Blatt 1 - FA - Bergische Universität Wuppertal

Prof. Dr. Bálint Farkas
Dr. Felix Schwenninger
Bergische Universität Wuppertal
WS 2015/2016
Analysis I: Übungsblatt 1
Aufgabe 1. Betrachten Sie folgendes Resultat von Terence Tao.
Jede ungerade Zahl größer als 1 ist die Summe von höchstens 5 Primzahlen.
Dies ist also eine wahre mathematische Aussage. Mit Hilfe dieser Kenntnis, geben Sie
an, ob folgende Aussagen wahr oder falsch sind.
(Hinweis: Es ist möglich, dass obiges Resultat keine Schlussfolgerung über die Wahrheit
einer Aussage erlaubt.)
(a) 2015 lässt sich als Summe von höchstens 5 Primzahlen schreiben.
(b) Jede gerade Zahl lässt sich als Summe von höchstens 5 Primzahlen schreiben.
(c) Jede Zahl, die Summe von höchstens 5 Primzahlen ist, ist ungerade.
(d) Jede Zahl, die nicht Summe von höchstens 5 Primzahlen ist, ist gerade oder 1.
(e) Eine ungerade Zahl größer als 1, die nicht Summe von höchstens 5 Primzahlen
ist, ist durch 10 teilbar.
(f ) Für jede ungerade Zahl größer als 1 gilt: Sie ist die Summe von höchstens 5
Primzahlen oder gerade.
(g) 2016 lässt sich als Summe von 5 Primzahlen schreiben.
(h) Jede gerade Zahl lässt sich als Summe von höchstens 6 Primzahlen schreiben.
Begründen Sie Ihre Antworten.
Aufgabe 2. Es seien A, B und C Aussagen. Beweisen Sie die Wahrheit folgender
Aussagen:
(a) ¬(A ∧ B) ⇔ (¬A ∨ ¬B)
(De Morgan’sche Regel)
(b) (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A)
(Implikation ⇐⇒ Kontraposition)
Aufgabe 3. 1
(a) Formulieren Sie in Worten:
(1) ∀ x, y (x ∈ R, y ∈ R ∧ x 6= y) ⇒ ∃ z (z ∈ R) ∧ (x < z) ∧ (z < y .
(2) ∃ x (x ∈ R) ∧ (x2 = 2) ∧ ¬ ∃ x (x ∈ Q) ∧ (x2 = 2) .
(b) Formulieren Sie in logischen Zeichen:
Für jede reelle Zahl ε > 0 gibt es eine natürliche Zahl k derart, dass
für alle natürlichen Zahlen n größer als k gilt, dass nε > 1.
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Hinweis: Wir verwenden die Symbole R, Q und N für die Mengen der reellen, der rationalen und der
natürlichen Zahlen, sowie P für die Menge der Primzahlen.
1
(c) Formulieren Sie den folgenden Satz von Green und Tao in logischen Zeichen.
Es gibt arithmetische Primzahl-Progressionen beliebiger Länge.
Verwenden Sie die Symbole P, N.
Erklärung: Eine arithmetische Primzahl-Progession der Länge k ist eine Folge von
k Primzahlen, sodass die Differenz aufeinanderfolgender Folgenglieder konstant
ist.
Zum Beispiel ist 3, 5, 7 eine arithmetische Primzahl-Progression der Länge 3, sowie
41, 47, 53, 59 eine arithmetische Primzahl-Progression der Länge 4.
Die folgenden Aufgaben sind schriftlich abzugeben (Details siehe unten).
Aufgabe 4. (10 Punkte) Betrachten Sie folgende Aussage.
Falls heute Dienstag oder Donnerstag ist,
dann gibt es in der Mensa Kaiserschmarrn.
(1)
Welche der folgenden Aussagen lassen sich daraus schließen?2
(a) Wenn es heute Kaiserschmarrn in der Mensa gibt, dann ist heute Dienstag oder
Donnerstag.
(b) Ist heute Donnerstag, dann gibt es Kaiserschmarrn in der Mensa.
(c) Falls es keinen Kaiserschmarrn in der Mensa gibt, dann ist heute weder Donnerstag noch Dienstag.
(d) Wenn heute Donnerstag ist, dann gibt es kein Fleisch.
Geben Sie außerdem die Umkehrung, die Negation und die Kontraposition 3 der Aussagen (a)–(c) an (mit Hilfe der Bezeichnungen A, B, C, siehe Fußnote 2.).
Aufgabe 5. (10 Punkte) Seien M, N Teilmengen von einer Menge X.
(a) Zeigen Sie, dass M ⊆ N ⇐⇒ M ∩ N = M .
(b) Angenommen, es gilt M \ N = M ∪ N . Was können Sie daraus über die Menge
N schließen? Begründen Sie Ihre Antwort.
Wichtige Hinweise:
• Abgabe dieses Blattes bis zum 09.11.2015, 12:00 Uhr in den Briefkasten der
Analysis I (Etage 13). Die Nummer des Briefkastens wird auf der Website der
Vorlesung bekanntgegeben.
• Notieren Sie auf der ersten Seite Ihrer Abgabe Ihren Namen, ihre Matrikelnummer
und die Nummer Ihrer Übungsgruppe.
• Dieses Übungsblatt finden Sie auch unter
http://www.fan.uni-wuppertal.de/de/lehre/ana1-ws1516.html.
Ab der kommenden Woche werden die Übungsblätter dort jeweils bereitgestellt.
2
Formulieren Sie dazu die Aussagen mit Hilfe von Quantoren und mit folgenden Bezeichnungen:
A: Heute ist Dienstag, B: Heute ist Donnerstag, C: Es gibt Kaiserschmarrn in der Mensa
Aussage (1) entspricht demnach A ∨ B ⇒ C.
3
Hinweis: Sind P und Q Aussagen, dann verstehen wir unter der
• Umkehrung der Aussage P ⇒ Q die Aussage Q ⇒ P .
• Kontraposition der Aussage P ⇒ Q die Aussage ¬Q ⇒ ¬P .
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