt identizieren. Der Fokus der Arbeit liegt auf der Modellierung dieser Koordinationsmechanismen. Die konkreten Modelle können Problemklassen der Optimierung zugeordnet werden, für die geeignete Lösungsverfahren bekannt sind. Damit sind grundlegende Fragen für die Implementation
der Koordinationsmechanismen geklärt.
16
A Ergänzungen
A.1 Vollständige Induktion für die Zuordnung von Aufträgen zu Spalten
Induktionsbehauptung:
Für k Aufträge k = 1; :::; N gilt, daÿ sie enthalten sind in den Spalten der
Menge ff (t; k) := 2k;1 + 2(t ; 1) ; (t ; 1) mod 2k;1 j t = 1; :::; 2N ;1g.
Induktionsverankerung:
Für einen Auftrag gilt mit k = N = 1 ! t = 1, daÿ er in der Spalte
f (1; 1) = 21;1 + 2(1 ; 1) ; (1 ; 1) mod 21;1 = 1 enthalten ist.
Induktionsschritt:
Für k = 1; :::; N Aufträge gelte, daÿ sie in den Spalten
f (t; k) = 2k;1 + 2(t ; 1) ; (t ; 1) mod 2k;1; t = 1; :::; 2N ;1
enthalten sind (Induktionsvoraussetzung).
)
Für k = 1; :::; N + 1 Aufträge gilt, daÿ sie in den Spalten
f (t; k) = 2k;1 + 2(t ; 1) ; (t ; 1) mod 2k;1; t = 1; :::; 2N
enthalten sind.
Beweis:
Man erhält eine Matrix mit N + 1 Zeilen und 2N +1 ; 1 Spalten (siehe auch
Abbildung 2).
k = 1; :::; N; t = 1; :::; 2N ;1 :
Die Einträge in den Zeilen k = 1; :::; N und den Spalten j = 1; :::; 2N ; 1
(siehe auch Block (I) in Abbildung 2) bleiben vom Induktionsschritt unberührt: Für k = 1; :::; N Aufträge gilt nach der Induktionsvoraussetzung, daÿ sie in den Spalten f (t; k) = 2k;1 +2(t;1);(t;1) mod 2k;1 (t =
1; :::; 2N ;1) enthalten sind und diese Spalten bleiben für gröÿere t unverändert, da f (t; k) streng monoton steigend in t ist (siehe Lemma 1).
17
1
. . . . . . . . . .
2 N -1
2
N
2 N + 1
. . . . . . . . . .
2
N + 1
. . . . . . . . . . . .
1
-1
. . . . .
1
( I )
( II )
N
N + 1
1
1
( III )
Abbildung 2: Aufbau der Matrix mit Aufträgen in den Zeilen und Auftragskombinationen in den Spalten
k = 1; :::; N; t = 2N ;1 + t0 ; t0 = 1; :::; 2N ;1 :
N ;1 + (t0 ; 1)) mod 2k;1
f (t; k) = 2k;1 + 2N + 2(t0 ; 1) ; (2
|
{z
}
(t0 ;1) mod 2k;1
2N + 2k;1 + 2(t0 ; 1) ; (t0 ; 1) mod 2k;1
2N + f (t0; k)
=
=
Die Einträge in den Zeilen k = 1; :::; N und den Spalten j = 2N +1; :::; 2N +1 ; 1
entsprechen einer Kopie der Einträge in den Zeilen k = 1; :::; N und den
Spalten j = 1; :::; 2N ; 1 (siehe auch Block (II) in Abbildung 2).
k = N + 1; t = 1; :::; 2N :
f (t; N + 1) = 2N + 2(t ; 1) ; (t ; 1) mod 2N
= 2N + 2(t ; 1) ; (t ; 1)
= 2N + (t ; 1)
In Zeile k = N +1 stehen Einträge in den Spalten j = 2N ; :::; 2N +1 (siehe
auch Block (III) in Abbildung 2). qed.
Lemma 1: f (t; k) ist streng monoton steigend in t für gegebenes k (k =
1; :::; N ).
Beweis:
f (t; k) = 2k;1 + 2(t ; 1) ; (t ; 1) mod 2k;1
= 2| k{z;1} + (|t ;{z 1)} + |(t ; 1) ; (t ;{z 1) mod 2k;1}
(1:)
(2:)
(3:)
Wegen
1. 2k;1 konstant für gegebenes k,
18
2. (t ; 1) streng monoton steigend in t und
3. (t ; 1) ; (t ; 1) mod 2k;1 = (t ; 1) div 2k;1, ganzzahliges Ergebnis der
Division von (t ; 1) durch die Konstante 2k;1, monoton steigend in t
ist f (t; k) streng monoton steigend in t für gegebenes k (k = 1; :::; N ).
19
A.2 Zuordnung von Bietern zu Koalitionen
Behauptung:
In einer Koalition j (j = 1; :::; 2B ; 1) sind die Bieter aus der Menge Ij :=
f (j mod 2i) div 2i;1 = 1 j i 2 f1; :::; B gg enthalten.
Beweis:
Die Binärkodierung von j (j = 1; :::; 2B ; 1) sei (siehe auch Spalten 13 in
Tabelle 9):
B
X
i=1
ai2i;1 = j
Um den Nennwert ak an einer Stelle k der Binärkodierung zu ermitteln, werden
zunächst durch (j mod 2k ) alle Bits an den Stellen i > k abgeschnitten die
Stellen i = 1; :::; k bilden gerade den ganzzahligen Rest der Division von j
durch 2k (siehe auch Spalte 4 in Tabelle 9) und anschlieÿend durch (j mod
2k ) div 2k;1 alle Bits an den Stellen i < k abgeschnitten die Stellen i =
1; :::; k ; 1 bilden den ganzzahligen Rest der Division von j durch 2k;1 und das
ganzzahlige Ergebnis der Division steht an der Stelle k (siehe auch Spalte 5 in
Tabelle 9).
Stelle i Stellenwert Nennwerte ai j mod 2k (j mod 2k )div2k;1
i=1
20
a1
a1
...
...
...
...
...
i=k;1
2k;2
ak;1
ak;1
k
;
1
i=k
2
ak
ak
ak
i=k+1
2k
ak+1
...
...
...
...
...
i=B
2B;1
aB
Tabelle 9: Prüfen des Nennwerts der Stelle k einer Binärkodierung von j
Für eine Koalition j (j = 1; :::; 2B ; 1) gibt der Ausdruck (j mod 2i)div2i;1 (i =
1; :::; B; ) also den Nennwert der i-ten Stelle einer Binärkodierung von j wieder.
Folglich sind in der Menge Ij := f (j mod 2i) div 2i;1 = 1 j i 2 f1; :::; B gg alle
Stellen i (i 2 f1; :::; B g) enthalten, deren Nennwert ai = 1 ist und damit sind
in Ij alle Bieter der Koalition j enthalten.
20
A.3 Vollständige Induktion für die Zuordnung von Koalitionen einer bestimmten Gröÿe zu Spalten
Induktionsbehauptung:
Koalitionen der Gröÿe u (u = 1; :::; B ) sind in den Spalten der Menge
u
X
Ku := f
m=1
2im;1 j im 2 f1; :::; B g; im < im+1 g
enthalten.
Induktionsverankerung:
Aus der Binärkodierung einer Koalition j (j = 1; :::; 2B ; 1) ergibt sich, daÿ
Koalitionen der Gröÿe 1 in den Spalten der Menge
K1 := f2i;1 j i 2 f1; :::; B g g
enthalten sind.
Induktionsschritt:
Koalitionen der Gröÿe u ; 1 sind in den Spalten der Menge
Ku;1 := f
uX
;1
m=1
2im;1 j im 2 f1; :::; B g; im < im+1 g
enthalten (Induktionsvoraussetzung).
)
Koalitionen der Gröÿe u sind in den Spalten der Menge
u
X
Ku := f
m=1
2im;1 j im 2 f1; :::; B g; im < im+1 g
enthalten.
Beweis:
Für B Bieter erhält man eine Matrix mit B Zeilen und 2B ; 1 Koalitionen
in den Spalten. Der Aufbau der Matrix entspricht der aus Abbildung 2 in
Abschnitt A.1.
Koalitionen der Gröÿe u sind darstellbar als
21
die Menge der Koalitionen der Gröÿe u aus Block (i) in Abbildung 3, da
Zeile B in den Spalten 1 bis 2B;1 keine Einträge hat (d. h. Bieter B ist
in diesen Koalitionen nicht enthalten), und
die Menge der Koalitionen der Gröÿe u ; 1 aus Block (ii) in Abbildung
3, da Zeile B in jeder Spalte 2B;1 bis 2B ; 1 Einträge hat (d. h. Bieter
B ist in jeder dieser Koalitionen enthalten).
1
. . . . . . . . .
2
B -1
-1
2
B -1
2
B -1
+ 1
. . . . . . . . .
2 B-1
. . . . .
1
( ii )
( i )
B -1
B
1
1
. . . . . . . . . . . .
1
Abbildung 3: Aufbau der Matrix mit Bietern in den Zeilen und Koalitionen in
den Spalten
Es gelte die folgende Notation:
Ku(2t; v) ist die Menge aller Spalten mit Koalitionen der Gröÿe u, die ab Spalte 2t für die Bieter 1 bis v in 2v ; 1 Spalten auftreten.
Demnach lassen sich Koalitionen der Gröÿe u darstellen als:
Ku = Ku(20; B ) = Ku(20; B ; 1) + Ku;1 (2B;1; B ; 1)
Setzt man dieses Vorgehen iterativ fort erhält man (siehe auch Abbildung 4):
0
Ku(20; B ) =
K
+Ku;1(2B;1 ; B ; 1)
| u(2 ;{zB ; 1)}
= Ku(20; B ; 2) + Ku;1(2B;2 ; B ; 2) +Ku;1(2B;1 ; B ; 1)
...
= Ku(20; u) + Ku;1(2u; u) + ::: + Ku;1(2B;1; B ; 1)
= Ku(20; u) + PBj=;u1 Ku;1(2j ; j )
In diesem Ausdruck entspricht der erste Term Ku(20; u) laut Denition der
Menge der Spalten, die Koalitionen der Gröÿe u enthalten, wobei die Bieter 1
bis u in den Spalten 1 bis 2u ; 1 betrachtet werden. Über die Binärkodierung
der Spalte 2u ; 1 = 20 +21 + ::: +2u;1 ergibt sich, daÿ die Spalte 2u ; 1 einziges
Element der Menge ist, d. h. daÿ gilt:
22
1 . . . . 2
. . .
1
u
u -1
-1
2
. . . . 2
u -1
B -2
-1
2
B -2
. . . . 2
B -1
-1
2
B -1
. . . . . . . . . . . . . . . 2 B-1
K u(2 0,u )
K
u -1
(2
B -2
,B -2 )
K
. . .
.. .
. .
B -2
B -1
1
B
u -1
(2
B -1
,B -1 )
. . . . . . . . 1
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Abbildung 4: Iterative Zerlegung der Matrix
u
X
Ku(20; u) = f20 + 21 + ::: + 2u;1g = f
m=1
2im ;1 j im 2 f1; :::; ug; im < im+1 g
In dem zweiten Term PBj=;u1 Ku;1(2j ; j ) beziehen sich alle Summanden auf Koalitionen der Gröÿe u ; 1, für die die Mengen Ku;1 entsprechend der Induktionsvoraussetzung gegeben sind.
Insgesamt erhält man:
u
X
Ku(20 ; B ) = f
m=1
[
...
[
[
f2u +
uX
;1
m=1
f2B;2 +
f2B;1 +
u
X
= f
2im ;1 j im 2 f1; :::; ug; im < im+1 g
m=1
2im;1 j im 2 f1; :::; ug; im < im+1 g
uX
;1
m=1
uX
;1
m=1
2im ;1 j im 2 f1; :::; B ; 2g; im < im+1 g
2im ;1 j im 2 f1; :::; B ; 1g; im < im+1 g
2im ;1 j im 2 f1; :::; ug; im < im+1 ; iu = ug
u
[ X
f 2im;1 j im 2 f1; :::; u + 1g; im < im+1 ; iu = u + 1g
...
m=1
u
[ X
f 2im;1 j im 2 f1; :::; B ; 1g; im < im+1 ; iu = B ; 1g
m=1
23
u
[ X
f 2im;1 j im 2 f1; :::; B g; im < im+1 g; iu = B g
m=1
u
X
= f
m=1
2im ;1 j im 2 f1; :::; B g; im < im+1 g
= Ku qed:
24
Literatur
[Gomber et al., 1996] Gomber, P., Schmidt, C., und Weinhardt, C. (1996).
Synergie und Koordination in dezentral planenden Organisationen. Wirtschaftsinformatik., 38(3):299307.
[Gomber et al., 1997] Gomber, P., Schmidt, C., und Weinhardt, C. (1997).
Elektronische Märkte für die dezentrale Transportplanung. Wirtschaftsinformatik., 39(2):137145.
[Gomber et al., 1998] Gomber, P., Schmidt, C., und Weinhardt, C. (1998).
Auctions in Electronic Commerce Eciency versus Computational Tractability. Proceedings of the 1st International Conference on Electronic Commerce (ICEC'98), pages 4348.
[Varian, 1995] Varian, H. R. (1995). Economic Mechanism Design for Computerized Agents. USENIX Workshop on Electronic Commerce.
[Vickrey, 1961] Vickrey, W. (1961). Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders. Journal of Finance, 16(1):837.
[Weinhardt und Gomber, 1996] Weinhardt, C. und Gomber, P. (1996). Domänenunabhängige Koordinationsmechanismen für die dezentrale betriebliche
Planung. Information Management, 1:616.
25