Vektorrechnung (1.SA)

Übungsbeispiele Vektorrechnung im R3
1) geg.: Dreieck ABC: A(5/6/6), B(2/4/5), C(7/3/6)
ges.: Überprüfe, ob das Dreieck rechtwinkelig/gleichseitig/gleichschenkelig ist
2) Liegen die Punkte P(1/1/-12) und Q(-5/1/5) auf der Geraden g [A(2/1/-5), B(3/1/2)] ?
3) Berechne den Umfang des in einer Ebene liegenden Fünfecks ABCDE: A(2/-3/zA),
B(3/-2/8), C(6/5/-2), D(0/3/3) und E(xE/0/8).
4) Berechne jene Punkte der Geraden g: X = (3/2/7) + t(1/-2/4), die vom auf der Geraden g
liegenden Punkt P(xp/0/zP) den Abstand 2 ⋅ 21 haben.
5) geg.: Raute: Mittelpunkt M(5/-2/3), Eckpunkte A(12/-1/1), B(7/yB/9)
ges.: Koordinaten von B,C,D, Flächeninhalt der Raute
Hinweis:
ARaute = e⋅2f
6) geg.: Quader ABCDEFGH: A(6/1/8), B(4/5/3), C(xC/3/3), E(xE/yE>0/zE), Volumen V = 270
ges.: C,D,E,F,G,H
Anleitung:
AB ⊥ BC Gleichung für xC ; V = AB ⋅ AD ⋅ AE =270 Höhe h =
V
G
7) Bestimme einen Einheitsvektor, der auf die Vektoren a =(-2/1/-2) und b =(3/3/1) normalsteht!
8) Überprüfe, dass die beiden Geraden g [A(2/0/-3), P(0/2/-9)] und h [B(1/6/4), Q(3/2/6)]
einen Schnittpunkt S haben. Dieser ist dann der Schwerpunkt eines Dreiecks ABC.
Berechne C!
Anleitung: S =
1
3
(A+B+C) umformen: 3S = A+B+C C = …
9) Untersuche die Lage der Geraden! Legen g und h eine Ebene fest?
Wenn ja, gib ihre Gleichung an, wenn nicht, ändere die y-Koordinate von Q so ab, dass sie
doch eine Ebene festlegen!
a) g [A(-3/5/-2), B(7/1/0)] , h [ P(-4/5/9), Q(-7/6/14)]
b) g [A(2/3/-1), B(3/1/2)] , h [ P(3/7/4), Q(0/13/-5)]
c) g [A(1/-1/3), B(6/1/7)] , h [ P(3/2/5), Q(11/6/9)]
d) g [A(2/5/-3), B(3/3/0)] , h [ P(0/-1/6), Q(7/-5/12)]
10) Der Punkt P(xp/-5/-1) liegt in der durch die Punkte A(3/-3/0), B(-2/2/5) und C(-4/0/4)
festgelegten Ebene. Berechne xp!
11) Der Punkt P(-4/0/zp) liegt in der durch die Geraden g: X = (3/-1/2) + t(2/1/3) und
h: X = (4/1/1) + u(4/2/6) festgelegten Ebene. Berechne zp!
12) geg.: rechteckige Pyramide ABCDS:
Grundfläche: A(1/5/-2) , B(7/8/7), D(21/1/ zD )
Spitze S( xS / yS >0 / zS ) , Höhe h = 8 ⋅ 10
ges.: Koordinaten der Punkte C, D, S, Volumen V sowie Länge der Kante AS