Vorbereitung auf die Klausur

ÜBUNGSSERIE
Vorbereitung auf die Klausur
1. Betrachtet werden zwei Matrizen
( )
(
)
2 sowie ⃗a = −1 .
A= 5 2 und B= −1
3 1
3 −5
3
a) Bestimmen Sie:
1
A , 5 B und −A
2
b) Bestimmen Sie:
A + B , B−A
c) Bestimmen Sie:
A⋅⃗a und B⋅⃗
a
und
( )
1
A +5 B
2
2. Bestimmen Sie die Koordinatengleichung bzw. eine Parametergleichung der Ebenen.
−2
−4
−2
a) E: ⃗x = 3 + s 3 +t 0
4
4
4
( )( )( )
3. Die Punkte
b) E: 2 x +5 y−z =6
c) E: 2 x + z=1
A (2|0|0) , B(2|2|0), C(−2|2|0), F (2|2|3) und G (−2|2|3) seien Eckpunkte
eines Quaders ABCDEFGH, die Punkte M und N Mittelpunkte der Kanten BC bzw. EH .
a) Zeichnen Sie den Quader in ein räumliches Koordinatensystem.
b) Die Raumdiagonalen des Quaders liegen auf vier verschiedenen Geraden. Ermitteln Sie zwei
Gleichungen dieser Geraden und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunktes dieser Geraden an.
c) Geben Sie die Gleichungen von drei Geraden an, die zur Geraden durch die Punkte A und B
windschief verlaufen.
d) Ermitteln Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte M und N.
e) Ermitteln Sie die Ebenengleichungen der vier Mantelflächen.
f) Geben Sie die Koordinatengleichung der Ebene an, in der die Grundfläche des Quaders liegt.
g) Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Dreiecks OMN.
x3
S
4. In einem Würfel mit den Eckpunkten O(0|0|0),
P(10|10|0) und S(0|0|10) befindet sich eine
Pyramide mit einem Dreieck als Grundfläche und
der Spitze S (vgl. Skizze).
Die Eckpunkte der Pyramidengrundfläche sind
C
Q
A(10|6|0), B(6|10|0) und C(10|10|5).
x2
a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung
B
der Ebene E, in der die Grundfläche der
Pyramide liegt.
x1
A
P
5
b) Ein Richtungsvektor der Geraden, auf der die Höhe der Pyramide liegt, ist ⃗
h= 5 .
−4
( )
Untersuchen Sie, ob die Höhe der Pyramide auf der Diagonalen PS des Würfels liegt.
c) Zusätzlich zur Pyramide soll nun noch ein Quader in den Würfel gelegt werden. Die
Abmessungen des Quaders werden so gewählt, dass er die Pyramide nur in einem Punkt
Q(
20 10
|4| ) der Pyramidenkante AS berührt (vgl. Skizze). Geben Sie das Volumen des
3
3
Quaders an.