1. Leseprobe - STARK Verlag

Au f g a b e n p o o l 1 – An a l y t . G e o m e t r i e – Ü b u n g s a u f g a b e n
I
Aufgabe 1
r 21
Analytische Geometrie
Gegeben sind die Punkte A(−1 | 3 | −2), B(2 | 3 | 1), C(3 | −1 | 0) und D(0 | −1 | −3).
a) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M des Quadrats ABCD.
Aufgabe 2
Gegeben sind die beiden zueinander parallelen Ebenen E1: 2x1 – 2x2 + x3 = 6 und
E2: 2x1 – 2x2 + x3 = – 6 sowie die zur Ebene E1 parallele Gerade g mit folgender
Gleichung:
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
g: x = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ + r ⋅ ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ; r ∈0
⎝ −2 ⎠
⎝ −2 ⎠
a) Begründen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E2 liegt.
b) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g von der Ebene E1.
Aufgabe 3
Eine Pyramide hat die Grundfläche ABCD mit den Eckpunkten A(0 | 0 | 0),
B(4 | 0 | 0), C(4 | 4 | 0) und D(0 | 4 | 0) sowie die Spitze S(2 | 2 | 6).
Die Ebene E geht durch die Punkte C und D sowie durch den Mittelpunkt M der
Kante [BS].
a) Ein Normalenvektor n der Ebene E ist gegeben durch:
⎛0⎞
n = ⎜⎜ 1⎟⎟
⎝ 1⎠
Die Ebene E schneidet die Kante [AS] im Punkt P. Bestimmen Sie die Koordinaten von P.
b) Zeigen Sie, dass die Strecken [CD] und [MP] parallel zueinander sind.
Aufgabe 4
Gegeben sind die Punkte A(3 | − 8 | 1), B(4 | −2 | 3) und D(2 | − 6 | 7).
a) Zeigen Sie: Das Dreieck ABD ist gleichschenklig, aber nicht gleichseitig und
nicht rechtwinklig.
b) Die Eckpunkte des Dreiecks ABD bilden zusammen mit dem Punkt C(3 | 0 | 9)
die Raute ABCD.
Berechnen Sie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes M dieser
Raute.
22 r
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Aufgabe 5
a) Der Punkt A'(−3 | − 4 | 5) ist der Spiegelpunkt des Punktes A(5 | 0 | 1) bezüglich
der Ebene E.
Leiten Sie eine Gleichung der Ebene E in Koordinatenform her.
b) Ermitteln Sie den Abstand der beiden Punkte A und A' von der Ebene E.
Aufgabe 6
Gegeben sind die beiden Geraden g und h mit den folgenden Gleichungen:
⎛1⎞
⎛ −2 ⎞
⎛ 1⎞
⎛3⎞
g: x = ⎜⎜ −2 ⎟⎟ + r ⋅ ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ; r ∈ 0
h: x = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ + s ⋅ ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ ; s ∈ 0
⎝ 0⎠
⎝ 2⎠
⎝3⎠
⎝ −4⎠
a) Weisen Sie nach, dass die beiden Geraden g und h parallel zueinander sind.
b) Die beiden Geraden legen eine Ebene E fest. Bestimmen Sie eine Gleichung
dieser Ebene in Koordinatenform.
Aufgabe 7
Gegeben ist die Pyramide ABCDS mit den Eckpunkten A(1 | 5 | 0), B(4 | 5 | 3),
C(5 | 1 | 2) und D(2 | 1 | –1) sowie der Spitze S(1 | 2 | 3). Die Grundfläche der
Pyramide ABCDS ist ein Quadrat.
a) Zeigen Sie, dass die Pyramide ABCDS eine gerade Pyramide ist.
b) Geben Sie die Gleichung einer Geraden g an, die parallel zur Grundfläche
und durch die Spitze der Pyramide ABCDS verläuft.
Aufgabe 8
a) Die drei Punkte A, B und
C (siehe Skizze) legen die
Ebene E fest.
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E.
b) Bestimmen Sie eine Gleichung einer Ebene E*, die
echt parallel zu E ist.
c) Ermitteln Sie eine Gleichung einer Geraden g, die
durch den Punkt A verläuft
und senkrecht zur Strecke
[AB] steht.
d) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes P,
der im Inneren des Dreiecks ABC liegt.