Übungsbeispiele Analytische Geometrie

Übungsbeispiele Analytische Geometrie
2
1
 
 
1. Gegeben sind die Ebene ε1: 5x + 4y + 3z = -20 und die Gerade g: X =  2  + λ . 6  . Die Ebene ε2
 − 1
 2
 
 
enthält die Punkte A(3/8/1), B(3/5/5) und D(8/4/-2).
a) Untersuche, ob der Punkt A auf der Geraden g liegt.
b) Bestimme den Schnittpunkt S von g und ε1.
c) Unter welchem Winkel schneidet g die Ebene ε1?
d) Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen ε1 und ε2!
e) Bestimme den Punkt C so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist und berechne den
Flächeninhalt!
f) Die Ebene ε1 schneidet die y-Achse im Punkt T. Wie lauten die Koordinaten?
g) Wandle die Gleichung der Ebene ε1 in die Parameterform um!
(Lös: a) A liegt auf g; b)S(1/-4/-3); c) 50,63°; d) parallel; e) C(8/1/2); f) T(0/-5/0); g) X=(-4/0/0) + t.(4/5/0) + s.(-3/0/5) )
2. Die Spitze S(7/-6/zS)sowie die Höhe einer geraden Pyramide liegen auf der Geraden g:
 1   3 
   
X =  − 2  + t. − 2  . Die Grundfläche ist ein Parallelogramm mit den Eckpunkten A(4/-13/-1) und
 2   − 6
   
B(6/yB/-3). Berechne die fehlenden Koordinaten von S und B sowie die übrigen Eckpunkte der Pyramide
und bestimme ihr Volumen.
(Lös: S(7/-6/-10), B(6/-4/-3), C(4/5/-7), D(2/-4/-5), V=98)
3. Die Geraden g und h schneiden einander im Punkt S. S sei die Spitze eines Tetraeders, dessen
Grundfläche durch das Dreieck ABC[A(-4/-9/1), B(3/3/-1), C(6/-1/-3)] bestimmt ist. Berechne das
Volumen des Tetraeders, den Neigungswinkel ϕ der Kante AS gegen die Grundfläche ABC, die
Koordinaten des Punktes S’, den man durch die Spiegelung des Punktes S an der Ebene ABC erhält.
 − 2
 2
 
 
g: X =  4  + λ . 1  ;
 2 
 4
 
 
 5 
 − 1
 
 
h: X =  − 3  + µ . 3 
 4 
2
 
 
(Lös: V=108; ϕ = 29,12°; S'(-6/8/-6)
4. Die Punkte A(5/-3/zA), B(6/yB/3), C, D(xD/-2/4) sind die Eckpunkte eines Parallelogramms, das in der
Ebene ε: x – y + z = 10 liegt.
Berechne die fehlenden Koordinaten der Punkte A, B, D sowie die Koordinaten des Punktes C. Zeige,
dass das Parallelogramm eine Raute mit α = 60° ist. Errichte über der Raute als Grundfläche eine gerade
Pyramide von der Höhe h = 4.√3 (1 Lösung). Berechne die Koordinaten der Spitze S und das Volumen.
Welchen Winkel schließen die Dreiecke ADS und BCS ein?
(Lös: A(5/-3/2), B(6/-1/3), C(5/0/5), D(4/-2/4), S(9 / -11/2 / 15/2) oder (S’(1/ 5/2 / ½), V = 12; ϕ = 17,4°)
5. Von einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche kennt man die Eckpunkte A (7/2/13) und B
(-5/-1/10) und den Schnittpunkt F(3/-2/6) der Diagonalen. Die Höhe beträgt 9. Berechne Volumen,
Oberfläche und Winkel zwischen AS und Basis.
(Lös: V = 486, O = 442,59; 45°)