4.1 Die Erscheinungsformen der Energie

148
4 Die Energiebilanz
4.1 Die Erscheinungsformen der Energie
Die Energie tritt in unterschiedlichen Erscheinungsformen auf. Wir beschränken uns hier auf die mechanischen, die thermischen und die chemischen
Energieformen, betrachten also nicht z.B. elektrische, bei Kernumwandlungen
auftretende oder andere der vielen sonstigen bekannten Formen.
4.1.1 Mechanische Energieformen
Aus der Mechanik sind einige Energieformen bekannt. So wird z.B. einem
Körper der Masse m, der sich mit der Geschwindigkeit c bewegt, die kinetische
Energie
Ekin =
1 2
mc
2
(4.1)
zugeordnet. Ein ruhender Körper der Masse m in einer Höhe h im Schwerefeld
der Erde hat die potenzielle Energie
Epot = mgh ,
(4.2)
wobei g = 9,81 m/s2 die so genannte Erdbeschleunigung ist. Beide dieser
mechanischen Energieformen haben die Einheit kg m2 /s2 = Nm = J, wobei
J” das Kurzzeichen für die Einheit Joule ist. Zahlenmäßig können sie nur
”
als Differenz zu einem Bezugswert angegeben werden, vgl. Abb. 4.1. Für die
kinetische Energie des Wagens mit der Geschwindigkeit c ist der Ruhezustand der natürliche Bezugszustand mit der kinetischen Energie Null. Für
die potenzielle Energie ist die Lage des Systems auf dem Umgebungsniveau
der natürliche Bezugszustand mit der potenziellen Energie Null. Beide Bezugszustände sind aber prinzipiell willkürlich. Für den Fall der kinetischen
Energie wird dies klar, wenn man sich die Bewegung einer kleinen Kugel mit
der Geschwindigkeit c′ in einem rollenden Wagen mit der Geschwindigkeit
c vorstellt. Die kinetische Energie der Kugel wird von einem in dem Wagen sitzenden Beobachter als niedriger empfunden als von einem Beobachter
außerhalb des Wagens. Entsprechendes gilt für die potenzielle Energie eines
Körpers auf der Höhe h′ in einem Flugzeug, das in der Höhe h in Bezug auf
das Umgebungsniveau fliegt.
Um einen Körper der Masse m vom Erdboden (h = 0) auf eine Höhe h zu
heben, muss man ihm Energie zuführen, und zwar die mechanische Arbeit
W0h =
Zh
F · dr .
(4.3)
0
Die mechanische Arbeit ist allgemein definiert als das Produkt aus einer
Kraft und der Verschiebung des Kraftangriffspunktes in Richtung der Kraft.
4.1 Die Erscheinungsformen der Energie
149
c
c '
a )
Ä u ß e r e B e z u g s k o o r d in a te n z u r D e fin itio n d e r
k in e tis c h e n E n e r g ie
y
h '
h
b )
x
Ä u ß e r e B e z u g s k o o r d in a te n z u r D e fin itio n d e r
p o te n z ie lle n E n e r g ie
Abb. 4.1. Zum Bezugspunkt für die kinetische und potenzielle Energie
Wenn eine Abhängigkeit der Kraft von der Verschiebung berücksichtigt werden soll, dann ergibt sich die mechanische Arbeit somit als das Integral des an
dem Körper angreifenden Kraftvektors F über den zurückgelegten Weg des
Kraftangriffspunktes in Richtung der Kraft. Der Punkt in (4.3) bezeichnet
demnach das Skalarprodukt zwischen F und r. Zugeführte Energien haben
vereinbarungsgemäß ein positives Vorzeichen, abgeführte ein negatives. Im
betrachteten Fall, in dem eine Masse gehoben werden soll, zeigen der Vektor
der Kraft und der Vektor der Verschiebung in die gleiche Richtung. Die mechanische Arbeit nach (4.3) ist daher positiv, in Übereinstimmung mit der
Tatsache, dass sie zugeführt wird. Auch sie hat die Einheit J”. Während
”
die potenzielle und kinetische Energie Eigenschaften der Masse m in ihrem
speziellen Zustand sind, d.h. Zustandsgrößen, ist die mechanische Arbeit nur
für einen bestimmten Prozess definiert. Sie ist daher eine Prozessgröße. Zur
Berechnung der mechanischen Arbeit nach (4.3) benötigt man die Funktion
F (r). Im Allgemeinen hängt daher der Wert des Integrals von dem speziellen
Prozessverlauf ab. Im hier betrachteten Fall ist die Auswertung allerdings einfach und wegunabhängig, da die zum Heben des Körpers erforderliche Kraft
F der Schwerkraft betragsmäßig gleich, aber entgegen gerichtet ist, d.h.
F = −mg ,
mit g als dem Vektor der Erdbeschleunigung, der zum Erdmittelpunkt zeigt.
Mit einer als unabhängig von der Höhe angenommenen Erdbeschleunigung
wird
150
4 Die Energiebilanz
W0h = mgh = Epot .
Diese Gleichung beschreibt einen besonders einfachen Fall von Energieumwandlung. Durch Aufwänden einer mechanischen Arbeit W0h wird der Masse
m eine potenzielle Energie Epot erteilt. Die aufgewändete Arbeit findet sich
als potenzielle Energie der Masse wieder, die Energie bleibt also erhalten.
Als etwas komplizierteren Fall einer Umwandlung der mechanischen Energieformen ineinander betrachten wir in Abb. 4.2 die Bewegung eines Massenpunktes unter der Wirkung einer Kraft F entlang einer Bahnkurve. Das Sys-
p ,c
2
F
r
1
Abb. 4.2. Bewegung eines Massenpunktes unter Wirkung der Kraft F
tem ist der Massenpunkt selbst. Es hat die Zustandsgrößen r und c, also Ort
und Geschwindigkeit. Der Ortsvektor des Massenpunktes ist eine Funktion
der Zeit τ . Die Geschwindigkeit des Massenpunktes ist
dr
.
dτ
Für den Impuls p des Massenpunktes gilt daher
c=
p = mc = m
dr
.
dτ
Nach dem zweiten Newtonschen Grundgesetz ist die zeitliche Änderung des
Impulses gleich der an dem Massenpunkt angreifenden Kraft. Es gilt also
d
dp
=
(mc) = F .
dτ
dτ
(4.4)
Mit (4.4) haben wir ein Axiom eingeführt, d.h. einen aus der Erfahrung stammenden Lehrsatz, der nicht mathematisch beweisbar ist. Multiplizieren wir
(4.4) skalar mit c, so erhalten wir
4.1 Die Erscheinungsformen der Energie
c·
151
dr
dp
=F ·
.
dτ
dτ
Multiplikation mit dem Zeitelement und Integration zwischen den Orten 1
und 2 führt auf
Z2
c · dp =
1
Z2
F · dr .
1
Das Integral über den Impuls des Massenpunktes kann man leicht auswerten,
und man erhält mit dp = mdc
m 2
c2 − c21 =
2
Z2
F · dr .
1
Mit der Definition der kinetischen Energie nach (4.1)
1 2
mc = Ekin
2
erhält das zweite Newtonsche Grundgesetz dann die Form
Ekin,2 − Ekin,1 =
Z2
F · dr = W12 .
(4.5)
1
Das Integral auf der rechten Seite ist die Arbeit W12 der Kraft F zwischen
den Zuständen 1 und 2. Insgesamt steht daher auf der rechten Seite die
Arbeit, welche die Kraft F am Massenpunkt während dessen Bewegung auf
der Bahnkurve zwischen 1 und 2 verrichtet. Die Gleichung (4.5) drückt die
Energieerhaltung bei der Bewegung des Massenpunktes aus. Die zugeführte
Arbeit findet sich in der Erhöhung der kinetischen Energie des Massenpunktes
wieder.
Eine besonders prägnante Form für die mechanische Energiebilanz (4.5)
erhalten wir, wenn wir ein so genanntes konservatives Kraftfeld voraussetzen. Dann lässt sich die Kraft F auf den Massenpunkt als Gradient eines
Potenzials, der potenziellen Energie, ausdrücken, nach
F =−
dEpot
.
dr
(4.6)
Ein Beispiel für die Gültigkeit von (4.6) sind reibungsfreie Bewegungen im
Schwerefeld der Erde, mit
F =−
d(mgh)
d(mg · r)
=
= mg
dr
dr
152
4 Die Energiebilanz
als der dem Vektor r entgegen gerichteten Schwerkraft. In dem durch (4.6)
definierten Sonderfall ist das Arbeitsintegral wegunabhängig, und man erhält
Z2
1
F · dr = −
Z2
1
dEpot
· dr = −
dr
Z2
dEpot = −Epot,2 + Epot,1 .
(4.7)
1
Bei der Bewegung eines Massenpunktes in einem konservativen Kraftfeld ist
die Arbeit somit als Differenz zwischen zwei potenziellen Energien gegeben,
also als Differenz einer Zustandsgröße in zwei verschiedenen Zuständen. Man
findet dann für die mechanische Energiebilanz
[Epot + Ekin ]1 = [Epot + Ekin ]2 .
(4.8)
Die Summe der kinetischen und der potenziellen Energie bei der Bewegung
eines Massenpunktes im konservativen Kraftfeld ist konstant, unabhängig
von der Gestalt der Bahnkurve und anderen Einzelheiten der Bewegung.
Mit E = Ekin + Epot als der Gesamtenergie des Systems Massenpunkt
schreiben wir E = const. Wieder sind wir somit auf einen Erhaltungssatz für
die Größenart Energie geführt worden, in dem nun die Erscheinungsformen
kinetische Energie und potenzielle Energie auftreten.
Der einfache mechanische Energieerhaltungssatz (4.8) hat nur einen sehr eingeschränkten Gültigkeitsbereich. Das erfährt z.B. bereits ein Radfahrer, der von
einer Anhöhe ins Tal herabrollt und nicht ohne Treten auf die gleiche Anhöhe
der anderen Talseite gelangt, wie es nach (4.8) eigentlich sein sollte. Offenbar
wird die ursprünglich vorhandene potenzielle Energie als solche nicht vollständig
zurückgewonnen, sondern teilweise in andere Energieformen umgewandelt. Die
hierfür verantwortlichen Reibungseffekte wie der Luft- und Rollwiderstand sowie
die Lagerreibung, die in (4.8) nicht berücksichtigt werden, machen sich in allen
praktischen Fällen bemerkbar. Dies gilt auch für das System Massenpunkt, wenn
wir dabei an einen fallenden Stein im Schwerefeld der Erde denken. Dann ist die
aus der potenziellen Energie abzuleitende nur ein Teil der auf den Massenpunkt
einwirkenden Kraft. Zusätzlich wirkt noch als Reibungskraft der Luftwiderstand.
Die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie ist dann nicht mehr konstant.
Unter der Annahme, dass keine nicht-mechanischen Energieformen an der Gesamtenergie des Steins beteiligt sind, gilt für den Prozess aber immer noch der Energieerhaltungssatz in der Form (4.5). Hiernach wird die Änderung der kinetischen
Energie durch die Arbeit aller äußeren Kräfte, also sowohl der aus einem Potenzial
abzuleitenden als auch der Reibungskraft des Luftwiderstands, hervorgerufen. Mit
(W12 )Rbg als der Arbeit der Reibungskraft lautet also der Energieerhaltungssatz in
diesem Fall
Ekin,1 + Epot,1 + (W12 )Rbg = Ekin,2 + Epot,2 .
Hier ist die Arbeit der Reibungskraft als vom Stein an die Umgebung abgegebene
Energie eine negative Größe, mit der Folge, dass die Summe aus kinetischer und
potenzieller Energie im Zustand 2 um die Reibungsarbeit kleiner ist als die Summe
dieser Energien im Anfangszustand. Praktisch treten unter Einfluss von Reibung
stets auch nicht - mechanische Energieformen auf, die hier zunächst vernachlässigt
wurden. Hierauf gehen wir in späteren Abschnitten ein, vgl. Abschn. 4.1.2.
4.1 Die Erscheinungsformen der Energie
153
In den thermodynamischen Anwendungen spielen bestimmte Formen von
mechanischer Arbeit eine besondere Rolle. Dabei handelt es sich nur selten
um die Arbeit jener Kräfte, die die Bewegung oder Lage des Systems als
Ganzes beeinflussen. Vielmehr geht es um solche Formen von mechanischer
Arbeit, die zu Änderungen im inneren Zustand des Systems führen, z.B. zur
Änderung des Volumens bei der Kompression eines Gases. Wir unterscheiden
dabei die Kolbenarbeit (W12 )K und die Wellenarbeit (W12 )W .
Die Kolbenarbeit tritt in der Technik vorzugsweise bei speziellen Kraftund Arbeitsmaschinen auf, z.B. bei Kompressions- und Expansionsprozessen
in Kolbenpumpen, Kolbenkompressoren oder Kolbenmotoren. Die Kolbenarbeit knüpft direkt an die Arbeitsdefinition der Mechanik an, vgl. Abb. 4.3.
Wenn als System das gesamte Kolben-/Zylinder-System, einschließlich Gas
und festen Wänden, betrachtet wird, dann ergibt sich die Kolbenarbeit zu
(W12 )K =
Z2
F a · dr = −
Z2
pa Adx = −
pa dV .
(4.9)
1
1
1
Z2
Hier ist F a die Kraft , die von außen an dem Kolben angreift, pa entspre-
A
p
(W
F
p
a
F
1 2
)
K
a
d x
Abb. 4.3. Zur Kolbenarbeit
chend der äußere Druck auf den Kolben und A die Kolbenfläche. Das negative
Vorzeichen sorgt für die Einhaltung der Vorzeichenvereinbarung für zu- und
abgeführte Energieströme. So wird bei einer Kompression das Volumen verkleinert, d.h. dV < 0, und die Arbeit ergibt sich als zugeführte Arbeit positiv.
Das System reagiert auf den Transfer von Kolbenarbeit mit einer Änderung
seines Zustands. Insbesondere ändert sich grundsätzlich eine bestimmte Zustandsgröße des Systems, nämlich das Volumen. Das Volumen ist daher die
mit dem Transfer von Kolbenarbeit einschlägig verknüpfte Zustandsgröße des
Systems. Der Druck pa ist bei Arbeitstransfer nicht identisch mit dem Druck
p des Fluids im Zylinder, denn die treibende Kraft ist ja ein Druckunterschied. So sorgen z.B. Reibungseffekte zwischen Kolben und Zylinder dafür,
dass bei einer Kompression der Druck pa größer als der Druck im Fluid ist,
während bei einer Expansion der Druck im Fluid den Außendruck übersteigt.
154
4 Die Energiebilanz
Die Situation gleichen Druckes hat den Charakter eines theoretischen Grenzfalls7 .
Beispiel 4.1
Ein horizontal angeordneter, mit einem Kolben verschlossener Zylinder von
V1 = 8 · 10−3 m3 enthält ein Gas bei T = 300 K und p1 = 10 bar. Der äußere
Umgebungsdruck beträgt pu = 1 bar. Man berechne die vom Gas geleistete
Kolbenarbeit bei einer Expansion auf V2 = 80 · 10−3 m3 .
Lösung
Die bei der Expansion geleistete Kolbenarbeit beträgt nach (4.9)
(W12 )K = −
Z2
pu dV = −pu (V2 − V1 )
1
= −105
N
· 72 · 10−3 m3 = −7200 Nm .
m2
Man beachte, dass für die Kolbenarbeit die Kenntnis des inneren Zustands des
Gases belanglos ist. Entscheidend sind der äußere Druck und die Volumenänderung.
Beispiel 4.2
Ein Wasserstrom von ṁ = 1 kg/s soll mit einer Kolbenpumpe isotherm bei 30◦ C
von p1 = 1 bar auf p3 = 46 bar gefördert werden, vgl. Abb. B 4.2.1. Der Prozess
besteht aus drei ablaufenden Teilprozessen,
1→2:
2→3:
3→4:
Ansaugen bei p1 = 1 bar
Komprimieren auf p3 = 46 bar
Ausschieben bei p3 = 46 bar .
Man berechne die zuzuführende Pumpenleistung für den Grenzfall pa = p.
Lösung
Die Pumpenarbeit ergibt sich als die Summe der Kolbenarbeiten für die drei
Zustandsänderungen, d.h.
WK = (W12 )K + (W23 )K + (W34 )K .
Wir betrachten den Grenzfall pa = p. Da hierbei Reibungseffekte ausgeschlossen
werden, erhält man für pa = p die Mindestkolbenarbeit. In diesem Fall findet man
für die spezifische Kolbenarbeit der Zustandsänderung i → k
(wik )K,min = −
Zk
pdυ .
i
Die gesamte Mindestpumpenarbeit ergibt sich damit zu
7
Wenn die Kolbenbewegung in Richtung der Erdbeschleunigung oder ihr entgegengesetzt erfolgt, gilt p = pa + mK g/A, mit mK als der Masse des Kolbens
und A als seiner Fläche. In diesem Fall gilt stets p > pa , ohne dass dies auf
Reibungseffekte zurückzuführen wäre.
4.1 Die Erscheinungsformen der Energie
.
m
= 1 k g /s ; p = 4 6 b a r
3
p = p
m
155
.
V = V
1
a
A
V
4
Fa = p
a
A
2
= 1 k g /s ; p = 1 b a r
1
Abb. B 4.2.1. Kolbenpumpe
WK,min = −
Z2
pdV −
1
Z3
pdV −
2
Z4
pdV .
3
Zur Auswertung nutzen wir, dass die Zustandsänderungen von 1 nach 2 und von 3
nach 4 isobar sind und erhalten


Z3
WK,min = − p1 (V2 − V1 ) + pdV + p3 (V4 − V3 ) .
2
Hier kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit das Totpunktvolumen V1 = 0
gesetzt werden. Es gilt im Übrigen V4 = V1 , sowie die Umformung
Z3
2
pdV =
Z3
2
d(pV ) −
Z3
V dp .
2
Es folgt also mit p1 = p2

WK,min = − p1 V2 + p3 V3 − p2 V2 −
Z3
2

V dp − p3 V3  =
Z3
V dp .
2
Für Wasser benutzen wir das Stoffmodell Ideale Flüssigkeit”, d.h. wir führen das
”
konstante spezifische Volumen υ if ein. Damit gilt
WK,min = mυ if(p3 − p2 ) .
Wasser bei 30◦ C hat nach der Wasserdampftafel ein spezifisches Volumen von
υ if ≈ 0,001 m3 /kg. Im stationären Fall finden wir schließlich für die mindestens
zuzuführende Pumpenleistung
PK,min = 1
m3
N
kg
· 0, 001
· 45 · 105 2 = 4, 5 kW .
s
kg
m
156
4 Die Energiebilanz
Die der Pumpe tatsächlich zuzuführende Arbeit ist auf Grund der Reibungseffekte
größer.
Da der Kolben einer Kolbenmaschine stets vom Umgebungsdruck beaufschlagt wird, ergibt sich der äußere Druck als Summe des Umgebungsdruckes
und des mit dem Nutzeffekt verbundenen Druckes pa,n . Wenn z.B. der Kolben eine Wassersäule der Dichte ρ und der Höhe h gegen die Wirkung der
Schwerkraft nach oben fördern soll, so beträgt bei Vernachlässigung der Kolbenmasse der äußere Druck pa = pu + ρgh = pu + pa,n . Man bezeichnet
als Kolben-Nutzarbeit die Kolbenarbeit, die für den eigentlichen technischen
Vorgang aufgewändet bzw. durch ihn geliefert wird, also
(W12 )nK
=−
Z2
pa,n dV =
1
Z2
(pa − pu )dV = −
1
Z2
pa dV + pu (V2 − V1 ) . (4.10)
1
Bei Expansion ist die gewonnene Kolben-Nutzarbeit, also die von der Kolbenstange auf ein anderes System übertragbare Arbeit, um die zur Verschiebung
der Umgebung aufzuwändende Arbeit kleiner als die tatsächlich übertragene
und nach (4.9) berechnete Kolbenarbeit. Analog ist bei der Kompression
die zuzuführende Kolben-Nutzarbeit um den durch den Umgebungsdruck
beigesteuerten Beitrag kleiner als die nach (4.9) berechnete und tatsächlich
übertragene Kolbenarbeit.
Neben der Kolbenarbeit begegnet uns in der Technik oft die Wellenarbeit,
z.B. an den sich drehenden Wellen von Strömungsmaschinen. Zur Reduktion
der Wellenarbeit auf die mechanische Arbeitsdefinition bilden wir aus den an
der Welle angreifenden Kräften das Moment Md = 2(F · d/2) und betrachten
die Verschiebung des Kraftangriffspunktes um den Winkel α, vgl. Abb. 4.4.
W e lle
T u r b in e
W
a
W
F
F
F
F
d
Abb. 4.4. Zur Wellenarbeit
Die Arbeit der drehenden Welle ist dann
d
(W )W = 2(F α) = Md α ,
2
und die Leistung wird
(4.11)
4.1 Die Erscheinungsformen der Energie
PW = Md α̇ = 2πnd Md ,
157
(4.12)
wobei nd = α̇/2π die Drehzahl mit α̇ als der Winkelgeschwindigkeit ist.
Kolbenarbeit und Wellenarbeit beziehen sich auf Systemgrenzen, die nicht
nur das Fluid, sondern auch die festen Berandungen, insbesondere den Kolben bzw. die Welle, umschließen. Die in thermodynamischen Rechnungen
betrachteten Systeme sind demgegenüber in der Regel Fluide, z.B. das Gas
im Zylinder eines Verbrennungsmotors bzw. der Dampf in einer Dampfturbine. Die der Kolbenarbeit entsprechende, über die Systemgrenze des
Fluids in einer Kolbenmaschine übertragene Arbeit bezeichnet man als Volumenänderungsarbeit WV . Sie unterscheidet sich im Allgemeinen von der
Kolbenarbeit durch Energieeffekte bei der Reibung zwischen Kolben und Zylinderwand. Die der Wellenarbeit entsprechende, über die Systemgrenze des
Fluids in einer Strömungsmaschine transferierte Arbeit bezeichnet man als
technische Arbeit Wt . Auch sie unterscheidet sich im Allgemeinen von der
Wellenarbeit auf Grund von Reibungseffekten zwischen den festen Bauteilen der Maschine. Während Kolbenarbeit und Wellenarbeit aus Kräften bzw.
Drücken berechnet werden, die nicht direkt auf das Fluid wirken, hängen
Volumenänderungsarbeit und technische Arbeit ausschließlich von der Zustandsänderung des Fluids ab. In der Volumenänderungsarbeit tritt daher
der Druck des Fluids auf, nicht der äußere Druck pa . Die technische Arbeit wird nicht durch das an der Welle angreifende Drehmoment Md , sondern durch Zustandsgrößen des Fluids bestimmt, die noch zu definieren sein
werden. Im Folgenden werden wir entsprechend der in der Thermodynamik
üblichen Systemdefinition in der Regel die Volumenänderungsarbeit und die
technische Arbeit benutzen.
4.1.2 Innere Energie und Enthalpie
Die Energiebilanz der mechanischen Energieformen ist im allgemeinen Fall
unvollständig. So wird z.B. ein im Schwerefeld der Erde herabfallender
Körper unter Einfluss der Luftreibung heiß. Man denke etwa an einen
Meteoriten, der aus dem All in die Erdatmosphäre eintritt und auf dem
Weg zur Erdoberfläche verglüht. Auch die Lagerreibung im Fahrrad führt
bekanntlich zur Erhitzung des Lagers, die Rollreibung entsprechend zur
Erhitzung der Räder. Die damit zusammenhängenden Energieumwandlungen lassen sich offenbar nicht allein mit den mechanischen Energieformen
beschreiben. Es treten zusätzliche Energieformen auf. Überhaupt spielen
die mechanischen Energieformen bei technischen Energieumwandlungen,
wie sie in der Thermodynamik betrachtet werden, in der Regel nur bei
der Energiezufuhr oder -abfuhr eine Rolle. Die bei diesen Prozessen interessierenden Systeme sind in der Regel fluide Phasen, vgl. Abschn. 1.2.
Sie nehmen Energie auf, z.B. das Wasser in einem Dampferzeuger, oder
geben Energie ab, z.B. der Wasserdampf bei der Entspannung in einer
Turbine. Die dabei in Erscheinung tretende Energieform speichert die
158
4 Die Energiebilanz
in einem Dampferzeuger an das Wasser übertragene Energie bzw. speist
die Arbeitsleistung eines Dampfes bei Entspannung in einer Turbine.
Sie wird als innere Energie bezeichnet. Die innere Energie ist auch die
Energieform, in der sich die Erwärmung des herabstürzenden Meteoriten
oder allgemein aller durch Reibung beanspruchter Maschinenteile zeigt.
Auch die in Brennstoffen enthaltende Energie ist eine Form von innerer
Energie. So kann bekanntlich die im Benzin bei Umgebungstemperatur
und Umgebungsdruck chemisch gespeicherte Energie in einem Motor in die
mechanische Arbeit einer drehenden Welle umgewandelt werden. Insgesamt
ist innere Energie der Energieinhalt einer Materiemenge, der über ihre
kinetische und potenzielle Energie hinausgeht. Sie ist eine an die Materie
eines Systems gebundene Eigenschaft und damit eine Zustandsgröße, ähnlich
wie die kinetische Energie und potenzielle Energie eines Massenpunktes,
und für jeden Zustand des Systems angebbar. Im Gegensatz zur kinetischen
Energie und potenziellen Energie ist die innere Energie aber nicht durch
äußere Koordinaten bestimmt, also solche wie die Geschwindigkeit und die
Lage, die durch Bezug auf ein Koordinatensystem in der Umgebung definiert
werden. Sie ergibt sich vielmehr ausschließlich aus inneren Eigenschaften des
Systems, ohne Bezug auf die Umgebung. Hieraus resultiert die Bezeichnung
innere Energie. Auf Grund ihres thermischen bzw. chemischen Ursprungs
gehört die innere Energie zu den thermochemischen Energieformen.
Die innere Energie ist wie alle typisch thermodynamischen Konzepte nur aus
der Betrachtung der molekularen Bestandteile einer Materiemenge zu verstehen.
Insbesondere für das atomistische Fluidmodell nach Kapitel 2, nach dem die Eigenschaften eines Fluids aus den Bewegungen kleiner Billardkugeln abgeleitet werden,
resultiert die innere Energie aus der chaotischen, also inkohärenten Bewegung der
Billardkugeln, vgl. Teil a) von Abb. 4.5. Die dieser Bewegung zugeordnete kinetische
Energie und damit innere Energie dieses Modellsystems ist
U=
1
N mhc2 i = N hEkin i ,
2
(4.13)
mit N als der Molekülzahl, m der Masse eines Moleküls und hc2 i als dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat, wobei c = {u, υ, w} der Geschwindigkeitsvektor eines Moleküls ist, vgl. Abschnitte 2.1.3 und 2.1.4. Diese inkohärenten Molekülbewegungen treten nicht als eine gerichtete, makroskopische Bewegung in Erscheinung. Das Fluid ruht, seine makroskopische kinetische Energie ist Null. Nach
(4.13) ist die innere Energie eine extensive Zustandsgröße, d.h. eine Zustandsgröße,
deren Wert der Materiemenge des Systems proportional ist. Dies folgt unmittelbar
aus ihrer Abhängigkeit von der Molekülzahl. Haben im Gegensatz zu Abb. 4.5 a)
alle Teilchen eine ausgerichtete, kohärente Geschwindigkeit, vgl. Abb. 4.5 b), so
handelt es sich um ein strömendes Fluid mit einer äußeren kinetischen Energie.
Die in Abb. 4.5 b) gezeigte Situation ist durch Abwesenheit einer chaotischen Molekülbewegung und damit durch die innere Energie Null gekennzeichnet. Nach der
atomistischen Temperaturinterpretation (2.18) hat dieses System die Temperatur
0 K. In realen strömenden Fluiden sind die äußere makroskopische Bewegung und
die chaotische Molekülbewegung einander überlagert. Mit Hilfe von (2.18) lässt sich
ableiten, dass für das einfache Molekülmodell nach (4.13) die molare innere Energie
mit NA = N durch
4.1 Die Erscheinungsformen der Energie
159
a ) R u h e n d e s F lu id
C h a o tis c h e , in k o h ä r e n te B e w e g u n g d e r B illa r d k u g e ln :
In n e r e E n e r g ie ( th e r m is c h e r A n te il)
b ) S tr ö m e n d e s F lu id
G e o r d n e te , k o h ä r e n te B e w e g u n g d e r B illa r d k u g e ln :
Ä u ß e r e E n e r g ie ( k in e tis c h e r A n te il)
Abb. 4.5. Innere und äußere Energie
u=
3
RT
2
(4.14)
gegeben ist. Dieser Zusammenhang gilt nicht allgemein, ist aber korrekt für Gase
aus einatomigen Molekülen. Er lässt sich auch schreiben als
u − u(T = 0K) =
3
R(T − 0)
2
oder allgemein
u − u0 = cB (T − T 0 )
mit cB = 3/2 R als so genannter isochorer Wärmekapazität des Modellgases.
Für Flüssigkeiten, z.B. Wasser, benutzt man für die Differenz der inneren Energie zwischen zwei Temperaturen t1 und t2 die formal analoge Beziehung
u2 − u1 = cw (t1 − t2 )
(4.15)
mit cw = 4,18 J/kg K als der so gennanten spezifischen Wärmekapazität von Wasser,
vgl. Abschn. 4.3, wo auch weitere Stoffmodelle für die innere Energie vorgestellt
werden.
Allgemein lässt sich die innere Energie einer Materiemenge in einen physikalischen und in einen chemischen Anteil aufspalten. In einem Fluid bezeichnet
man den physikalischen Anteil der inneren Energie auch als ihren thermischen
Anteil. Für das in Abb. 4.5 a) gezeigte einfache Molekülmodell ist der thermische
160
4 Die Energiebilanz
Anteil der inneren Energie identisch mit der kinetischen Energie der inkohärent
fliegenden Billardkugeln. In einem realen Fluid kommen gegenüber dem einfachen
Molekülmodell noch weitere Beiträge hinzu. Die realen Moleküle bestehen in
der Regel aus mehreren Atomen, sodass neben der kinetischen Energie des
Molekülfluges auch die kinetische Energie der Molekülrotation um Achsen durch
den Molekülschwerpunkt einen Beitrag zur thermischen inneren Energie des
Fluids leistet. Weiterhin tragen innere Bewegungen der Atome im Molekül, z.B.
Schwingungen, zum thermischen Anteil der inneren Energie bei. Schließlich üben in
Gasen bei hohen Drücken und Flüssigkeiten die Moleküle Wechselwirkungskräfte
aufeinander aus. Die Moleküle haben daher auch eine potenzielle Energie, die durch
ihre Lage in ihren wechselseitigen Kraftfeldern bestimmt ist. Insgesamt umfasst
somit der thermische Anteil der inneren Energie eines Fluids die Summe aus
den kinetischen und potenziellen Energien der inkohärenten Molekülbewegungen.
Änderungen im thermischen Anteil der inneren Energie werden makroskopisch
durch Änderungen der Temperatur und/oder Änderungen des Volumens, bei Gemischen auch durch Änderungen der Zusammensetzung ausgelöst. Dabei bewirkt
eine Temperaturänderung eine Änderung der inkohärenten kinetischen Energie des
Molekülfluges, vgl. Abschn. 2.1.4. Man spricht bei dem Anteil der inneren Energie,
der auf eine erhöhte Temperatur zurückgeführt werden kann, auch von fühlbarer
innerer Energie, weil man eine Temperatur fühlen kann. Eine Volumenänderung
bewirkt dagegen eine Änderung des mittleren Abstands der Moleküle und damit
eine Änderung ihrer potenziellen Energie. Große Volumenänderungen ohne
Temperaturänderung mit entsprechend großen Änderungen der inneren Energie
treten z.B. beim Verdampfen reiner Flüssigkeiten auf. Die auf diese Weise im
System gespeicherte Energie bezeichnet man auch als latente innere Energie.
Eine Änderung der Zusammensetzung ändert die Art der potenziellen Energie
zwischen den Molekülen und damit ebenfalls den thermischen Anteil der inneren
Energie. Der chemische Anteil der inneren Energie resultiert aus der potenziellen
Energie der Bindungskräfte, mit denen die Atome in den Molekülen zusammen
gehalten werden. Bei chemischen Reaktionen gruppieren sich Atome mit den
zugehörigen Elektronen zu neuen Molekülen. Dabei werden diese Bindungsenergien
umgewandelt, und es können große thermische Energien freigesetzt werden, wie
z.B. bei der Verbrennung. Bei einer Verbrennung hat die Abnahme der chemischen
inneren Energie des Brennstoff/Luft-Gemisches eine entsprechende Produktion
von thermischer innerer Energie eines heißen Rauchgases zur Folge.
Eng verwandt mit der inneren Energie einer Materiemenge ist ihre Enthalpie. Sie tritt an die Stelle der inneren Energie in Prozessen, in denen Stoffströme in Systeme ein- und/oder aus ihnen ausströmen. Man versteht unter
der Enthalpie die über die potenzielle und kinetische Energie hinausgehende Energie eines Stoffstromes, die er beim Überschreiten der Systemgrenzen
in ein System hinein- oder aus ihm hinaus transportiert. Wir betrachten als
System ein Kontrollvolumen V , das zum Zeitpunkt τ = τ0 von einem Gas
ausgefüllt wird. Beim Eindringen einer differenziell kleinen Masse ∆m des
betrachteten Gasstromes während der Zeit ∆τ wird das Gas im Kontrollvolumen komprimiert, vgl. Abb. 4.6. Wenn p der Druck des Gasstroms an der
Systemgrenze ist und das Gas durch das Einschieben der Masse ∆m um das
Volumen ∆V zusammengedrückt wird, so wird dem System zusätzlich zu der
inneren Energie der Masse ∆m noch die mechanische Arbei p∆V = ∆m(pυ)
zugeführt, mit υ als dem spezifischen Volumen des Gasstromes. Insgesamt
4.1 Die Erscheinungsformen der Energie
D m
.
t = t
D V
161
0
V
D m
.
t = t 0 + D t
V
Abb. 4.6. Zur Definition der Enthalpie
führt also die Masse ∆m dem System die Energie ∆m(u + pυ) zu. Entsprechende Überlegungen gelten beim Ausschieben einer Masse ∆m aus dem
System, wobei es dann zu einer Expansion des Gases kommt. Wiederum entsprechende Ergebnisse gelten für eine inkompressible Flüssigkeit, bei deren
Eindringen in das Kontrollvolumen die darin enthaltene Flüssigkeit unter
Aufwand einer Arbeit p∆V durch das Kontrollvolumen gedrückt und am
Austritt die Umgebung entsprechend verschoben wird. Es gilt somit als Definitionsgleichung der Enthalpie
H = U + pV ,
(4.16)
wobei der Term (pV ) bisweilen als Verschiebearbeit bezeichnet wird. Bei
Gasen kann dieser Anteil beträchtlich sein, bei Flüssigkeiten und festen Stoffen ist er hingegen in der Regel vernachlässigbar. Ein Stoffstrom mit dem
Massenstrom ṁ führt darüber hinaus noch eine kinetische Energie und eine
potenzielle Energie mit sich. Sein gesamter Energiestrom ist also
1
Ė = ṁ(h + c2 + gz) ,
2
(4.17)
mit h als der spezifischen Enthalpie, 1/2 c2 als der spezifischen kinetischen
Energie und gz als der spezifischen potenziellen Energie. Für einen Stoffmengenstrom ṅ treten an Stelle der spezifischen Größen die entsprechenden
molaren. Wie die innere Energie, so enthält auch die Enthalpie einen physikalischen und einen chemischen Anteil. Häufig spielen die äußeren Energien bei
162
4 Die Energiebilanz
den hier betrachteten Anwendungen keine Rolle. Als Beispiel zeigt Abb. 4.7
schematisch einen Vermischungsprozess, bei dem die Energiebilanz zu einer
Enthalpiebilanz wird.
m
m
.
1
,h
1
.
2
,h
2
m
.
3
,h
3
Abb. 4.7. Enthalpiebilanz bei der Vermischung von Stoffströmen
Für die innere Energie und die Enthalpie lassen sich, wie bei den äußeren
Energieformen kinetische Energie und potenzielle Energie, Zahlenwerte nur
unter Bezug auf einen frei wählbaren Nullpunkt angeben. Absolute Werte
von innerer Energie und Enthalpie haben keine Bedeutung. Dabei gibt es
für die innere Energie im Gegensatz zu den äußeren Energieformen keinen
naheliegenden, so zu sagen natürlichen Nullpunkt. Es werden daher in der
Praxis sehr unterschiedliche Bezugswerte benutzt. Dieser Sachverhalt ist für
das Zahlenergebnis einer Rechnung ohne Belang, da stets nur Energiedifferenzen eine Rolle spielen. Wenn die gewählten Energiebezugspunkte konsistent
sind, kürzen sie sich aus der Energiebilanz heraus.
4.1.3 Die Energieform Wärme
Ein Energietransfer in Form von Wärme kommt zustande, wenn das System eine andere Temperatur hat als seine Umgebung. Man spricht auch von
Wärmeübertragung. Wird keine Wärme übertragen, so handelt es sich um
einen adiabaten Prozess. Wärme ist somit die Energieform, die bei der Wechselwirkung eines Systems mit einem anderen auf Grund einer Temperaturdifferenz über die Systemgrenze fließt. Damit ist Wärme im Gegensatz zur
inneren Energie oder Enthalpie, aber in Übereinstimmung mit Arbeit, keine
Zustandsgröße sondern eine Prozessgröße. Insbesondere sind gängige Begriffe
der Wärmetechnik, wie Wärmeinhalt, fühlbare Wärme, latente Wärme oder
Speicherwärme wissenschaftlich falsch. Es handelt sich jeweils um Formen
der inneren Energie, vgl. Abschn. 4.1.2. Die allgemeine Beziehung zwischen
der transferierten Wärme, der treibenden Temperaturdifferenz ∆T und der
Kontaktfläche A lautet
Q̇ = kA∆T ,
(4.18)
mit k als einem Proportionalitätskoeffizienten. In dem theoretischen Grenzfall einer verschwindenden Temperaturdifferenz ist für einen endlichen
4.1 Die Erscheinungsformen der Energie
163
Wärmestrom eine unendlich große Fläche erforderlich.
Wärme kann durch unterschiedliche Mechanismen über eine Systemgrenze
transferiert werden. Der von einem System der Temperatur T durch eine ebene
Wand an die Umgebung der Temperatur Tu transportierte Wärmestrom ist dem
Temperaturgefälle zwischen beiden Seiten der Wand proportional. Nach dem Fourierschen Gesetz gilt, vgl. Abb. 4.8,
Q̇ = −λA
T − Tu
.
δ
Hier ist λ die Wärmeleitfähigkeit, A die Fläche und δ die Dicke der Wand. Das
T
W a n d
.
Q
d
T
U
Abb. 4.8. Zum Wärmestrom bei Wärmeleitung
negative Vorzeichen sorgt für die Einhaltung der Vorzeichenvereinbarung. Wenn
z.B. die Temperatur des Systems höher als die der Umgebung ist, so ergibt sich der
Wärmestrom negativ in Übereinstimmung mit der Vorzeichenvereinbarung, dass
abgegebene Energieströme negativ gezählt werden. Den Transport von Wärme
durch Wände und ruhende Gas- oder Flüssigkeitsschichten bezeichnet man als
Wärmeleitung. Ein durch einen Kanal, z.B. ein Rohr, oder an einer Wand entlang
strömendes Fluid transportiert bei einem Temperaturunterschied zwischen Fluid
und Wand Wärme durch den Mechanismus der konvektiven Wärmeübertragung,
vgl. Abb. 4.9. Für den Wärmestrom Q̇ bei konvektiver Wärmeübertragung macht
man nach Newton den Ansatz
Q̇ = αA(Tw − Tf ) .
Hier sind Tf die in Abb. 4.9 punktiert eingetragene mittlere Phasentemperatur
des Fluids, vgl. Abschn. 1.2.2, Tw die Wandtemperatur und α der so genannte
Wärmeübergangskoeffizient. Sein Zahlenwert hängt in komplizierter Weise von den
Strömungsbedingungen ab, die durch das Geschwindigkeitsprofil bzw. durch die
mittlere Phasengeschwindigkeit cf definiert sind. Bei der Überströmung eines heißen Körpers ist Tf durch die Umgebungstemperatur Tu zu ersetzen und cf durch
die Geschwindigkeit in großer Entfernung von ihm. Wenn schließlich, wie bei der
technischen Wärmeübertragung die Regel, der Wärmestrom von einem strömenden
Fluid (dem System A) auf eine Wand, dann durch diese Wand, und schließlich
164
4 Die Energiebilanz
c
r
c ,T
c
T
f
T
.
f
Q
r
Q
c
w
= 0
T
.
w
Abb. 4.9. Konvektiver Wärmeübergang bei der Rohrströmung
von der Wand an ein anderes strömendes Fluid (das System B) übertragen wird,
dann spricht man vom Wärmedurchgang, vgl. Abb. 4.10. Beim Wärmedurchgang
T
T
B
T
A
Q
w ,A
T
T
f,A
T
.
w ,B
f,B
Abb. 4.10. Wärmedurchgang
treten die beiden besprochenen Mechanismen des Wärmetransports, also die
Wärmeleitung und der konvektive Wärmeübergang, gleichzeitig auf. Die Beziehung
des Wärmestromes Q̇ zur Differenz der Phasentemperaturen in beiden Fluidströmen
lautet dann
Q̇ = kA(Tf,A − Tf,B ) ,
mit Tf,A , Tf,B als den Phasentemperaturen der Fluide, k als dem
Wärmedurchgangskoeffizienten und A als der Fläche, auf die sich der
Wärmedurchgangskoeffizient bezieht. Die beiden konvektiven Wärmewiderstände
1/αA , 1/αB und der Wärmeleitwiderstand der Wand δ/λ addieren sich. Insbesondere gilt daher für den Wärmedurchgangskoeffizienten bei einer ebenen
Wand
1
δ
1
1
=
+ +
.
k
αA
λ
αB
Die Koeffizienten λ, α und k werden zusammenfassend als Transferkoeffizienten
bezeichnet.
http://www.springer.com/978-3-540-26265-7