Übung 10 - Universität Flensburg

Europa-Universität Flensburg - WS 15/16
Algebra I und ihre Didaktik
Prof. Dr. H. Lorenzen
Übung 10
Aufgabe 1
Man formalisiere und beweise durch Fallunterscheidung die Behauptung 1.3 (Teil 2) aus der
Vorlesung:
Für alle natürlichen Zahlen x mit x > 6 existieren positive ganze Zahlen a, b mit x = 2a + 3b.
Aufgabe 2
Man beweise
(a) Seien a, b ganze Zahlen mit a 6= 0 und b 6= 0.
Wenn a | b und b | a, dann ist a = b oder a = −b.
(b) Sei m eine ganze Zahl. Man gebe jeweils einen direkten Beweis und einen Beweis durch
Kontraposition für folgende Aussagen an:
[∗] Wenn 3 | m, dann 3 | m2 .
[∗∗] Wenn 3 - m, dann 3 - m2 .
(c) Seien x, y ganze Zahlen. Wenn 3 - x und 3 - y, dann gilt 3 | (x2 − y 2 ).
(d) Sei m eine ganze Zahl. Es gilt 2 | m4 − 3 genau dann, wenn 4 | m2 + 3.
Wie wir schon gesehen haben, interessieren uns häufig diejenigen Zahlen, die bei der Division
mit einer gewissen Zahl denselben Rest lassen, beispielsweise lassen . . . , −1, 4, 9, 14, . . . bei
Division mit 5 alle den Rest 4. Die besondere Eigenschaft der „gleichen Reste“ motiviert
folgende
Definition. Seien a, b ganze Zahlen und sei n eine natürliche Zahl mit n ≥ 2. Lassen a, b
bei der Division durch n denselben Rest, dann wollen wir sagen: a und b sind kongruent
(zueinander) modulo n, wir schreiben in diesem Fall a ≡ b (mod n).
Beispiel: 14 ≡ 23 (mod 3), da offenbar bei beiden Zahlen 14 und 23 bei der Division mit 3
der Rest 2 entsteht. Es gilt auch −17 ≡ 7 (mod 4), hier ist offenbar 3 der jeweilige Rest.
Aufgabe 3
Eine Charakterisierung der Kongruenz lautet:
Zwei ganze Zahlen sind genau dann kongruent zueinander modulo einer natürlichen Zahl >1,
wenn diese Zahl ein Teiler der Differenz der beiden Zahlen ist.
(a) Man gebe eine Formalisierung der obigen Charakterisierung an.
(b) (nicht schriftlich) Analysieren Sie die Gültigkeit der Charakterisierung in Bezug zur
obigen Definition.
(c) Man drücke die Menge der geraden und ungeraden Zahlen mit Hilfe der Kongruenz aus.
(d) Seien a, b, k, n ganze Zahlen mit n >1. Man beweise:
Wenn a ≡ b (mod n), dann ist auch a · k ≡ b · k (mod n).
(e) Seien a, b, c, d, n ganze Zahlen mit n >1. Man beweise:
Wenn a ≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n), dann ist auch a + c ≡ b + d (mod n)
Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 22. Januar bis 12 Uhr
Europa-Universität Flensburg - WS 15/16
Algebra I und ihre Didaktik
Prof. Dr. H. Lorenzen
(f) Seien a, b, c, d, n ganze Zahlen mit n >1. Man beweise:
Wenn a ≡ b (mod n) und c ≡ d (mod n), dann ist auch a · c ≡ b · d (mod n)
(g) Sei z eine ganze Zahl. Man beweise:
Wenn z 2 6≡ z (mod 3), dann ist z 6≡ 0 (mod 3) und z 6≡ 1 (mod 3).
Aufgabe 4
Man beweise: Seien a, b ganze Zahlen. Wenn a ≡ 5 (mod 6) und b ≡ 3 (mod 4), dann ist
4a + 6b ≡ 6 (mod 8). Geben Sie zunächst einige Beispiele für die Richtigkeit der Behauptung
an.
Aufgabe 5
Man beweise: Seien x, y reelle Zahlen. Wenn x2 −4x = y 2 −4y und x 6= y ist, dann ist x+y = 4.
Wie lautet die Umkehrung, und gilt sie?
Abgabe der Bearbeitungen am Freitag, den 22. Januar bis 12 Uhr