Aufgabe 1 Aufgabe 2

Ma OS
Analytische Geometrie – Abituraufgaben - Beispiele
(CON, 2016)
Aufgabe 1
Gegeben sind die 4 Punkte A(020), B(040), C(422) und S(024) einer dreiseitigen Pyramide mit dem
Dreieck ABC als Grundfläche und dem Punkt S als Spitze.
a)
Bestätigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist, und bestimmen Sie die Größen der weiteren 2
Innenwinkel des Dreiecks (Berechnung der Winkelmaße auf zwei Nachkommastellen).
b)
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
c)
Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene eABC in Normalenform. Wie groß ist der Abstand dieser Ebene
zum Ursprung?
d)
Berechnen Sie die Höhe der Pyramide und bestimmen Sie eine Maßzahl für das Volumen der Pyramide.
e)
Die Gerade g(A,S) durch die Punkte A und S werde senkrecht auf die Ebene eABC projiziert, die Projektion heiße g*. Bestimmen Sie eine vektorielle Gleichung für g*.
f)
Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius des Kreises k, der in der Ebene eABC
liegt und durch die 3 Punkte A, B und C verläuft (Aufgabenteil a) beachten).
Aufgabe 2
Gegeben sind die Ebene e und die Gerade g durch die Gleichungen:
e:
2
−2 ∙
1
⃗ + 15 = 0
und
g:
−1
1
⃗ = −2 + ∙ −6
1
4
, rR
a)
Berechnen Sie die Koordinaten des Durchstoßpunktes (Schnittpunktes) der Lotgeraden durch
A(121) auf die Ebene e.
b)
Geben Sie eine Gleichung derjenigen Ebene e' in Punktrichtungsform an, die g enthält und auf e senkrecht steht.
Geben Sie eine Gleichung für e' in Koordinatenform an.
(Eine mögliche Lösung ist: e' : 2  x + 7  y + 10  z + 6 = 0 )
c)
Bestimmen Sie eine Gleichung für die Schnittgerade dieser beiden Ebenen.
d)
Wie lautet eine Gleichung der Spiegelgeraden g* von g an e?
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Ma OS
Analytische Geometrie – Abituraufgaben - Beispiele
(CON, 2016)
Aufgabe 3
Gegeben sind eine Kugel k, eine Gerade g und eine Ebene e durch die Gleichungen
−2
0
1
k : x² + y² + z² = 49 ;
g: ⃗= 0 + ∙ 1
;
e: −2 ∙ ⃗ = 9
0
2
2
a) Die Gerade g ist Sekante der Kugel k. - Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Durchstoßpunkte S1
und S2 und berechnen Sie die Länge der Strecke S1S2.
b)
Bestimmen Sie Gleichungen der Tangentialebenen eT1 und eT2 an die Kugel k in den Punkten S1 und
S2 in Normalenform.
c)
Bestimmen Sie eine vektorielle Gleichung für die Schnittgerade gs der beiden (nichtparallelen) Tangentialebenen eT1 und eT2 sowie die Größe des Schnittwinkels α, unter dem sich die Ebenen schneiden.
d)
Äußern Sie sich zur besonderen Lage der Geraden g und gs im affinen Raum (R³) und relativ zueinander. Begründen Sie, dass durch die Beziehung:
1
∙
∶= 2
2
der Abstand der Geraden g und gs bestimmt werden kann und geben Sie die Größe von d an.
e)
Überprüfen Sie Ihr Ergebnis von Teil d) über eine vektorielle Methode zur Bestimmung des Abstandes
zweier windschiefer Geraden.
f)
Begründen Sie, dass die Ebene e und die Kugel k einen Schnittkreis gemeinsam haben. Geben Sie Mittelpunkt und Radius dieses Schnittkreises an.
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