MSG-Hausaufgaben Serie 18

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MSG-Hausaufgaben Serie 18
Abgabe: 09.03.2016
Lucas Mann
Aufgabe 1. Welche der Aussagen sind wahr, welche falsch? Beweise deine Behauptungen jeweils.
a) Es gibt eine ganze Zahl x, sodass 3x ≡ 1 mod 26.
b) Es gibt eine ganze Zahl x, sodass 2x ≡ 1 mod 26.
c) Wenn a und b zwei ganze Zahlen sind, sodass a | b und b | a gilt, dann ist a = b oder a = −b.
d) Jede positive ganze Zahl lässt sich als Summe von zwei Quadratzahlen schreiben.
e) Jede positive ganze Zahl lässt sich als Summe von drei Quadratzahlen schreiben.
Aufgabe 2. Bestimme jeweils alle ganzen Zahlen x, welche die gegebenen Kongruenzen erfüllen:
a) x ≡ 2 mod 5, x ≡ 4 mod 7.
b) x ≡ 5 mod 8, x ≡ 3 mod 23.
c) x ≡ 3 mod 12, x ≡ 6 mod 9.
d) x ≡ 3 mod 10, x ≡ 8 mod 14.
Aufgabe 3. Eine alte Frau geht über den Marktplatz. Ein Pferd tritt auf ihre Tasche und zerbricht
die gekauften Eier. Der Besitzer des Pferdes möchte den Schaden ersetzen und fragt die alte Frau,
wie viele Eier in ihrer Tasche waren. Sie weiß die exakte Zahl nicht mehr, aber sie erinnert sich,
dass genau ein Ei übrig bleibt, wenn sie beim Auspacken die Eier immer zu zweit aus der Tasche
nimmt. Das Gleiche geschieht, wenn sie die Eier immer zu dritt, zu viert, zu fünft und zu sechst
aus der Tasche nimmt. Nur wenn sie die Eier zu siebt aus der Tasche nimmt, bleibt kein Ei übrig.
Was ist die kleinste Zahl an Eiern, welche die alte Frau in ihrer Tasche haben kann?
Zusatz
Aufgabe 4. 1883 hatte der französische Mathematiker Edouard Lucas folgende kleine Geschichte
niedergeschrieben:
„Im Großen Tempel von Benares, unter dem Dom, der die Mitte der Welt markiert, ruht eine
Messingplatte, in der drei Diamantnadeln befestigt sind, jede eine Elle hoch und so stark wie der
Körper einer Biene. Bei der Erschaffung der Welt hat Gott vierundsechzig Scheiben aus purem
Gold auf eine der Nadeln gesteckt, wobei die größte Scheibe auf der Messingplatte ruht, und die
übrigen, immer kleiner werdend, eine auf der anderen. Das ist der Turm von Brahma. Tag und
Nacht sind die Priester unablässig damit beschäftigt, den festgeschriebenen und unveränderlichen Gesetzen von Brahma folgend, die Scheiben von einer Diamantnadel auf eine andere zu
setzen, wobei der oberste Priester nur jeweils eine Scheibe auf einmal umsetzen darf, und zwar
so, dass sich nie eine kleinere Scheibe unter einer größeren befindet. Sobald dereinst alle vierundsechzig Scheiben von der Nadel, auf die Gott sie bei der Erschaffung der Welt gesetzt hat, auf eine
der anderen Nadeln gebracht sein werden, werden der Turm samt dem Tempel und allen Brahmanen zu Staub zerfallen, und die Welt wird mit einem Donnerschlag untergehen.“
Finde eine Möglichkeit, wie die Priester die Scheiben nach den gegebenen Regeln allesamt auf
eine andere Nadel bewegen können. Verwende dafür nur 4 statt 64 Scheiben.
Zusatz: Schätze ab, wie viele einzelne Scheibenbewegungen nötig sind, um alle 64 Scheiben zu
bewegen.
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Aufgabe 5. Zwei Touristen mieten ein Faltboot, um für vier Stunden auf einem Fluss zu paddeln.
Sie erreichen mit dem Boot bei stehendem Gewässer eine durchschnittliche Eigengeschwindigkeit
von 4,5 km/h. Die Strömungsgeschwindigkeit des Flusses beträgt jedoch 1,5 km/h.
a) Wie weit können sich die Touristen höchstens vom Anlegepunkt entfernen, wenn sie pausenlos paddeln und pünktlich zurück sein wollen?
b) Nach wie vielen Stunden sind sie am Wendepunkt angelangt, wenn sie zunächst stromaufwärts fahren?
Bemerkung: Es wird vorausgesetzt, dass die Touristen entweder genau gegen den Strom oder genau in Stromrichtung paddeln.
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