TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
D R . VANESSA K RUMMECK
Lineare Algebra I für Lehramt Gymnasium (Wintersemester 2011/12)
— Aufgabenblatt 4 (11. November 2011) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 19. Wer wird Millionär mit Gruppenaxiomen.
Sei (G, ◦) eine Gruppe mit neutralem Element e ∈ G. Das zu g ∈ G inverse Element werde mit g 0
bezeichnet. Welche der folgenden Aussagen sind für alle Gruppen richtig?
a.) ∃h ∈ G ∀g ∈ G : h ◦ g = e
b.) ∀g ∈ G ∀f ∈ G : g ◦ f ◦ g 0 = f
c. ) ∀g, f, h, k ∈ G : (g ◦ f ) ◦ (h ◦ k) = g ◦ ((f ◦ h) ◦ k)
d.) ∃h ∈ G ∀g ∈ G : h ◦ g = h
e.) ∀g ∈ G ∃h ∈ G : h ◦ g = e
Aufgabe 20. Modulo-Rechnen.
Die Rechenoperation mod ist laut Vorlesung wie folgt definiert: Für a ∈ Z und p ∈ N \ {0} ist
a mod p := r mit r ∈ {0, 1, 2, . . . , p − 1} und ∃k ∈ Z : a = k · p + r.
Die Rechenoperation mod beschreibt also die Division mit Rest durch p, wobei der Rest das Ergebnis
definiert. Zeigen Sie:
1.) ∀a, b ∈ Z, p ∈ N \ {0} : (a + b) mod p = [(a mod p) + (b mod p)] mod p
2.) ∀a, b ∈ Z, p ∈ N \ {0} : (a · b) mod p = [(a mod p) · (b mod p)] mod p
3.) ∀a ∈ Z, p ∈ N \ {0} : (a mod p) mod p = a mod p
Aufgabe 21. Sudoku und endliche Gruppen.
1.) Wie viele unterschiedliche Gruppen mit jeweils 1, 2, 3, 4, 5 Elementen gibt es?
2.) Geben Sie die jeweiligen Gruppentafeln an.
Der vollständige Nachweis der Assoziativität darf dabei weggelassen werden.
3.) Welche dieser Gruppen (G, ◦) sind kommutativ (d.h. ∀a, b ∈ G : a ◦ b = b ◦ a)?
— Hausaufgaben —
Aufgabe 22. Keine Gruppen.
Überprüfen Sie die Verknüpfungen Subtraktion, Division und Potenzieren auf den angegebenen Definitionsund Wertebereichen auf Abgeschlossenheit (Abg.), Assoziativität (Ass.), die Existenz eines/ des neutralen
Elementes (n.E.), die Existenz inverser Elemente (inv.E.) und auf Kommutativität (Komm.).
Abg.
N×N→N
Ass. n.E. inv.E.
Komm.
Abg.
Z×Z→Z
Ass. n.E. inv.E.
Komm.
Subtraktion: (a, b) 7→ a − b
Division: (a, b) 7→ a : b
Potenzieren: (a, b) 7→ ab
Aufgabe 23. Das kartesische Produkt zweier Gruppen ist wieder eine Gruppe.
Seien (G, ◦) und (H, •) zwei Gruppen. Zeigen Sie (unter ausschließlicher Verwendung der Gruppenaxiome): Das kartesische Produkt G × H von G und H ist mit der komponentenweisen Verknüpfung wieder
eine Gruppe.
Bemerkung: Dass das kartesische Produkt von n Gruppen (für n ∈ N) wieder eine Gruppe ist, wurde bereits
in der Vorlesung bewiesen. Diese Aufgabe soll es ermöglichen, dieses Ergebnis mit zwei Gruppen nochmals
Schritt für Schritt nachzuvollziehen.
Aufgabe 24. Ist die Menge der rationalen Zahlen mit durch 7 teilbarem Nenner eine Gruppe?
Sei D die Menge aller rationalen Zahlen x ∈ Q, für die gilt:
In einer gekürzten Bruchdarstellung x =
p
q
mit p ∈ Z, q ∈ N ist q durch 7 teilbar.
1.) Ist (D, +) eine Gruppe? Begründen Sie Ihre Aussage.
2.) Ist (D, ·) eine Gruppe? Begründen Sie Ihre Aussage.
Aufgabe 25. Gruppentafel-Sudoku.
Vervollständigen Sie die Gruppentafel. Ein expliziter Nachweis der Assoziativität darf dabei weggelassen
werden.
a b
a
b
c
x
y
z
c x y z
c b
x z
y
x
a
x
Abgabe der Hausaufgaben:
am Dienstag, 22.11.2011, zu Beginn der Vorlesung - Rückmeldung zu Präsenz- und Hausaufgaben bis
Donnerstag, 17.11.2011, 16:00 Uhr.