Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis
Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VII
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
XV
1
Der Garten der natürlichen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1
1.2
1
..............
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7
11
14
17
18
19
20
Besondere Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
24
25
26
30
31
33
35
37
38
38
39
41
42
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
2
Figurierte Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Summen von Quadratzahlen, Dreieckszahlen
und dritten Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Es gibt unendlich viele Primzahlen . . . . . . . .
Fibonacci-Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vollkommene Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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p
Die Irrationalität von p2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Irrationalität von k für nicht-quadratische k
Der Goldene Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
und der Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Irrationalität von . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comte de Buffon und seine Nadel . . . . . . . . . . .
e als Grenzwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine unendliche Reihe für e . . . . . . . . . . . . . . .
Die Irrationalität von e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Steiners Aufgabe zur Euler’schen Zahl e . . . . . . .
Die Euler-Mascheroni-Zahl . . . . . . . . . . . . . . . .
Rationale und irrationale Exponenten . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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XII
3
4
5
Bezaubernde Beweise
Punkte in der Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
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47
50
51
53
54
56
58
Spielwiese der Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
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61
65
66
68
70
73
75
78
82
Eine Schatzkiste voller Dreieckssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
6
Der Satz von Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kreise und Summen von zwei Quadratzahlen . .
Der Satz von Sylvester und Gallai . . . . . . . . . . .
Exakte Aufteilung von 100.000 Punkten . . . . . .
Tauben und Taubenschläge . . . . . . . . . . . . . . .
Zuordnung von Zahlen zu Punkten in der Ebene
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Kombinatorik von Vielecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konstruktion eines n-Ecks mit vorgegebenen Seitenlängen
Die Sätze von Maekawa und Kawasaki . . . . . . . . . . . . . .
Die Quadratur von Vielecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Sterne auf dem polygonalen Spielplatz . . . . . . . . . . .
Museumswächter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Triangulation konvexer Vielecke . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zykloiden, Zyklogone und polygonale Zykloiden . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Der Satz des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pythagoreische Verwandte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks . . . . . . . . . . . .
Die Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras durch Pappus
Der Inkreis und die Formel von Heron . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Umkreis und Eulers Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . .
Das Höhenfußdreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ungleichung von Erdős und Mordell . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Steiner und Lehmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Seitenhalbierenden in einem Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . .
Sind die meisten Dreiecke stumpfwinklig? . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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87
89
91
93
94
96
97
99
101
103
104
Der Zauber des gleichseitigen Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Sätze von der Art des Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Fermat’sche Punkt eines Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Viviani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine Dreiecksparkettierung der Ebene und die Ungleichung
von Weitzenböck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Napoleon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
„Morleys Wunder“ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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....
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107
110
112
....
....
....
112
115
116
XIII
Inhaltsverzeichnis
6.7
6.8
6.9
7
7.7
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130
133
135
..........
..........
137
138
Ein-Quadrat-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei-Quadrate-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . .
Drei-Quadrate-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . .
Vier und mehr Quadrate . . . . . . . . . . . . .
Quadrate in der Unterhaltungsmathematik
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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141
143
149
152
154
156
Aufregende Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
10
Mittelpunkte in Vierecken . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sehnenvierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichungen und Ungleichungen zu Vierecken . . .
Tangentenviereck und bizentrische Vierecke . . . . .
Die Sätze von Anne und Newton . . . . . . . . . . . . .
Der Satz des Pythagoras mit einem Parallelogramm
und gleichseitigen Dreiecken . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Überall Quadrate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.1
8.2
8.3
8.4
8.5
8.6
9
118
120
120
Das Reich der Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
8
Der Satz von van Schooten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das gleichseitige Dreieck und der Goldene Schnitt . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quadraturen von Sichelformen . . . . . . . .
Die verblüffende archimedische Spirale . .
Die Quadratrix des Hippias . . . . . . . . . . .
Das Schustermesser und das Salzfässchen .
Kegelschnitte à la Quetelet und Dandelin .
Archimedische Dreiecke . . . . . . . . . . . . .
Helices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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159
166
169
170
172
174
177
179
Abenteuer mit Parkettierungen und Färbungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
Ebene Parkettierungen und Mosaike . . . . . . . . . . .
Parkettierungen mit Dreiecken und Vierecken . . . .
Unendlich viele Beweise für den Satz des Pythagoras
Der springende Frosch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die sieben Friese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Farbenfrohe Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dodekaeder und Hamilton-Kreise . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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184
189
192
195
197
201
211
213
XIV
11
Bezaubernde Beweise
Geometrie in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
11.1
11.2
11.3
11.4
11.5
11.6
11.7
11.8
11.9
11.10
Der Satz des Pythagoras in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . .
Die Unterteilung des Raums mit Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zwei Dreiecke auf drei Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein Kegel zur Winkeldreiteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Schnittpunkte von drei Kugeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der vierte Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Fläche eines sphärischen Dreiecks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Euler’sche Polyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Flächen und Vertices in Eulers Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Weshalb sich manche Arten von Flächen in Polyedern
wiederholen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.11 Euler und Descartes à la Pólya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.12 Die Quadratur von Quadraten und die „Würfelung“ von Würfeln
11.13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
218
220
222
222
223
225
226
227
229
232
233
234
235
Weitere Sätze, Aufgaben und Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
12.1
12.2
12.3
12.4
Abzählbare und überabzählbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Cantor, Schröder und Bernstein . . . . . . . . . . . . . .
Die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem
Mittel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5 Zwei Origamiperlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Wie zeichnet man eine Gerade? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7 Einige Schmuckstücke an Funktionalgleichungen . . . . . . . . . . .
12.8 Funktionalungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.9 Die Euler-Reihe für 2 =6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.10 Das Wallis-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.11 Die Stirling’sche Näherung für n! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.12 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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237
239
241
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242
244
247
249
257
261
264
265
268
Lösungen zu den Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
http://www.springer.com/978-3-642-34792-4