Aufgaben

Aufgaben
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1. Gegeben sind die Punkte A1 | 2 | 3, B5 | 0 | − 1 und D − 1 | 6 | − 1

 



a) Zeigen Sie, dass es einen Punkt C gibt, so dass das Viereck ABCD ein Quadrat ist!
Ermitteln Sie die Koordinaten von C!
b) Das Quadrat ABCD sei die Grundfläche einer geraden Pyramide mit der Höhe h = 6
Geben Sie die Koordinaten der beiden möglichen Spitzen S1 und S2 einer solchen Pyramide an.
c) Berechnen Sie das Volumen und die Oberfläche der Pyramiden!
d) Zeichnen Sie die beiden Pyramiden in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 4 
1. a) AB = B − A =  − 2 ⇒ AB = AB = 42 + ( − 2)2 + ( − 4)2 = 6
 − 4
 
 
 − 2
AD = D − A =  4 
 − 4
 
⇒
AD = AD =
( − 2)2 + 42 + ( − 4)2 = 6
   
 4   − 2
AB ⋅ AD =  − 2 ⋅  4  = − 8 − 8 + 16 = 0
 − 4  − 4
   
Also gibt es einen Punkt C so, dass ABCD ein Quadrat ist.
     
 − 1  4   3 
C = D + AB =  6  +  − 2 =  4 
 − 1  − 4  − 5
     
b) Der Höhenfußpunkt H muss der Mittelpunkt der Diagonal [BD] ein.
     
 5
2
−1 

1 
1      
H = ⋅B + D = ⋅  0  +  6  =  3 
2 
2      

 − 1  − 1  − 1


Vektor, der auf ABCD senkrecht steht:
     
 
 4   − 2 24
2
AB × AD =  − 2 ×  4  = 24 = 12⋅2
 − 4  − 4 12
1
     
 
 
2
Da der Vektor 2 die Länge 3 hat, gilt
1
 
S1
V =
 
   
 
   
 2 
2 6
 2 
2  − 2
=  3  + 2⋅2 = 7 bzw. S2 =  3  − 2⋅2 =  − 1
 − 1
1 1
 − 1
1  − 3
 
   
 
   
1
1
G⋅h = ⋅36⋅6 = 72
3
3
Höhe eines Seitenflächendreiecks: h12 = 32 + 62
⇒
h1 = 3 5
1
O = 62 + 4⋅ ⋅6⋅3 5 = 36 + 36 5
2
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2. Die Punkte A − 3 | 5 | 6, B2 | − 1 | 0 und D − 5 | − 6 | − 2 sind die Ecken eines Paralle
 



logramms.
Bestimmen Sie den spitzen Winkel, den die Diagonalen des Parallelogramms miteinander
einschließen sowie einen Flächeninhalt.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Gegeben ist das Dreieck ABC mit A1 | 0 | 1, B2 | 0 | 1 und C4 | − 1 | 3.

 



a) Berechnen Sie die Länge der Seite a = BC, die Größe des Winkels α = kBAC und den
Flächeninhalt des Dreiecks?
b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Höhenfusspunkts der Höhe hc.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 2 
3. a) BC = C − B =  − 1 ⇒ a = 22 + ( − 1)2 + 22 = 3
 2 
 
 
1
AB = B − A = 0
0
 
und
⇒
AB = 1
 
 3 
AC = C − A =  − 1
 2 
 
⇒
AC =
     
1  3   0 
AB × AC = 0 ×  − 1 =  − 2
0  2   − 1
     
cosα =
AB ⋅ AC
AB ⋅ AC
=
3
1 ⋅ 14
⇒
⇒
14
AABC =
1
5
2
α ≈ 36,7°
Höhenfußpunkt:
 
   
1
1 4


H = A + AC ⋅ AB ⋅ AB = 0 + 3⋅0 = 0
1
0 1


 
   
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4. Die Punkte A1 | 1 | 1, B5 | 5 | 3 und D − 1 | d | e sind Eckpunkte eines Quadrats.

 



a) Bestimmen Sie die restlichen Koordinaten des Punktes D, wenn diese darüberhinaus
ganzzahlig sind.
b) Bestimmen Sie die Koordinaten von C.
c) Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer geraden, quadratischen Pyramide mit dem
Volumen 72.
Wie lauten die Koordinaten der Spitze S dieser Pyramide?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
4
4. a) AB = B − A = 4 ⇒ AB = 6
2
 
Bedingungen:
2
(1) AD = ( − 2)2 + (d − 1)2 + (e − 1)2 = 36
(2)
AB ⋅ AD = − 8 + 4⋅(d − 1) + 2⋅(e − 1) = 0
⇔
Eingesetzt:
4 + (d − 1)2 + (6 − 2d)2 = 36
⇔
5d2 − 26d + 5 = 0
Ganzahlige Lösung ist d = 5 und damit ist e = − 3.
e = 7 − 2d
     
 − 1 4  3 
b) C = D + AB =  5  + 4 =  9 
 − 3 2  − 1
     
c) Mittelpunkt der Diagonale [BD] ist M2 | 5 | − 2


Höhe der Pyramide: h =
3⋅72
3V
=
= 6
36
G
    

   
4  − 2  − 24
 − 2  − 2
Wegen AB × AD = 4 ×  4  =  12  = 12⋅ 1  ist  1  Vektor, der auf auf dem
2  − 4  24 
 2   − 2
    

   
Quadrat ABCD senkrecht steht.
Da er die Länge 3 hat gilt
 
   
 
   
 − 2  − 2
 − 2 6
2
2
S = 5 + 2⋅ 1  =  7  oder S = 5 − 2⋅ 1  = 3
2
 − 2  − 2
2
 − 2 6
   
   
 
 
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5. Gegeben sind die Punkte P0 | 0 | 0, Q0 | 1 | − 1 und R − 2| 1 | − 2.

 



Das Dreieck PQR ist Grundfläche einer Pyramide mit der Spitze S.
Die Strecke [PS] hat die Länge 6 und ist die zur Grundfläche PQR gehörende Höhe der
Pyramide.
Die Abbildung zeigt eine mögliche Lage der Spitze S.
 
 − 1
a) Weisen Sie nach, dass der Vektor v =  2  auf den Vektoren PQ und PR senkrecht
 2 
 
steht.
b) Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte, die für die Spitze S infrage kommen
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 0 
5. a) PQ =  1  ⇒ PQ ⋅ v = 0 + 2 − 2 = 0
 − 1
 
und
 
 − 2
PR =  1 
 − 2
 
⇒
PR ⋅ v = 2 + 2 − 4 = 0
b) Da v die Länge 3 hat gilt
 


 − 2
 2 
S = P + 2⋅ v =  4  oder S = P − 2⋅ v =  − 4 
 4 
 − 44
 


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6. Gegeben sind die Punkte A − 1 | 1 | 4, B − 3 | 5 | 6 und Ct − 2 + t | 3 | 5 + t.

 



a) Zeigen Sie, dass jedes der Dreiecke ABCt gleichschenklig ist.
b) Bestimmen Sie diejenigen Werte von t, für die das jeweils zugehörige Dreieck ABCt
gleichseitig ist.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. Gegeben sind die Punkte A − 2 | 5 | − 4, B2 | 8 | − 4 und C − 5 | 9 | − 4.

 



a) Zeigen Sie, dass die Innenwinkel des Dreiecks 90° und 45° groß sind.
b) Das Dreieck ABC ist die Grundfläche eines geraden Prismas ABCDEF mit dem
Volumen 125 VE Volumeneinheiten).
Ermitteln Sie die Koordinaten eines der Punkte D, E oder F.
c) Das Dreieck ABC wird durch einen Punkt P zu einem Quadrat ergänzt.
Dieses Quadrat ist die Grundfläche eines Quaders, der dieselbe Höhe wie das Prisma
aus Aufgabe c) hat.
Beschreiben Sie einen Weg, wie die Gleichung einer Kugel ermittelt werden kann, die
alle vier Seitenflächen des Quaders berührt.
Ist diese Kugel eindeutig bestimmt? Begründen Sie ihre Antwort!
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Gegeben sind die beiden Kugeln
K1 : x12 + x22 + x32 + 10x1 − 20x2 − 20x3 + 81 = 0
und
K2 : x12 + x22 + x32 − 14x1 − 20x2 − 16x3 + 132 = 0
Bestimmen Sie die Mittelpunkte und Radien der Kugeln.
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Gegeben sind die beiden Punkte A1 | 3 | 2 und B7 | 1 | 7.




Bestimmen Sie den Punkt auf der x3-Achse, der Mittelpunkt einer Kugel durch A und B ist.
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