Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XV 1 Der Garten der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 1.2 1 .............. . . . . . . . 7 11 14 17 18 19 20 Besondere Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 24 25 26 30 31 33 35 37 38 38 39 41 42 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 2 Figurierte Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summen von Quadratzahlen, Dreieckszahlen und dritten Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . Es gibt unendlich viele Primzahlen . . . . . . . . Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz von Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz von Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vollkommene Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p Die Irrationalität von p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Irrationalität von k für nicht-quadratische k Der Goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . und der Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Irrationalität von . . . . . . . . . . . . . . . . . . Comte de Buffon und seine Nadel . . . . . . . . . . . e als Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eine unendliche Reihe für e . . . . . . . . . . . . . . . Die Irrationalität von e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Steiners Aufgabe zur Euler’schen Zahl e . . . . . . . Die Euler-Mascheroni-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . Rationale und irrationale Exponenten . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII 3 4 5 Bezaubernde Beweise Punkte in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 . . . . . . . 47 50 51 53 54 56 58 Spielwiese der Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 . . . . . . . . . 61 65 66 68 70 73 75 78 82 Eine Schatzkiste voller Dreieckssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 6 Der Satz von Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kreise und Summen von zwei Quadratzahlen . . Der Satz von Sylvester und Gallai . . . . . . . . . . . Exakte Aufteilung von 100.000 Punkten . . . . . . Tauben und Taubenschläge . . . . . . . . . . . . . . . Zuordnung von Zahlen zu Punkten in der Ebene Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorik von Vielecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruktion eines n-Ecks mit vorgegebenen Seitenlängen Die Sätze von Maekawa und Kawasaki . . . . . . . . . . . . . . Die Quadratur von Vielecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Sterne auf dem polygonalen Spielplatz . . . . . . . . . . . Museumswächter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Triangulation konvexer Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zykloiden, Zyklogone und polygonale Zykloiden . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pythagoreische Verwandte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks . . . . . . . . . . . . Die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras durch Pappus Der Inkreis und die Formel von Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Umkreis und Eulers Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . Das Höhenfußdreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ungleichung von Erdős und Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz von Steiner und Lehmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Seitenhalbierenden in einem Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . Sind die meisten Dreiecke stumpfwinklig? . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 87 89 91 93 94 96 97 99 101 103 104 Der Zauber des gleichseitigen Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Sätze von der Art des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Fermat’sche Punkt eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz von Viviani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eine Dreiecksparkettierung der Ebene und die Ungleichung von Weitzenböck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz von Napoleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . „Morleys Wunder“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... .... 107 110 112 .... .... .... 112 115 116 XIII Inhaltsverzeichnis 6.7 6.8 6.9 7 7.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 128 130 133 135 .......... .......... 137 138 Ein-Quadrat-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zwei-Quadrate-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . Drei-Quadrate-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . Vier und mehr Quadrate . . . . . . . . . . . . . Quadrate in der Unterhaltungsmathematik Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 143 149 152 154 156 Aufregende Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 10 Mittelpunkte in Vierecken . . . . . . . . . . . . . . . . . Sehnenvierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gleichungen und Ungleichungen zu Vierecken . . . Tangentenviereck und bizentrische Vierecke . . . . . Die Sätze von Anne und Newton . . . . . . . . . . . . . Der Satz des Pythagoras mit einem Parallelogramm und gleichseitigen Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Überall Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 9 118 120 120 Das Reich der Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 8 Der Satz von van Schooten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das gleichseitige Dreieck und der Goldene Schnitt . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quadraturen von Sichelformen . . . . . . . . Die verblüffende archimedische Spirale . . Die Quadratrix des Hippias . . . . . . . . . . . Das Schustermesser und das Salzfässchen . Kegelschnitte à la Quetelet und Dandelin . Archimedische Dreiecke . . . . . . . . . . . . . Helices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 166 169 170 172 174 177 179 Abenteuer mit Parkettierungen und Färbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 Ebene Parkettierungen und Mosaike . . . . . . . . . . . Parkettierungen mit Dreiecken und Vierecken . . . . Unendlich viele Beweise für den Satz des Pythagoras Der springende Frosch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die sieben Friese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Farbenfrohe Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dodekaeder und Hamilton-Kreise . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 189 192 195 197 201 211 213 XIV 11 Bezaubernde Beweise Geometrie in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10 Der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . Die Unterteilung des Raums mit Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zwei Dreiecke auf drei Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ein Kegel zur Winkeldreiteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Schnittpunkte von drei Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der vierte Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Fläche eines sphärischen Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Euler’sche Polyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flächen und Vertices in Eulers Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Weshalb sich manche Arten von Flächen in Polyedern wiederholen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.11 Euler und Descartes à la Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.12 Die Quadratur von Quadraten und die „Würfelung“ von Würfeln 11.13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 218 220 222 222 223 225 226 227 229 232 233 234 235 Weitere Sätze, Aufgaben und Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 12.1 12.2 12.3 12.4 Abzählbare und überabzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . Der Satz von Cantor, Schröder und Bernstein . . . . . . . . . . . . . . Die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Zwei Origamiperlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Wie zeichnet man eine Gerade? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Einige Schmuckstücke an Funktionalgleichungen . . . . . . . . . . . 12.8 Funktionalungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9 Die Euler-Reihe für 2 =6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.10 Das Wallis-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.11 Die Stirling’sche Näherung für n! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.12 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 239 241 . . . . . . . . . 242 244 247 249 257 261 264 265 268 Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319 http://www.springer.com/978-3-642-34792-4
